摘 要：針對(duì)二自由度機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題，本文提出基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法。分析其動(dòng)力學(xué)方程，從周期性振動(dòng)、瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)3個(gè)角度探討了二自由度機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)行為表現(xiàn)形式，將軌跡跟蹤轉(zhuǎn)化為求解二自由度機(jī)械臂非線性微分方程。采用約束處理機(jī)制改進(jìn)基本微分進(jìn)化算法，利用多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤二自由度機(jī)械臂軌跡。測(cè)試結(jié)果表明，跟蹤誤差始終保持在0.010 m以內(nèi)，最大值為0.010 m，最小值為0.003 m，與對(duì)照組相比具有明顯優(yōu)勢(shì)。

關(guān)鍵詞：改進(jìn)微分進(jìn)化；優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；二自由度機(jī)械臂；軌跡跟蹤；動(dòng)力學(xué)方程；動(dòng)態(tài)行為表現(xiàn)形式；約束處理機(jī)制；MLP結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：G 254 " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

二自由度機(jī)械臂是一種有2個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，運(yùn)行特性獨(dú)特，其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型相對(duì)簡(jiǎn)單，由于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是非線性的[1]，對(duì)機(jī)器人進(jìn)行精確控制和軌跡跟蹤的難度較高，因此，要完成特定的軌跡（即機(jī)器人末端執(zhí)行器的路徑和速度），須對(duì)二自由度機(jī)械臂進(jìn)行精確的軌跡規(guī)劃。為了進(jìn)行精確的軌跡跟蹤，需要高精度的控制器。在實(shí)際應(yīng)用中，除了機(jī)械臂自身的因素外，還要考慮環(huán)境因素的影響，須結(jié)合優(yōu)化算法、先進(jìn)的控制策略和傳感器技術(shù)，對(duì)二自由度機(jī)械臂進(jìn)行精確控制和軌跡跟蹤，還須不斷調(diào)整和優(yōu)化控制策略，以適應(yīng)各種復(fù)雜的工作環(huán)境，滿足不同的任務(wù)需求。李東民等 [2]提出以模糊滑模反步控制為基礎(chǔ)的機(jī)械臂軌跡跟蹤方法， 盧紫超等[3]提出以干擾觀測(cè)器為基礎(chǔ)的機(jī)械臂軌跡跟蹤方法，它們都在一定程度上提高了跟蹤精度，但是在二自由度機(jī)械臂方面存在局限性。

為此，本文提出基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤研究，在對(duì)比環(huán)境下分析本文設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤方法的性能。

1 二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法設(shè)計(jì)

1.1 二自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

二自由度機(jī)械臂是1個(gè)試驗(yàn)裝置，其構(gòu)造簡(jiǎn)單、成本低，作為被控對(duì)象，它是一個(gè)不穩(wěn)定、多變量、非線性并且強(qiáng)耦合的多輸入、多輸出系統(tǒng)。二自由度機(jī)械臂“不穩(wěn)定”的特性說(shuō)明在沒有外部干預(yù)的情況下，機(jī)械臂無(wú)法維持其狀態(tài)，而是會(huì)隨時(shí)間產(chǎn)生變化。“多變量”和“非線性”特性說(shuō)明機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)受到多個(gè)因素綜合影響，這些影響之間的關(guān)系并非簡(jiǎn)單線性關(guān)系。“強(qiáng)耦合”說(shuō)明機(jī)械臂的各個(gè)部分之間聯(lián)系聯(lián)系緊密。1個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)可能會(huì)影響另一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，甚至可能顯著影響整個(gè)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡。這種耦合性要求控制系統(tǒng)能夠全面考慮各個(gè)部分之間的相互作用，做出合理的控制決策。從動(dòng)力學(xué)角度進(jìn)行分析，二自由度機(jī)械臂主要由2個(gè)連桿組成，每個(gè)連桿對(duì)應(yīng)一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)[4]。由于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)，因此機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)受到動(dòng)力學(xué)效應(yīng)影響，例如科里奧利力和離心力，這些力會(huì)干擾機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)，影響其精確控制和軌跡跟蹤。由于每個(gè)關(guān)節(jié)都會(huì)受到其旋轉(zhuǎn)范圍的限制，因此這會(huì)影響機(jī)械臂的整體運(yùn)動(dòng)范圍和軌跡跟蹤。在實(shí)際操作中，須保證機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角在允許的范圍內(nèi)。在此基礎(chǔ)上，本文利用非線性微分方程分析二自由度機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)行為表現(xiàn)，主要為關(guān)節(jié)角度的變化。非線性微分方程是一個(gè)包括未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程，導(dǎo)數(shù)的值取決于函數(shù)自身的值。非線性微分方程可以說(shuō)明二自由度機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度的變化率與關(guān)節(jié)角度以及其他參數(shù)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。求解這個(gè)非線性微分方程，可以得到關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間的變化關(guān)系。

