［摘 要］數(shù)與代數(shù)是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)新課標(biāo)在“數(shù)與運(yùn)算”中提出“感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)”。這就要求教師站在整體化、系統(tǒng)化的高度，基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理、整合，通過(guò)一系列層次遞進(jìn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，推進(jìn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)進(jìn)程，引導(dǎo)學(xué)生以核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成有效的知識(shí)與方法的遷移，促進(jìn)學(xué)生數(shù)感和符號(hào)意識(shí)的發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］整體性；一致性；聯(lián)結(jié)；生成；遷移

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）36-0001-04

［基金項(xiàng)目］本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十五期立項(xiàng)課題“指向聯(lián)結(jié)力提升的小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)循證教學(xué)研究”（課題編號(hào)：2023JY15-L75）的研究成果。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”）在“學(xué)段目標(biāo)”中指出：“為體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的整體性與發(fā)展性，根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征和認(rèn)知規(guī)律，將九年的學(xué)習(xí)時(shí)間劃分為四個(gè)學(xué)段?！毙W(xué)階段所認(rèn)識(shí)的數(shù)，主要包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是對(duì)數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象；二是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都可以從計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的角度加以認(rèn)識(shí)。數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，有助于學(xué)生形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。然而，對(duì)數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，學(xué)生理解是有困難的。數(shù)學(xué)教學(xué)重在求聯(lián)，實(shí)現(xiàn)“學(xué)一點(diǎn)，見(jiàn)一片；習(xí)一題，悟一類”，形成具有整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)化的“類”知識(shí)、“大觀念”，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

近日，有幸觀摩了全國(guó)著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師——徐斌執(zhí)教的一節(jié)六年級(jí)復(fù)習(xí)課“數(shù)的認(rèn)識(shí)”，深感震撼。整節(jié)課，徐老師緊扣核心概念，通過(guò)前后知識(shí)的整體關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，帶領(lǐng)學(xué)生在知識(shí)復(fù)習(xí)中深度理解數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。

一、聯(lián)結(jié)：在以核心概念為錨點(diǎn)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)中感受一致性

徐老師認(rèn)為，在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，核心概念是計(jì)數(shù)單位及其累加。無(wú)論是整數(shù)，還是分?jǐn)?shù)和小數(shù)，都可以看作是計(jì)數(shù)單位的累積；所有的整數(shù)都可以看作是計(jì)數(shù)單位1不斷累加的結(jié)果，所有的分?jǐn)?shù)和小數(shù)都可以看作是計(jì)數(shù)單位1不斷細(xì)分的結(jié)果。因此，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)牢牢抓住計(jì)數(shù)單位這個(gè)核心概念，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合計(jì)數(shù)單位、計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)來(lái)理解數(shù)的意義，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。

1.從數(shù)的形成與發(fā)展的意義中進(jìn)行聯(lián)結(jié)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是教師帶領(lǐng)學(xué)生與數(shù)學(xué)真實(shí)相遇的過(guò)程，也是學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)，最后自主建構(gòu)新知的過(guò)程。六年級(jí)復(fù)習(xí)課“數(shù)的認(rèn)識(shí)”是基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)的再認(rèn)識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生正確理解數(shù)的科學(xué)本質(zhì)和科學(xué)屬性，以構(gòu)建“知識(shí)網(wǎng)”“意義網(wǎng)”，明確數(shù)產(chǎn)生的意義。

課堂上，徐老師先出示關(guān)于蘇州園林的自編教材（見(jiàn)圖1），引導(dǎo)學(xué)生閱讀。

師：閱讀這段材料后，你有什么感覺(jué)？

生1：看到了很多的數(shù)。

師：這些數(shù)學(xué)過(guò)嗎？你能把它們分分類嗎？

生2：可以把這些數(shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)三類。（徐老師引導(dǎo)學(xué)生從整數(shù)開(kāi)始分類梳理，展開(kāi)自主探究）

