《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提出，“數(shù)與運算”領(lǐng)域要幫助學(xué)生感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。回顧“數(shù)與運算”領(lǐng)域，有的運算之間具有運算的一致性，如整數(shù)和小數(shù)的加減法，但有的運算之間看起來就像獨立的個體，學(xué)生感受不到它們的聯(lián)系，如分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)、小數(shù)的除法。那么，如何打破這些看似孤立的運算之間的壁壘，架構(gòu)一致性的通道呢？對此，筆者就分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)、小數(shù)除法的一致性展開了探究，力求構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、剖析核心概念，尋找運算一致性的源頭

計數(shù)單位是數(shù)的核心概念。在數(shù)與運算中，加法運算即相同計數(shù)單位上的數(shù)量相加，減法運算是加法運算的逆運算，即相同計數(shù)單位上的數(shù)量相減。在進(jìn)行加減法計算時，它們的計數(shù)單位保持不變。乘法運算可以看作加法運算的簡便算法，乘法運算的一致性體現(xiàn)為，計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘為積的計數(shù)單位，計數(shù)單位上的數(shù)量與計數(shù)單位上的數(shù)量相乘為積的計數(shù)單位的數(shù)量。而除法運算是乘法運算的逆運算，計算規(guī)則是先將計數(shù)單位統(tǒng)一，再將計數(shù)單位上的數(shù)量相除?？梢?，數(shù)與運算領(lǐng)域的核心概念也是計數(shù)單位，其本質(zhì)是計數(shù)單位之間的計算。筆者認(rèn)為，教師在教授分?jǐn)?shù)除法時可以從分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位出發(fā)，體現(xiàn)除法運算的一致性。

二、基于教材和學(xué)生認(rèn)知，探究分?jǐn)?shù)除法的算法一致性

在教授分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)內(nèi)容時，教師需要關(guān)注教材的呈現(xiàn)方式和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，以學(xué)生的眼光看待教材內(nèi)容的呈現(xiàn)形式，并探索能體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法運算一致性的方式，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。

（一）解讀分?jǐn)?shù)除法運算在教材中的編排

分?jǐn)?shù)除法是小學(xué)階段“數(shù)與運算”領(lǐng)域的最后一部分內(nèi)容。在教材中，分?jǐn)?shù)除法單元一般細(xì)分為三個課時，即分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。每種類型都是教師先通過數(shù)形結(jié)合的形式直觀解釋算式意義，再讓學(xué)生從觀察比較中歸納得出計算方法。

（二）分析整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)除法在教材中的算理

整數(shù)除法是整數(shù)乘法的逆運算，計算的過程是整數(shù)乘法和減法的綜合運用。小數(shù)除法是利用轉(zhuǎn)化的思想，通過“商不變的規(guī)律”，將小數(shù)除法轉(zhuǎn)換為除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計算。分?jǐn)?shù)除法是通過“顛倒相乘”轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來計算。關(guān)于分?jǐn)?shù)除法，教材中呈現(xiàn)了兩種思考方法：一種是平均分，利用計數(shù)單位說理；另一種是包含除，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義進(jìn)行思考。兩者都無法解釋分?jǐn)?shù)除法的算理。從教材上看，分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法之間似乎有一條不可逾越的鴻溝，無法體現(xiàn)運算一致性的基本思想。

（三）審視分?jǐn)?shù)除法的認(rèn)知起點

分?jǐn)?shù)除法教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)掌握整數(shù)、小數(shù)的四則運算及分?jǐn)?shù)的加、減、乘法的計算方法，形成一定的數(shù)感和運算能力的基礎(chǔ)上開展的?；趯W(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，聯(lián)系《九章算術(shù)》中關(guān)于分?jǐn)?shù)除法“有分者，通之”的記載，即經(jīng)分術(shù)，教師可以用通分的方法在分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法之間架起一座橋梁，實現(xiàn)除法運算的一致性。例如，整數(shù)除法：80÷20=（8×10）÷（2×10）=8÷2。小數(shù)除法：8÷0.2=（80×0.1）÷（2×0.1）=80÷2。分?jǐn)?shù)除法：÷=（8×）÷（6×）=8÷6。從三類除法中可以看出，除法運算的一致性可以體現(xiàn)在計數(shù)單位統(tǒng)一后，計數(shù)單位上的數(shù)量相除。

三、開展單元整體教學(xué)，體會除法運算的一致性

新課標(biāo)提出：“改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)?！被趩卧w和運算一致性的考慮，筆者將分?jǐn)?shù)除法的三個部分（分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)）整合起來，打破教材的原有結(jié)構(gòu)，嘗試重組教學(xué)，具體過程如下。

（一）學(xué)習(xí)任務(wù)一：學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)除法，初步感知除法運算的一致性

筆者先帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)除法，讓學(xué)生初步感知除法運算的一致性。在具體教學(xué)中，筆者創(chuàng)設(shè)以下問題情境：“量杯里有升果汁，玻璃杯的容量是升，量杯里的果汁倒入玻璃杯能倒?jié)M幾杯？”之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生理解題意。學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用包含除法的意義來解釋：能倒?jié)M幾杯，也就是求升里有多少個升。