結(jié)合實(shí)際需求，這些變化是周期性的振動(dòng)，也是瞬態(tài)的響應(yīng)，還是穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[5]。具體表現(xiàn)取決于初始條件、驅(qū)動(dòng)力矩和阻尼等因素。結(jié)合上述分析，根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，二自由度機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程如公式（1）所示。

τ=M（θ）d2θ/dt2+C（θ，dθ/dt）dθ/dt+ G（θ） （1）

式中：τ為關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩；M（θ）為二自由度機(jī)械臂連桿的質(zhì)量矩陣，其元素為各連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；C（θ，dθ/dt）為科里奧利矩陣，其元素為各連桿的科里奧利力矩；dt為機(jī)械臂在t時(shí)間內(nèi)進(jìn)行動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)的加速度向量；G（θ）為機(jī)械臂連桿θ的重力向量，其元素為各連桿所受的重力矩；t為時(shí)間。按照上述方式，利用二階非線性微分方程，描述機(jī)械臂在關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩作用下的動(dòng)態(tài)行為。將驅(qū)動(dòng)力矩作為輸入，能夠精確地描述機(jī)械臂在動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度和速度變化。求解這個(gè)二階非線性微分方程，可以得到機(jī)械臂在給定驅(qū)動(dòng)力矩作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。利用這個(gè)軌跡，進(jìn)一步設(shè)計(jì)控制策略，精確跟蹤機(jī)械臂的軌跡?？刂撇呗缘哪繕?biāo)是調(diào)整驅(qū)動(dòng)力矩，使機(jī)械臂的實(shí)際軌跡與期望軌跡盡可能接近。

結(jié)合上文構(gòu)建的二自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，本文對(duì)二自由度機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)行為表現(xiàn)形式的劃分結(jié)果見表1。

結(jié)合表1的分析結(jié)果，更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)和控制機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)行為軌跡，在后續(xù)研究中，可以使用合適的方法來(lái)求解非線性微分方程，并考慮各種實(shí)際因素，例如摩擦力、彈性力和空氣阻力。摩擦力會(huì)阻礙機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生阻力，使機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)變緩，速度和加速度變慢。彈性力主要來(lái)自關(guān)節(jié)和連桿的彈性。當(dāng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)節(jié)和連桿會(huì)發(fā)生彈性變形，從而產(chǎn)生彈性力。彈性力可能會(huì)改變機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡，使其偏離理想軌跡?？諝庾枇εc機(jī)械臂的形狀、速度和運(yùn)動(dòng)方向有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。當(dāng)機(jī)械臂在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)受到空氣阻力影響，空氣阻力可能會(huì)使機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生偏離，當(dāng)高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，這種偏離會(huì)更明顯。綜合分析這些因素可能會(huì)對(duì)機(jī)械臂實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡帶來(lái)的影響，最大程度地保證跟蹤結(jié)果的可靠性和精準(zhǔn)性。