師：（出示9、517、8337、6602000000這4個(gè)數(shù)）任選一個(gè)數(shù)，先自己讀一讀，再想一想這個(gè)數(shù)的組成，最后表示出這個(gè)數(shù)。（反饋交流時(shí)，徐老師引導(dǎo)學(xué)生的思維聚焦到計(jì)數(shù)單位上，使他們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都可以用“計(jì)數(shù)單位×個(gè)數(shù)”來(lái)表示，從而找到整數(shù)的相通之處）

師：剛才資料中的6602000000，為什么選擇研究的人不多呢？（學(xué)生思考）

師：用計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千無(wú)法表示出這個(gè)整數(shù)，計(jì)數(shù)單位不夠了，怎么辦？

生3：要繼續(xù)增加新的計(jì)數(shù)單位。（徐老師逐步出示數(shù)位順序表，通過(guò)數(shù)位擴(kuò)展，讓學(xué)生感受數(shù)的形成和發(fā)展）

通過(guò)以上梳理整數(shù)的環(huán)節(jié)，學(xué)生明白：數(shù)系的擴(kuò)充源自記數(shù)的需要，從計(jì)數(shù)單位1開(kāi)始，先由10個(gè)一累加得到1個(gè)十，再10個(gè)十累加得到1個(gè)百，然后10個(gè)百累加得到1個(gè)千……進(jìn)而能得到整數(shù)的所有計(jì)數(shù)單位與數(shù)位；分?jǐn)?shù)和小數(shù)的擴(kuò)充源自平均分物時(shí)，所分出的部分無(wú)法用自然數(shù)表示，為了表述物體中的部分，就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)和小數(shù)。在數(shù)位順序表中，個(gè)位是具有代表性的數(shù)位，它既是學(xué)生認(rèn)識(shí)的第一個(gè)計(jì)數(shù)單位和數(shù)位，又是其他計(jì)數(shù)單位和數(shù)位產(chǎn)生的基礎(chǔ)。

在梳理完整數(shù)的意義后，徐老師以單位“1”為聯(lián)結(jié)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)分單位“1”，使學(xué)生明白這樣可以得到分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位的十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……這樣，從整體上可以看出分?jǐn)?shù)和小數(shù)的意義同樣是借助“計(jì)數(shù)單位×個(gè)數(shù)”來(lái)表示，所以分?jǐn)?shù)、小數(shù)與整數(shù)的意義是一致的（見(jiàn)表1）。

2.從數(shù)的呈現(xiàn)與表達(dá)中進(jìn)行方法聯(lián)結(jié)

“數(shù)的認(rèn)識(shí)”包括數(shù)的抽象表達(dá)、數(shù)的大小比較等內(nèi)容。復(fù)習(xí)課上，徐老師注重引導(dǎo)學(xué)生用多種方式來(lái)表示數(shù)的大小。如梳理整數(shù)8337（見(jiàn)圖2）時(shí)，徐老師引導(dǎo)學(xué)生在讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)、畫(huà)數(shù)等多種表達(dá)方式中展示出對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)程度。這樣通過(guò)圖像表征，將數(shù)學(xué)概念可視化，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)的遞增性，感悟數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)時(shí)，徐老師則讓學(xué)生在數(shù)軸上找到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)和小數(shù)，應(yīng)用數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，在意義建構(gòu)中思考怎樣用數(shù)來(lái)表達(dá)，構(gòu)建新的認(rèn)知。

二、生成：在以任務(wù)單為載體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)階中感受一致性

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：“課程內(nèi)容組織。重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑?！闭麛?shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位，都是度量數(shù)的大小的單位。也可以說(shuō)，計(jì)數(shù)法是基于數(shù)的計(jì)數(shù)單位和個(gè)數(shù)，用符號(hào)對(duì)數(shù)進(jìn)行表示。因此，對(duì)數(shù)的概念的理解，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)感和符號(hào)意識(shí)的發(fā)展。

1.基于學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的遞進(jìn)式任務(wù)設(shè)計(jì)

