【摘要】數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的思想方法，能在數(shù)學(xué)教學(xué)中起到豐富學(xué)生解題思路、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力、構(gòu)建正確數(shù)學(xué)認知等作用.文章旨在探究數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略.具體而言，文章闡述了數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ)及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方式，分析了數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用原則和應(yīng)用策略，以期充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢，提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；實踐應(yīng)用

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）中多次提到“數(shù)形結(jié)合”的相關(guān)內(nèi)容，包括“初步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法”“感悟數(shù)形結(jié)合的思想，會用數(shù)形結(jié)合的方法分析和解決問題”“感悟數(shù)形結(jié)合的意義，發(fā)展推理能力和運算能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”等.數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中應(yīng)用廣泛，能輔助解決多種問題，簡化學(xué)生知識理解步驟，降低學(xué)生解題難度.在實際教學(xué)中，教師需重視數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的理論與應(yīng)用，為學(xué)生創(chuàng)造豐富的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用機會，助力學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

一、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用概述

（一）數(shù)形結(jié)合的相關(guān)理論闡述

1.認知表征理論

認知表征理論由美國教育家布魯納提出.其內(nèi)涵可以理解為：人將經(jīng)歷三種表征系統(tǒng)階段，包括動作表征、映象表征和符號表征.在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)相關(guān)的概念公式、數(shù)量關(guān)系、算式均屬于符號表征，而圖表、圖像、實物類數(shù)學(xué)要素均屬于映象表征.其表征方式不同，所能傳達的信息也有所不同.基于認知表征理論，數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用符合學(xué)生智慧成長的特點和需求，能幫助學(xué)生進行一系列心理加工，將外部環(huán)境中的數(shù)學(xué)信息以符號、映象的形式反映到個人頭腦中，從而促使學(xué)生理解、記憶與思考.

2.建構(gòu)主義理論

建構(gòu)主義理論起源于皮亞杰和維果斯基，其核心概念在于“建構(gòu)”.在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，該理論表現(xiàn)為：讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和認知活動中建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識和理解.這一理論是數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論基礎(chǔ)之一.在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，數(shù)與形的結(jié)合能為學(xué)生提供思維支架（如：圖形演示或操作，幫助學(xué)生理解抽象化知識概念），促進學(xué)生對知識的理解，從而引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中對知識進行更好的建構(gòu).

（二）數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方式

數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在幾何、算術(shù)運算和數(shù)據(jù)統(tǒng)計與處理三個方面.在幾何教學(xué)方面，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，能輔助學(xué)生完成對幾何圖形的形狀識別和面積、體積計算，使學(xué)生正確理解圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)等變化方式，幫助學(xué)生理解幾何知識.在算術(shù)運算方面，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，體現(xiàn)在線段圖、數(shù)軸圖、方塊圖等方面，以圖示促進學(xué)生對于數(shù)量的理解，并助力學(xué)生解決實際問題.在數(shù)據(jù)統(tǒng)計與處理方面，數(shù)形結(jié)合的圖表能在此類數(shù)學(xué)問題中輔助學(xué)生采集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)，使學(xué)生準確地對比數(shù)據(jù)和把握數(shù)據(jù)，從而幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.簡言之，數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用途徑.

二、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

（一）啟發(fā)性原則

在基于數(shù)形結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需注意遵循啟發(fā)性原則實施教學(xué)，重視數(shù)形結(jié)合對于學(xué)生課堂思維的啟發(fā)以及對學(xué)生學(xué)習(xí)策略、解決問題思路的啟發(fā).在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合展開教學(xué)時，教師可以采取側(cè)面點撥、方法傳授等教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題的核心，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題.遵循啟發(fā)性原則更易使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的價值和用途，從而培養(yǎng)學(xué)生知識遷移與應(yīng)用意識，促使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.遵循啟發(fā)性原則，能使數(shù)學(xué)教學(xué)達到“授人以漁”的教育效果.