1.2 基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤

結(jié)合第1.1節(jié)對(duì)二自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的構(gòu)建結(jié)果以及對(duì)二自由度機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)行為表現(xiàn)形式的分析結(jié)果，當(dāng)對(duì)其軌跡進(jìn)行跟蹤時(shí)，本文在充分考慮摩擦力、彈性力和空氣阻力因素作用強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，利用改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二自由度機(jī)械臂非線性微分方程。微分進(jìn)化是一種全局優(yōu)化算法，利用種群搜索的方式尋找最優(yōu)解。為了提高搜索效率和精度，改進(jìn)微分進(jìn)化算法，增加了多樣性的保持機(jī)制、自適應(yīng)調(diào)整交叉和變異算子的參數(shù)等。

微分進(jìn)化算法（Differential Evolution Algorithm，DE）是一種基于群體的隨機(jī)優(yōu)化算法，本文主要利用其解決實(shí)際參數(shù)優(yōu)化問題。引入約束處理機(jī)制改進(jìn)基本微分進(jìn)化算法，保證搜索過(guò)程不偏離可行解區(qū)域，提高算法的實(shí)用性和可靠性，如公式（2）所示。

?d=u（γ）q " " " " " " " （2）

式中：?d為對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元參數(shù)的調(diào)整幅度；u（γ）為機(jī)械臂對(duì)應(yīng)的矩陣關(guān)系；γ為關(guān)節(jié)空間中的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；q為當(dāng)前關(guān)節(jié)的狀態(tài)向量。結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與微分進(jìn)化算法，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解非線性微分方程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種強(qiáng)大的非線性映射工具，能夠逼近任何非線性函數(shù)。采用多層感知器作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，輸入層包括關(guān)節(jié)角度和時(shí)間等信息，輸出層為控制信號(hào)。訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠找到最佳的權(quán)重和閾值，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出盡可能地接近期望軌跡。

這樣的改進(jìn)措施使改進(jìn)的微分進(jìn)化算法能夠更好地處理復(fù)雜、非線性、高維度和大規(guī)模的二自由度機(jī)械臂非線性微分方程求解問題。

在此基礎(chǔ)上，利用優(yōu)化后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解二自由度機(jī)械臂的非線性微分方程并確定其軌跡，具體操作步驟如下。

步驟一：明確求解的問題是一個(gè)二自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡問題。目標(biāo)是找到滿足給定初始條件和邊界條件的機(jī)械臂軌跡。

步驟二：收集歷史數(shù)據(jù)，包括不同時(shí)刻的關(guān)節(jié)角度、關(guān)節(jié)速度、關(guān)節(jié)加速度和驅(qū)動(dòng)力矩等。

步驟三：設(shè)計(jì)合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。由于跟蹤機(jī)械臂為二自由度結(jié)構(gòu)形式，涉及2個(gè)連桿和2個(gè)關(guān)節(jié)角度的分析，因此，本文采用多層感知器（Multilayer Perceptron，MLP）結(jié)構(gòu)。其中，輸入層的節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)與輸入特征的數(shù)量相匹配。使用改進(jìn)的微分進(jìn)化算法對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，不斷調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，逐漸逼近最優(yōu)解，即最佳的控制信號(hào)序列。二自由度機(jī)械臂輸入層包括關(guān)節(jié)角度（θ1、θ2）和時(shí)間t，因此，輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)為3。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)來(lái)確定隱藏層的節(jié)點(diǎn)數(shù)。增加隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)可以提高模型的復(fù)雜性和擬合能力，也可能導(dǎo)致過(guò)擬合。本文設(shè)置隱藏層主要為Sigmoid激活函數(shù)，如公式（3）所示。

（3）

式中：f（t）為激活函數(shù)；p、pi分別為目標(biāo)二自由度機(jī)械臂狀態(tài)特征與輸入特征。

輸出層的節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)與問題的目標(biāo)數(shù)量相匹配。在本文研究中，步驟一已經(jīng)明確了目標(biāo)是二自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡，預(yù)測(cè)關(guān)節(jié)加速度或角度變化率，因此輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)為1或2。

步驟四：使用收集的數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。本文使用梯度下降法，不斷迭代更新網(wǎng)絡(luò)的偏置，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)W習(xí)非線性微分方程的解，如公式（4）所示。