斯苗兒老師認(rèn)為，從整體視角對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化重組，教學(xué)設(shè)計(jì)邏輯需要把學(xué)科科學(xué)邏輯和學(xué)生思維邏輯結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考慮，使學(xué)習(xí)由碎片化學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成整體性學(xué)習(xí)，思維結(jié)構(gòu)由散點(diǎn)分布發(fā)展成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。為此，基于學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，徐老師設(shè)計(jì)三個(gè)遞進(jìn)式任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)的意義再抽象的過(guò)程，形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并在此過(guò)程中感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。

任務(wù)一：整數(shù)的梳理

我選的數(shù)是（ ）。

（1）讀：自己讀一讀。

（2）想：這個(gè)數(shù)的組成。

（3）畫(huà)：表示出這個(gè)數(shù)。

任務(wù)二：分?jǐn)?shù)和小數(shù)的梳理

[35] 1.75

（1）說(shuō)一說(shuō)：上面各數(shù)表示什么，是怎樣組成的。

（2）找一找：在數(shù)軸上找到這兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

任務(wù)三：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間關(guān)系的梳理

（1）小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間有什么關(guān)系？

（2）整數(shù)和小數(shù)之間有什么一致呢？

（3）整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三者之間有什么內(nèi)在一致性呢？

復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)之一是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行整理和概括，將零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過(guò)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，促使學(xué)生采用自己理解的方式呈現(xiàn)出不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，加深學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解與記憶。

2.從具象到抽象的學(xué)習(xí)工具的進(jìn)階性選擇

認(rèn)識(shí)數(shù)的重點(diǎn)是使學(xué)生經(jīng)歷“形象直觀—半抽象—抽象”的探究過(guò)程，而抽象提煉離不開(kāi)學(xué)具的支持?！皵?shù)的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課，學(xué)具的選擇正是體現(xiàn)了這樣的思考：計(jì)數(shù)器表示整數(shù)，數(shù)位順序表表示整數(shù)和分?jǐn)?shù)，數(shù)軸可以把整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)全部歸在一起。這樣，學(xué)生在自主參與中經(jīng)歷認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步完善的發(fā)展過(guò)程，深化了對(duì)數(shù)的概念本質(zhì)的理解，最終形成如下的思維導(dǎo)圖（見(jiàn)圖3）。

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圖3 “數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)的思維導(dǎo)圖

通過(guò)思維導(dǎo)圖，可以清晰地展現(xiàn)出整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。這樣教學(xué)有助于學(xué)生將計(jì)數(shù)單位這一核心概念聯(lián)系起來(lái)，且整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位還可以組成一個(gè)比較完備的十進(jìn)制系統(tǒng)，促使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)知不斷向縱深發(fā)展。

三、遷移：在以問(wèn)題鏈為線索的課堂整體評(píng)練中感受一致性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是獲取知識(shí)、形成技能的過(guò)程，更是發(fā)展思維、感悟數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，而問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)是一個(gè)很好的抓手。如在本復(fù)習(xí)課教學(xué)中，學(xué)生雖然理解了計(jì)數(shù)單位1，但用計(jì)數(shù)單位對(duì)數(shù)進(jìn)行分類的經(jīng)驗(yàn)還不足，故而沒(méi)能勾連起數(shù)整數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。因此，教師要打破知識(shí)壁壘，通過(guò)問(wèn)題鏈，以聯(lián)系、整體、全局的視角，將學(xué)生的思維一步步引向深處。這樣能促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的有效遷移，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

1.促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)鏈接的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

在復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)是從“一”到“多”、從“多”到“類”的不斷累加的過(guò)程?！皵?shù)的認(rèn)識(shí)”這節(jié)復(fù)習(xí)課，徐老師用問(wèn)題串聯(lián)起了整節(jié)課的教學(xué)。

問(wèn)題（1）：怎么復(fù)習(xí)？

生1：從最基礎(chǔ)的知識(shí)開(kāi)始復(fù)習(xí)。

師：如果知識(shí)點(diǎn)一個(gè)一個(gè)地重新學(xué)一遍，一節(jié)課時(shí)間夠嗎？

生2：不夠，應(yīng)該從最重要的知識(shí)開(kāi)始復(fù)習(xí)。

問(wèn)題（2）：數(shù)有什么價(jià)值？有了這些數(shù)，你能怎么樣？

生3：可以比大小。

生4：表示關(guān)系。

問(wèn)題（3）：有了整數(shù)，為什么還要有分?jǐn)?shù)？有了分?jǐn)?shù)，為什么還要有小數(shù)？整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間有什么關(guān)系？