（二）形象化原則

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合開展小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動，需要教師注意遵循形象化原則.這里的“形象化”主要體現(xiàn)在數(shù)與形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的展現(xiàn)方式上.教師可以選擇更為直觀、易懂的數(shù)形結(jié)合教學(xué)方式，如：圖示法、流程演示法等，促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識中數(shù)與形的轉(zhuǎn)化和結(jié)合過程形成整體感知.遵循形象化原則，不僅能深化學(xué)生對課時知識的理解，提高課堂教學(xué)效率，還能為學(xué)生加固學(xué)習(xí)印象，使其對“數(shù)”和“形”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)性記憶.同時，遵循形象化原則，能夠幫助學(xué)生鞏固與內(nèi)化所學(xué)知識，夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

三、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）立足教材，分析數(shù)形結(jié)合應(yīng)用原理

在基于數(shù)形結(jié)合的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)前期，教師首先需深入研讀教材，分析本課教學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用原理.小學(xué)階段數(shù)形結(jié)合的三種應(yīng)用原理包括“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”和“數(shù)形互助”.對此，教師可以立足教材內(nèi)容，分析本課教學(xué)中數(shù)形結(jié)合較為適合的應(yīng)用思路，進而做好教學(xué)準備.在明確數(shù)形結(jié)合在課堂上的應(yīng)用原理后，教師則可以向?qū)W生提供適合的教學(xué)問題、教學(xué)情境、教授方式，促使學(xué)生接受并理解數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用原理，能遵照特定的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用原理來解決實際問題.基于此類教學(xué)，學(xué)生能從教學(xué)中獲得數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)啟示，并在其他問題情境中嘗試應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題.

例如，在蘇教版二年級下冊“認識分米和毫米”教學(xué)中，本課教學(xué)重點在于：讓學(xué)生掌握分米、毫米兩個長度單位，能對分米、毫米形成正確概念，并能將二者融入米、厘米等長度計算單位中進行正確的單位換算（如：1m=10dm=100 cm=1000mm）.在此課程中，教師可以研讀教材內(nèi)容，分析本課數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原理為“以形助數(shù)”，通過線段圖、直尺圖讓學(xué)生對1分米、1毫米的長度形成直觀、形象的解讀，幫助學(xué)生進行長度單位之間的正確換算.在講解分米、厘米、毫米之間的換算法則后，教師可以在課堂上為學(xué)生準備直尺工具，請學(xué)生結(jié)合尺子上的刻度，繪制特定長度的線段，從中培養(yǎng)學(xué)生量感，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用.在課堂上向?qū)W生滲透“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合應(yīng)用原理，能為學(xué)生學(xué)習(xí)此類知識點提供策略啟示.學(xué)生能基于本課教學(xué)，在生活中有意識地應(yīng)用尺子工具或線段圖來解決長度測量、長度單位換算等問題.教師立足教材分析數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用原理，進而因地制宜地組織教學(xué)活動，能為學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想做好準備.

（二）立足知識，明確數(shù)形結(jié)合工具類型

針對不同類型的知識教學(xué)，教師可選擇的數(shù)形結(jié)合教學(xué)工具也有所不同.教師可以立足課時知識內(nèi)容，優(yōu)選數(shù)形結(jié)合的工具類型，從而向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想助學(xué)的多元形式，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)經(jīng)驗.下文以幾何知識、統(tǒng)計概率知識為例，分析說明幾種數(shù)形結(jié)合工具的選用思路和課堂應(yīng)用方式.

1.幾何知識：幾何圖形作為數(shù)形結(jié)合工具

“幾何知識”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要構(gòu)成部分，包含幾何圖形的認識、測量、繪制、運動和變換等多元方面.幾何知識教學(xué)往往以特定的幾何圖形作為探究主體.在此類知識教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，幾何圖形即主要教學(xué)工具.幾何圖形是數(shù)形結(jié)合中“形”的直觀體現(xiàn)，圍繞幾何圖形所展開的度量數(shù)據(jù)、性質(zhì)公式則可以通過“數(shù)”來加以精確地計算和描述.在實際教學(xué)中，教師可以展示不同的幾何圖形來輔助學(xué)生完成不同內(nèi)容的學(xué)習(xí).例如：教師可以在認識圖形的環(huán)節(jié)選擇展示幾種類似但存在差異的幾何圖形，供學(xué)生判斷性質(zhì)、對比差異，促使學(xué)生正確認識與辨析幾何圖形；教師可以在幾何圖形運動（旋轉(zhuǎn)、平移）的相關(guān)教學(xué)章節(jié)提供展示幾何圖形運動軌跡的微課程視頻，促使學(xué)生對于幾何圖形的變化形成直觀認識.教師還可以利用幾何圖形的組合與排列、切割與加線來引導(dǎo)學(xué)生完成幾何圖形面積、體積的計算求解過程.學(xué)生能在此類教學(xué)中獲得思想啟示，高效完成幾何知識學(xué)習(xí)任務(wù).教師將幾何圖形作為數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用工具，能有效落實幾何知識教學(xué)目標，為數(shù)學(xué)教學(xué)增效.

