摘" 要：近年來(lái)，高中物理的機(jī)械波和機(jī)械振動(dòng)是高考中的高頻考點(diǎn).常規(guī)解法通常需要運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)和波動(dòng)方程來(lái)解答問(wèn)題.然而，如果題目中的波形圖像或振動(dòng)圖像不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱的正余弦函數(shù)圖像，使用常規(guī)數(shù)學(xué)方法解題會(huì)增加解題的難度，并且在授課過(guò)程和高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生很難掌握.為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文結(jié)合了三角函數(shù)和力學(xué)知識(shí)，創(chuàng)造出了一種新的解題方法——比例法.

關(guān)鍵詞：高中物理；波動(dòng)圖像；振動(dòng)圖像；比例法

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）22-0108-03

收稿日期：2024-05-05

作者簡(jiǎn)介：董康（1991.1—），男，云南省隴川人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.

高中物理中關(guān)于機(jī)械波和機(jī)械振動(dòng)的知識(shí)，涉及力學(xué)中的波動(dòng)方程和三角函數(shù)［1］.我們發(fā)現(xiàn)，

一些題目中的波形圖像或振動(dòng)圖像，并非都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱的正余弦函數(shù)圖像.我們必須首先推導(dǎo)出波動(dòng)方程，并結(jié)合已知條件來(lái)解題.

這樣的解題方式會(huì)增加學(xué)生解題步驟和時(shí)間，同時(shí)降低解題的準(zhǔn)確性.

本文以學(xué)生已學(xué)習(xí)的三角函數(shù)為基礎(chǔ)，結(jié)合大學(xué)物理力學(xué)中的波動(dòng)方程，提出了一種新的解題方法——比例法.此方法不僅適用于解決常規(guī)的機(jī)械波和機(jī)械振動(dòng)問(wèn)題，還能夠應(yīng)用于解決非對(duì)稱波動(dòng)圖像或振動(dòng)圖像問(wèn)題，其計(jì)算步驟簡(jiǎn)潔，耗時(shí)短.

1" 比例法建立和應(yīng)用

比例法的主要思想是通過(guò)運(yùn)用角度，來(lái)實(shí)現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移與波傳播的時(shí)間和兩質(zhì)點(diǎn)距離之間的相互轉(zhuǎn)換.我們可以通過(guò)波形圖像來(lái)理解這種轉(zhuǎn)換方法，如圖1所示.在波的傳播過(guò)程中，P、Q、M和N是波在傳播過(guò)程中的四個(gè)圖1" 波形圖像和振動(dòng)圖像的轉(zhuǎn)化原理圖質(zhì)點(diǎn)，該時(shí)刻四個(gè)質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移分別為：A2，22A，32A和A.通過(guò)運(yùn)用y=Asin2πλx+φ計(jì)算，我們得到四個(gè)質(zhì)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的相位差分別為：30°，45°，60°和90°.假設(shè)ON距離為λ4，我們可以建立ON的距離與角度建立關(guān)系式，從而得到OP=13ON，OQ=12ON，OM=23ON.同樣的方法也可以應(yīng)用于振動(dòng)圖像的轉(zhuǎn)換，如圖1所示.綜合考慮波形圖像和振動(dòng)圖像的轉(zhuǎn)換方法，我們可以得到表1.

表1" 將長(zhǎng)度和時(shí)間間隔轉(zhuǎn)化為角度的關(guān)系

OPOQOMON

角度30°45°60°90°

距離13·λ4

12·λ4

23·λ4

λ4

時(shí)間間隔13·T4

12·T4

23·T4

T4

接下來(lái)給出運(yùn)用比例法解題的例題.

例1" 如圖2甲所示，為一列簡(jiǎn)諧橫波在t=0時(shí)刻的波形，其中質(zhì)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0.2 m），質(zhì)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（10 m，-0.2 m），圖2乙為質(zhì)點(diǎn)Q的振動(dòng)圖像，圖中M點(diǎn)坐標(biāo)為（0.5 s，0），則關(guān)于波的傳播和質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，下列判斷正確的是（" ）.

A.該簡(jiǎn)諧橫波的傳播方向沿x軸負(fù)方向

B.由波動(dòng)圖像可得該簡(jiǎn)諧橫波的波長(zhǎng)為λ=12 m

C.結(jié)合波動(dòng)圖像和振動(dòng)圖像可得該簡(jiǎn)諧橫波的傳播速度為v=2 m/s

D.結(jié)合波動(dòng)圖像和振圖像可得點(diǎn)P的振動(dòng)方程為y=0.4sinπ3t-π6m

圖2" 例1波形圖（甲）和振動(dòng)圖（乙）

解析" 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)Q的振動(dòng)圖像可知，在t=0時(shí)刻Q向上振動(dòng)，根據(jù)同側(cè)法可知該簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)方向傳播，故A正確；在波形圖像t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)P的位移yP=0.2 m，對(duì)應(yīng)的角度為30°，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)P距離最近波峰的距離為23·λ4，同理可得質(zhì)點(diǎn)Q距離最近波谷的距離為23·λ4且xPQ=10 m，得2×23·λ4+λ2=10 m，λ=12 m，故B正確；在振動(dòng)圖像t=0時(shí)刻，Q點(diǎn)的yQ=-0.2 m，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)Q從t=0時(shí)刻位置到達(dá)平衡位置的時(shí)間間隔為13·T4，得13·T4=0.5 s，T=6 s，v=λT=12 m6 s=2 m/s，故C正確；在波形圖像t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)方程與y=0.4sinπ3t相比，相位超前了π6，故yP=0.4sinπ3t+π6，故D錯(cuò).