……

以上問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生梳理數(shù)的發(fā)展過(guò)程。在交流互動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生厘清了數(shù)之間的關(guān)系：小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)，在意義上與分?jǐn)?shù)是一致的，但在表達(dá)方式上借助了整數(shù)的十進(jìn)制，所以小數(shù)也被稱為十進(jìn)小數(shù)，如十分之幾可以寫(xiě)成一位小數(shù)、百分之幾可以寫(xiě)成兩位小數(shù)等；整數(shù)的計(jì)數(shù)單位和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是一致的，都遵循十進(jìn)制；整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都有計(jì)數(shù)單位，都可以看作對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行思維操作的結(jié)果，都可以用“計(jì)數(shù)單位×個(gè)數(shù)”來(lái)表示。

問(wèn)題的討論，促使學(xué)生關(guān)注概念的發(fā)生、發(fā)展和構(gòu)建過(guò)程，厘清概念之間的關(guān)系，最終形成以核心概念為統(tǒng)領(lǐng)的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

2.促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)遷移的練習(xí)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”三個(gè)方面?！皵?shù)的認(rèn)識(shí)”這節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)，徐老師通過(guò)快問(wèn)搶答的形式，引導(dǎo)學(xué)生在層層深入的過(guò)程中學(xué)會(huì)了有邏輯地思考、有系統(tǒng)地推想、有依據(jù)地表達(dá)，明白了數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)知。

拓展（1）：4-2=2 3-2=1 2-2=0 1-2=？

師：1-2，產(chǎn)生了一種新的數(shù)，即負(fù)數(shù)。減法算著算著就產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，有了負(fù)數(shù)，減法就暢通無(wú)阻。

師：（出示數(shù)軸）負(fù)數(shù)在哪兒？

拓展（2）：12÷3=4 6÷3=2 3÷3=1 1÷3=？

師：1÷3產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，為了表述物體中的部分就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

拓展（3）：42=16 32=9 22=4 ？2=2

師：這里，？2=2，會(huì)產(chǎn)生什么數(shù)？

……

本節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)，徐老師基于整體的思維，通過(guò)多樣化的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，梳理數(shù)的認(rèn)知，關(guān)聯(lián)數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)再創(chuàng)造和數(shù)學(xué)化的過(guò)程，溝通了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，使之成為一個(gè)整體。

數(shù)學(xué)概念是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)揭示事物共同屬性的思維形式。概念是在抽象、概況基礎(chǔ)上形成的，概念結(jié)構(gòu)中內(nèi)隱的本質(zhì)屬性需要不斷強(qiáng)化，而符號(hào)化是為了實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言表達(dá)和有序思考的需要，以達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)內(nèi)涵理解的逐層深化。計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)了數(shù)的意義、讀寫(xiě)、大小比較等。研究數(shù)的概念，最終聚焦到計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的研究上，從而感悟數(shù)的認(rèn)識(shí)具有一致性。無(wú)論研究整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，都是通過(guò)數(shù)的意義、讀寫(xiě)、大小比較等視角來(lái)研究的?？梢?jiàn)，數(shù)的認(rèn)識(shí)具有整體性。本節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)，通過(guò)多角度溝通聯(lián)系，從整體的視角對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)進(jìn)行分析、系統(tǒng)梳理，從而達(dá)到聯(lián)結(jié)成網(wǎng)的目的，實(shí)現(xiàn)數(shù)概念的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 郭華.落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng) 突顯學(xué)生主體地位：2022年版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），2022，49（4）：107-115.

[3] 王海靜.慢養(yǎng)數(shù)學(xué)：小學(xué)生數(shù)學(xué)求異思維發(fā)展之我見(jiàn)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（7）：8-9.

（責(zé)編 杜 華）