（4）

式中：G（t）為非線性微分方程的解；e為神經(jīng)網(wǎng)路的偏置；τ（θ，t）為二自由度機(jī)械臂連桿θ在t時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程；[τ，τ（θ，t）]為二自由度機(jī)械臂連桿動(dòng)力學(xué)方程的集合。步驟五：在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練完成并驗(yàn)證有效的前提下，使用其跟蹤二自由度機(jī)械臂的軌跡。輸入初始條件（例如初始關(guān)節(jié)角度和速度），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將輸出預(yù)測(cè)的關(guān)節(jié)角度變化，形成軌跡。

基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法具有許多優(yōu)點(diǎn)。首先，它能夠處理復(fù)雜的非線性問題，在機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)控制過(guò)程中，由于機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特性和外部環(huán)境的復(fù)雜性，經(jīng)常需要面對(duì)各種非線性的挑戰(zhàn)。改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力十分強(qiáng)大，能夠精確地模擬和預(yù)測(cè)這些非線性關(guān)系，從而顯著提高軌跡跟蹤的精度和穩(wěn)定性。其次，它結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力和微分進(jìn)化算法的全局搜索能力，形成了一種優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的組合。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的學(xué)習(xí)和逼近能力，微分進(jìn)化算法擅長(zhǎng)在復(fù)雜的搜索空間中尋找全局最優(yōu)解。結(jié)合這2種技術(shù)，該方法能夠在軌跡跟蹤過(guò)程中自動(dòng)調(diào)整和優(yōu)化控制參數(shù)，以適應(yīng)不同的工作環(huán)境，滿足不同的任務(wù)需求。最后，基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法具有強(qiáng)大的泛化能力，它可以應(yīng)用于其他類型的機(jī)器人系統(tǒng)，無(wú)論是多自由度機(jī)械臂、移動(dòng)機(jī)器人還是無(wú)人機(jī)等復(fù)雜系統(tǒng)，該方法都能夠提供有效的解決方案，進(jìn)行高精度的軌跡跟蹤和控制，具有廣泛的應(yīng)用前景。

2 測(cè)試與分析

2.1 測(cè)試準(zhǔn)備

本文以Kinova超輕型機(jī)器人系列中最新、最緊湊的成員——Gen3 lite作為測(cè)試對(duì)象。Gen3 lite機(jī)械臂各關(guān)節(jié)集成了的無(wú)刷直流電機(jī)，結(jié)構(gòu)緊湊。每個(gè)關(guān)節(jié)都可以獨(dú)立控制，用戶能夠選擇工具和語(yǔ)言，適用于多種應(yīng)用場(chǎng)景和環(huán)境。作為一款專業(yè)級(jí)機(jī)器人臂，其可以執(zhí)行光操縱任務(wù)，能夠在功能強(qiáng)大的Kinova＆Kortex開放式API軟件上運(yùn)行，與其他設(shè)備協(xié)作進(jìn)行無(wú)縫共享編程。以此為基礎(chǔ)，當(dāng)對(duì)Gen3 lite二自由度機(jī)械臂軌跡進(jìn)行跟蹤測(cè)試時(shí)，分別設(shè)置文獻(xiàn)[2]提出的以模糊滑模反步控制為基礎(chǔ)的機(jī)械臂軌跡跟蹤方法、文獻(xiàn)[3]提出的以干擾觀測(cè)器為基礎(chǔ)的機(jī)械臂軌跡跟蹤方法以及本文提出的基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法，在相同環(huán)境下進(jìn)行對(duì)比測(cè)試。