以蘇教版三年級下冊“長方形和正方形面積”教學(xué)為例，本課教學(xué)重點在于：讓學(xué)生掌握長方形、正方形面積的求解公式，能正確理解其公式在實際生活中的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的知識遷移與應(yīng)用能力.本課教學(xué)作為幾何知識的構(gòu)成部分，教師可以采取“以形助數(shù)”，并選擇幾何圖像作為數(shù)形結(jié)合教學(xué)工具，輔助課堂教學(xué).具體而言：在課堂公式探究環(huán)節(jié)，教師可以向?qū)W生提出生活化問題：“現(xiàn)在要在一塊長20cm、寬15cm的地板上裁切一個正方形，如何裁剪能得到最大面積的正方形？該正方形的面積是多少？裁剪后剩余地板的面積是多少？”這一生活問題考查學(xué)生對長方形、正方形性質(zhì)的理解能力.在本題探究環(huán)節(jié)，教師可以利用白板向?qū)W生展示一個長方形，并標注好長、寬數(shù)據(jù)，請學(xué)生上臺來用繪圖的方式“裁剪”正方形，其形式如圖1所示.

學(xué)生經(jīng)過反復(fù)嘗試后得知：裁剪一個與長方形的寬同邊長的正方形面積最大.而后，學(xué)生則可以結(jié)合教材中給出的長方形、正方形公式來進行面積求解.求解思路為：“正方形S=15×15=225（cm2），長方形S=20×15=300（cm2），裁剪剩余部分：300-225=75（cm2）”.該幾何圖形在解題過程中予以學(xué)生直觀、形象的數(shù)學(xué)模型，能簡化學(xué)生思考步驟，降低學(xué)生的想象難度.通過應(yīng)用幾何圖像，學(xué)生能從該題學(xué)習(xí)中體會“以形助數(shù)”的益處，進而在其他幾何問題中有意識地建立幾何圖形作為數(shù)學(xué)模型，尋找解決問題的思路.將幾何圖形作為幾何知識教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用工具，能深度落實幾何知識教學(xué)目標，增強小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實效.

2.統(tǒng)計概率：統(tǒng)計圖表作為數(shù)形結(jié)合工具

“統(tǒng)計概率”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要構(gòu)成部分，旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)，為學(xué)生數(shù)據(jù)觀念的發(fā)展做好準備.在此類知識教學(xué)過程中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將多元統(tǒng)計圖表作為教學(xué)工具.教師可以采取“以數(shù)助形”的教學(xué)原理，結(jié)合題干給出的數(shù)據(jù)信息和文字信息，引導(dǎo)學(xué)生繪制多形式的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表，供學(xué)生展開數(shù)據(jù)分析和信息探究.教師還可以選擇“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合教學(xué)原理，請學(xué)生結(jié)合給出的統(tǒng)計圖表提煉數(shù)據(jù)，計算概率，求出未知的數(shù)學(xué)條件，進而獲得解決問題的答案.統(tǒng)計概率類知識的學(xué)習(xí)離不開統(tǒng)計圖表的支撐.學(xué)生能在此類數(shù)形結(jié)合工具的幫助下，逐步提升數(shù)據(jù)意識，強化統(tǒng)計能力.

例如，在蘇教版四年級上冊“統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖（一）”教學(xué)中，本課教學(xué)重點圍繞“統(tǒng)計圖表”展開，要求學(xué)生能自主填寫統(tǒng)計表，提煉統(tǒng)計圖表中蘊含的數(shù)學(xué)信息并根據(jù)給出的數(shù)據(jù)，正確、完整地繪制條形統(tǒng)計圖.在進行教材例題探究，分析條形統(tǒng)計圖各個部分所代表的實際意義時，教師可以為學(xué)生提供一則完整的統(tǒng)計圖表（如表1、圖2），供學(xué)生對比分析.

通過對比圖中條形圖的長度和統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，學(xué)生能理解條形統(tǒng)計圖中每格高度的擬設(shè)方式和所代表的數(shù)值，初步掌握條形統(tǒng)計圖的繪制方法.而后，教師則可以為學(xué)生布置條形統(tǒng)計圖表繪制任務(wù).學(xué)生能在這一環(huán)節(jié)將上述條形統(tǒng)計圖表作為參照，學(xué)習(xí)繪制條形統(tǒng)計圖表.在統(tǒng)計概率類知識教學(xué)中引進統(tǒng)計圖表工具，能為學(xué)生探究知識、實踐練習(xí)提供確切參照，助力學(xué)生分析數(shù)據(jù)并解決問題.