2" 運(yùn)用比例法巧解高考題

2.1" 對(duì)稱波動(dòng)圖像或振動(dòng)圖像

例2" （2021·山東）一列簡(jiǎn)諧橫波沿x軸傳播，如圖3所示，實(shí)線為t1=2 s時(shí)的波形圖，虛線為t2=5 s時(shí)的波形圖.在圖4中，關(guān)于平衡位置在O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像，可能正確的是（" ）.

圖3" 例2波形圖（a）

圖4" 例2波形圖（b）

解析" 機(jī)械波的傳播方向不確定，所以需要考慮機(jī)械波傳播方向的多解性.在x=3 m處的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)實(shí)線波的位置處于波峰.若機(jī)械波沿x軸正方向傳播，在x軸正方向距離最近的虛線波峰為x=6 m處的質(zhì)點(diǎn)，得Δx=3 m，Δx=34λ，Δt=3 s，故Δt=34T+nTn=0，1，2…，當(dāng)n=0時(shí)，T=4 s.在t1=2 s時(shí)，O處質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置且向y軸正方向振動(dòng)，故A選項(xiàng)正確；若機(jī)械波沿x軸負(fù)方向傳播，在x軸負(fù)方向距離最近的虛線波峰為x=2 m處的質(zhì)點(diǎn)，得Δx=1 m，Δx=14λ，Δt=3 s，故Δt=14T+nTn=0，1，2…，當(dāng)n=0時(shí)，T=12 s.在t1=2 s時(shí)，O處質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置且向y軸負(fù)方向振動(dòng)，故C選項(xiàng)正確.

2.2" 非對(duì)稱波動(dòng)圖像或振動(dòng)圖像

例3" （2022年全國(guó)甲卷）一平面簡(jiǎn)諧橫波以速度v=2 m/s沿x軸正方向傳播，t=0時(shí)刻的波形圖像如圖5所示，介質(zhì)中平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)A在t=0時(shí)刻的位移y=2 cm，該波的波長(zhǎng)為m，頻率為

Hz，t=2 s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A（填“向上運(yùn)動(dòng)”“速度為零”“向下運(yùn)動(dòng)”）.

圖5" 例3波形圖

解析" 在波形圖像t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)A的位移yA=2cm=2A2，對(duì)應(yīng)的角度為45°，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)A距離最近波峰的距離為12·λ4且12·λ4+λ4=1.5 m，得λ=4 m，T=λv=2 s，f=1T=0.5 Hz.由于題圖為t=0時(shí)刻的波形圖像，則t=2 s時(shí)刻振動(dòng)形式和零時(shí)刻相同，根據(jù)同側(cè)法可知質(zhì)點(diǎn)A向下運(yùn)動(dòng).

例4" （2022年山東）一列簡(jiǎn)諧橫波沿x軸傳播，平衡位置位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)圖像如圖6所示.當(dāng)t=7 s時(shí)，在圖7中簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)圖像可能正確的是（" ）.

圖6" 例4振動(dòng)圖

圖7" 例4選項(xiàng)波形圖

解析" 由振動(dòng)圖像可知t=0時(shí)刻，O點(diǎn)的偏離平衡位置的位移y=10 cm=A2，對(duì)應(yīng)的角度為30°，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到最近的位移最大處所用時(shí)間為23·T4且23·T4+T4=5 s，得T=12 s.在振動(dòng)圖像t=7 s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)O沿y軸負(fù)向向下振動(dòng)且質(zhì)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到最近的位移最大處所用時(shí)間為1 s，說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)O從平衡位置運(yùn)動(dòng)到t=7 s時(shí)刻的位置所用時(shí)間為2 s，23·T4=2 s，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)O偏離平衡位置的位移y=-3A2，并結(jié)合“同側(cè)法”可判斷，若波沿x軸正向傳播，選C；若波沿x軸負(fù)向傳播，選A.

3" 結(jié)束語(yǔ)

隨著新教材和新高考改革的推進(jìn)，學(xué)生所面臨的要求也日益提升［2］.因此，教師有必要持續(xù)不斷地革新自身的教學(xué)方式.相比于常規(guī)的方法，比例法避開(kāi)了復(fù)雜的波動(dòng)方程和多解性問(wèn)題，減少了計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性，提高了解題的速度和準(zhǔn)確性.為了驗(yàn)證比例法的有效性，在同等層次的不同班級(jí)進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)表明，通過(guò)引入相位差的概念來(lái)幫助學(xué)生理解和掌握比例法的班級(jí)，學(xué)生能夠快速解答常規(guī)題型和非對(duì)稱題型，班級(jí)的解題得分率最高.

參考文獻(xiàn)：［1］

漆安慎，杜蟬英.普通物理學(xué)教程：力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2000.

［2］ 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［責(zé)任編輯：李" 璟］