2.2 測(cè)試結(jié)果與分析

在上述測(cè)試環(huán)境中，分別采用3種方法對(duì)連續(xù)10 s內(nèi)Gen3 lite二自由度機(jī)械臂軌跡進(jìn)行跟蹤，并統(tǒng)計(jì)具體跟蹤誤差，測(cè)試結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出，3種不同軌跡的跟蹤方法對(duì)應(yīng)的誤差情況出現(xiàn)了明顯差異。使用文獻(xiàn)[2]方法，整體跟蹤誤差波動(dòng)較為明顯，在測(cè)試過(guò)程中，時(shí)間誤差基本控制在0.010 m以內(nèi)，最大誤差達(dá)到0.025 m，在接近停止移動(dòng)階段（測(cè)試時(shí)間的9 s～10 s），對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差穩(wěn)定在0.005 m以內(nèi)，說(shuō)明該方法的收斂性存在進(jìn)一步提升的空間。使用文獻(xiàn)[3]方法，雖然整體跟蹤誤差相對(duì)穩(wěn)定[6]，未出現(xiàn)較為突出的誤差，但是對(duì)應(yīng)的誤差為0.010 m～0.015 m，說(shuō)明該方法的跟蹤精度存在進(jìn)一步優(yōu)化的空間[7]。使用本文方法，不僅未出現(xiàn)較為突出的誤差，而且整體跟蹤誤差始終lt;0.010 m，最大值為0.010 m，最小值為0.003 m，與對(duì)照組相比優(yōu)勢(shì)明顯。根據(jù)上述測(cè)試結(jié)果可以得出結(jié)論，本文提出的基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法可以進(jìn)行精準(zhǔn)跟蹤，實(shí)際應(yīng)用價(jià)值很高。

3 結(jié)語(yǔ)

隨著工業(yè)4.0時(shí)代到來(lái)和智能制造技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)制造領(lǐng)域?qū)C(jī)械臂的軌跡跟蹤精度和響應(yīng)速度要求越來(lái)越高。為了滿足這些需求，必須不斷研究和改進(jìn)軌跡跟蹤技術(shù)。本文提出基于改進(jìn)微分進(jìn)化優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的二自由度機(jī)械臂軌跡跟蹤方法，精準(zhǔn)跟蹤二自由度機(jī)械臂軌跡。在工業(yè)自動(dòng)化生產(chǎn)線上，機(jī)械臂能夠更精確地完成各種任務(wù)，提高效率。對(duì)一些高精度、高要求的制造任務(wù)來(lái)說(shuō)，例如電子器件裝配、藥品生產(chǎn)等，機(jī)械臂能夠提高軌跡跟蹤精度，提升產(chǎn)品質(zhì)量。軌跡跟蹤技術(shù)涉及多個(gè)領(lǐng)域，包括機(jī)器人學(xué)、控制理論和計(jì)算機(jī)視覺等，本文研究能夠推動(dòng)機(jī)器人技術(shù)發(fā)展，促進(jìn)相關(guān)學(xué)科交叉融合。

參考文獻(xiàn)

[1]劉城焱，胡健，姚建勇，等.強(qiáng)化學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)下的柔性機(jī)械臂雙時(shí)間尺度組合控制[J].控制理論與應(yīng)用，2023，12（19）：1-11.

[2]李東民，王通，杜浩，等.基于模糊滑模反步控制的自動(dòng)裝卸鉆桿機(jī)械臂軌跡跟蹤研究[J].南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，47（5）：619-628.

[3]盧紫超，李通，孫澤文，等.基于干擾觀測(cè)器的機(jī)械臂廣義模型預(yù)測(cè)軌跡跟蹤控制[J].測(cè)控技術(shù)， 2023，42（9）：81-87.

[4]楊曉航，趙智遠(yuǎn)，李云濤，等.基于可操作度優(yōu)化的冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2023，10（18）：1-12.

[5]王策，楊升，張磊，等.基于指數(shù)增益迭代學(xué)習(xí)的機(jī)械臂二階滑模控制方法[J].化工自動(dòng)化及儀表， 2023，50（5）：644-651.

[6]崔孟豪，姬會(huì)福，惠延波，等.基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的七自由度鑿巖臺(tái)車鉆臂運(yùn)動(dòng)學(xué)研究[J].機(jī)電工程，2022（9）：39.

[7]馬宏達(dá)，鄧義斌，郭強(qiáng)波.基于遺傳算法的二自由度波浪能裝置陣列優(yōu)化[J].太陽(yáng)能學(xué)報(bào)，2022（6）：43.