（三）立足課堂，優(yōu)化數(shù)形結(jié)合教學(xué)流程

根據(jù)課時內(nèi)容的實際需求，教師應(yīng)精心選擇恰當?shù)臄?shù)形結(jié)合教學(xué)原理及工具類型，并在此基礎(chǔ)上做好數(shù)形結(jié)合在課堂教學(xué)中的應(yīng)用設(shè)計，以此優(yōu)化教學(xué)流程，提升教學(xué)效率.具體而言，立足課堂教學(xué)來看待數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，可以將數(shù)形結(jié)合教學(xué)分為“明確數(shù)形結(jié)合教學(xué)目標—滲透數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略—總結(jié)數(shù)形結(jié)合思維路徑—實施數(shù)形結(jié)合實踐訓(xùn)練—生成數(shù)形結(jié)合教學(xué)評價”等步驟，教師可以依次細化教學(xué)環(huán)節(jié)，豐富教學(xué)內(nèi)容，以優(yōu)化“數(shù)形結(jié)合”課程.

例如，在蘇教版五年級下冊“圓的認識”教學(xué)中，教師可以“以形助數(shù)”作為數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用原理，選擇不同大小的圓作為數(shù)形結(jié)合教學(xué)工具，在課堂上展示.具體而言，教師可將課堂教學(xué)流程分為目標設(shè)計、策略滲透、總結(jié)思路、實踐訓(xùn)練、生成評價五個主要環(huán)節(jié).

首先，教師預(yù)設(shè)本課時數(shù)形結(jié)合相關(guān)的教學(xué)目標為：讓學(xué)生通過圓的概念、圓的公式的學(xué)習(xí)，掌握利用數(shù)形結(jié)合思想理解知識概念的方法；讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合思想建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解決圓的相關(guān)應(yīng)用問題.

其次，教師選擇在課堂教學(xué)中向?qū)W生傳授數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)策略，如：引導(dǎo)學(xué)生采取以數(shù)助形策略，判斷圓的大小、正確繪制圓；引導(dǎo)學(xué)生采取以形助數(shù)策略，繪制幾何圖形求圓的具體數(shù)值，解決實際問題.

再次，教師可以針對上述新知探究路徑，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)數(shù)形結(jié)合思維應(yīng)用于本課知識的規(guī)律或路徑，讓學(xué)生系統(tǒng)認識并掌握“以形助數(shù)”“以數(shù)助形”“數(shù)形互助”等數(shù)形結(jié)合應(yīng)用原理.

基于此，學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用策略后，教師布置數(shù)學(xué)問題，請學(xué)生完成數(shù)形結(jié)合實踐訓(xùn)練.題目如：讓學(xué)生根據(jù)已知條件求圓形物體的周長和面積數(shù)值；結(jié)合文字信息繪制幾何圖形等.此類習(xí)題能引導(dǎo)學(xué)生在實踐中鞏固“圓”的知識，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題.學(xué)生能在此環(huán)節(jié)形成數(shù)形結(jié)合思想，將此學(xué)習(xí)方法遷移、應(yīng)用于其他問題的探究中，形成較好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

最后，教師可以結(jié)合學(xué)生課堂上數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)的情況，為學(xué)生進行評價教學(xué).分析本班學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想掌握情況、理解情況和應(yīng)用情況，針對個別學(xué)生的認知不清、能力不足之處加以補充教學(xué)，以評價激勵學(xué)生.學(xué)生能在評價教學(xué)的作用下，自主查漏補缺，找準數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方向.

上述完整而連貫的教學(xué)流程能幫助學(xué)生解決知識問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用價值、應(yīng)用路徑和應(yīng)用方式，并針對數(shù)形結(jié)合思想設(shè)計目標和評價.針對數(shù)形結(jié)合做出的教學(xué)優(yōu)化，能使學(xué)生更加主動地參與到數(shù)形結(jié)合的思考中，從而提高其數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力.

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，可以分為把握應(yīng)用原理、明確工具類型、優(yōu)化教學(xué)流程三個環(huán)節(jié).首先，教師立足教材，統(tǒng)整、總結(jié)數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原理；其次，教師立足幾何、統(tǒng)計概率等知識，分別選用適合的數(shù)形結(jié)合工具輔助課堂，以此豐富學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的認知；最后，教師立足課堂，優(yōu)化數(shù)形結(jié)合的教學(xué)流程.如此設(shè)計數(shù)形結(jié)合教學(xué)活動，能充分培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，提升小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效果.

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