在探索實踐中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以運用數(shù)形結(jié)合思想，在圖形中找到計算結(jié)果；也可以將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，但這種方法具有一定的局限性；還可以運用“算除想乘”方法，思考多少乘等于。此外，可以根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，因為都是平均分成10份，只需要看9份里面有幾個3份。通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)同分母分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是一樣的，只要分子相除就可以得到計算結(jié)果。

在計算同分母分?jǐn)?shù)除法時，學(xué)生想到了多種計算方法。重新審視這些方法，筆者發(fā)現(xiàn)：在數(shù)形結(jié)合的方法中，學(xué)生明確了除法是將總數(shù)平均分的意義；在“算除想乘”的方法中，學(xué)生認(rèn)識到除法是乘法的逆運算。這兩種方法說明數(shù)學(xué)知識不是孤立存在的，它們之間存在著密不可分的聯(lián)系。在將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)和整數(shù)的方法中，學(xué)生初步感受到分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)、小數(shù)除法的聯(lián)系，體會到除法運算的一致性，即計數(shù)單位統(tǒng)一時，計數(shù)單位的數(shù)量相除的本質(zhì)屬性。

（二）學(xué)習(xí)任務(wù)二：學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)除法，深入體會除法運算的一致性

分?jǐn)?shù)除法不僅有同分母分?jǐn)?shù)的除法，還有異分母分?jǐn)?shù)的除法。筆者讓學(xué)生寫出異分母分?jǐn)?shù)相除的例子，并讓學(xué)生思考該如何計算異分母分?jǐn)?shù)除法。由于已經(jīng)學(xué)習(xí)了同分母分?jǐn)?shù)的除法，并積累了異分母分?jǐn)?shù)加減法用通分的方式解決的知識經(jīng)驗，學(xué)生很快就想到了可以先通分再分子相除。例如，÷=÷=56÷15=。之后，筆者列出除法算式“÷= ”，并詢問學(xué)生：“這樣的分?jǐn)?shù)除法如果還用剛才的方法先通分再計算，你覺得怎么樣？”部分學(xué)生表示計算量特別大。于是，筆者引導(dǎo)學(xué)生只寫出算式不計算，如÷=÷=（2×72）÷（5×71）==。

在學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時，學(xué)生有了通分計算的經(jīng)驗。當(dāng)遇到異分母分?jǐn)?shù)除法時，他們自然會想到先通分再計算。通分的過程也就是將計數(shù)單位統(tǒng)一，這體現(xiàn)了除法運算的一致性。

（三）學(xué)習(xí)任務(wù)三：比較歸納，換角度體會除法運算的一致性

在這一部分的教學(xué)中，筆者先列出了以下三個算式，讓學(xué)生觀察和比較并說說自己的發(fā)現(xiàn)。算式一：÷=÷=（5×7）÷（3×8）==×

=。算式二：÷=÷=（3×3）÷（2×4）=

=×=。算式三：÷=÷=（2×72）÷（5×71）==×=。在比較中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來不計算的算式中也隱藏著被除數(shù)和除數(shù)，從而得出分?jǐn)?shù)除法的簡便計算方法：被除數(shù)除除數(shù)等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。

回顧學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的過程，學(xué)生從同分母分?jǐn)?shù)除法中學(xué)到了只要分子相除的計算方法，在異分母分?jǐn)?shù)除法中發(fā)現(xiàn)了“被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)”的計算方法。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)還有分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以分?jǐn)?shù)這兩種情況，并讓學(xué)生明白只要把整數(shù)看成分子是1的分?jǐn)?shù)，就可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。因此，除法運算都可以統(tǒng)一用“被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)”的方法，這從另一個角度詮釋了除法運算的一致性。

（四）課后拓展：提升素養(yǎng)，深刻領(lǐng)悟除法運算的一致性

分?jǐn)?shù)除法中還有很多值得挖掘的思維方式，但這些思維方式的難度不同，學(xué)生的能力和水平不同，如何讓學(xué)生充分理解這些思維方式是教師需要思考的一個問題。為此，筆者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的算理與算法，精心設(shè)計了主題作業(yè)，其框架圖如圖2所示。

主題作業(yè)是對課堂教學(xué)的補充和延伸。將課堂教學(xué)與課后作業(yè)相結(jié)合，學(xué)生會更加關(guān)注分?jǐn)?shù)除法的算理與算法，體會除法運算的一致性，并在實踐中靈活運用。

結(jié)語

有學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)史可以作為數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。筆者根據(jù)《九章算術(shù)》中對分?jǐn)?shù)除法的記載重新整合教材，通過聯(lián)系整數(shù)、小數(shù)除法引導(dǎo)學(xué)生探索出同分母分?jǐn)?shù)除法的計算方法，然后引導(dǎo)學(xué)生將異分母分?jǐn)?shù)通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再計算，最后讓他們比較歸納出分?jǐn)?shù)除法的簡便算法，體現(xiàn)了除法運算的一致性和算理與算法的統(tǒng)一性，使學(xué)生養(yǎng)成了用聯(lián)系的眼光看問題的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生構(gòu)建了完整的知識網(wǎng)絡(luò)。分?jǐn)?shù)除法這一內(nèi)容蘊藏著許多可以探究的方向，教師在教學(xué)時需要抓住知識間的內(nèi)在聯(lián)系，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計，認(rèn)清知識的本質(zhì)，體會數(shù)與運算的一致性，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建完整的知識體系，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省常熟市實驗小學(xué)）