摘要：針對大跨度鋼管混凝土系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化中有限元模型計(jì)算量較大的問題，文章以某大跨度鋼管混凝土系桿拱橋?yàn)槔?，提出了一種基于Kriging代理模型的系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化方法。該方法基于有限元模型生成結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量與體系應(yīng)變能的樣本數(shù)據(jù)，通過Kriging模型進(jìn)行插值擬合，引入動(dòng)態(tài)交叉、變異改進(jìn)的遺傳算法對考慮結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能最小的吊桿索力優(yōu)化模型進(jìn)行求解。結(jié)果表明：Kriging插值算法可以作為代理模型替代有限元模型進(jìn)行吊桿索力優(yōu)化計(jì)算；動(dòng)態(tài)遺傳算法相較于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法對吊桿索力優(yōu)化問題的收斂性更好；優(yōu)化后吊桿索力與優(yōu)化前大致相同，主梁彎矩最大降幅約為8%，軸力最大降幅約為13%，跨中撓度降幅約為13%。

關(guān)鍵詞：系桿拱橋；吊桿；索力優(yōu)化；Kriging插值；遺傳算法

中圖分類號：U448.22+5" " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " " "DOI：10.13282/j.cnki.wccst.2024.11.047

文章編號：1673-4874（2024）11-0158-05

0引言

系桿拱橋是一種以主梁、拱肋為基本結(jié)構(gòu)構(gòu)件的組合式拱橋橋型，由主梁和拱肋共同承受荷載，可以充分利用主梁的抗彎能力與拱肋的抗壓能力，同時(shí)系桿拱橋造型優(yōu)美，線型流暢，因此被廣泛應(yīng)用于城市橋梁建設(shè)之中。系桿拱橋中連接拱肋和主梁的構(gòu)件是吊桿，吊桿索力的大小直接決定了主梁上的內(nèi)力分布趨勢，如何優(yōu)化吊桿索力一直是設(shè)計(jì)者和專家關(guān)注的重點(diǎn)問題。近年來，各專家學(xué)者對于系桿拱橋的吊桿索力優(yōu)化提出了不同的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。王憲玉等［1］針對大跨度鋼管混凝土系桿拱橋的索力優(yōu)化問題，采用能量法建立了不同約束條件下的吊桿索力優(yōu)化模型，采用有限元軟件進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)了吊桿設(shè)計(jì)階段的索力優(yōu)化與成橋階段的內(nèi)力計(jì)算，相關(guān)結(jié)果為橋梁運(yùn)營階段的吊桿索力測試提供了一定的依據(jù)。徐海賓等［2］以桁式鋼管混凝土系桿拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，以系桿拱橋成橋合理拱軸線和結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，建立了系桿拱橋多目標(biāo)索力優(yōu)化模型，通過分析拱橋上、下弦桿和主梁的內(nèi)力結(jié)果，驗(yàn)證了該優(yōu)化模型的有效性。潘建龍［3］以石浦大橋?yàn)檠芯繉ο?，為確保橋梁結(jié)構(gòu)運(yùn)營階段的安全可靠，通過理論計(jì)算和有限元模擬的方法探討了系桿拱橋一次性索力優(yōu)化調(diào)試方法，并根據(jù)索力調(diào)整的實(shí)測結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性。丁祥文［4］為確定系桿拱橋索力的高效計(jì)算方法，基于數(shù)值迭代理論將系桿拱橋索力優(yōu)化的非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，提出了基于單一控制指標(biāo)的系桿拱橋索力優(yōu)化方法，并以不同張拉方案和迭代次數(shù)下的系桿拱橋安全儲(chǔ)備為基本指標(biāo)確定了最優(yōu)的吊桿索力張拉方案，相關(guān)結(jié)果表明該方法可以良好地適用于實(shí)際工程。于孟生等［5］對影響矩陣法進(jìn)行了改進(jìn)，建立了一種基于改進(jìn)影響矩陣的大跨度鋼管混凝土拱橋吊桿索力優(yōu)化模型，根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果和工程實(shí)測結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可行性。

從相關(guān)研究可以看出，目前大跨度鋼管混凝土系桿拱橋索力優(yōu)化問題的求解仍依賴于有限元模型的大量迭代計(jì)算，求解問題中仍存在計(jì)算效率不高、計(jì)算資源成本較大的問題。針對該問題本文提出了一種基于Kriging插值算法代理模型的系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化方法，通過動(dòng)態(tài)遺傳算法與Kriging模型對系桿拱橋索力進(jìn)行了優(yōu)化求解，避免了有限元模型計(jì)算量較大的問題，相關(guān)結(jié)果可為類似工程提供一定的參考。

1工程概況

某中承式系桿拱橋跨徑布置為（100+450+100）m，其中主跨計(jì)算跨徑為450 m。主橋采用雙肢拱中承式鋼箱，橋面豎曲線半徑R=4 500 m，橋面寬45.8 m。邊跨拱肋與中跨拱肋處于同一平面，兩片拱肋之間通過K形風(fēng)撐相連，邊跨加勁梁分別在中跨和邊跨的拱肋交匯處與拱肋固結(jié)。吊桿采用對稱式雙索面設(shè)計(jì)，單側(cè)吊桿共計(jì)38根，均勻分布于拱肋與系梁之間。橋型布置圖如圖1所示。

采用有限元軟件建立橋梁的數(shù)值計(jì)算模型，拱肋采用梁單元和殼單元共同模擬，系梁、立柱、橫梁、橫撐和風(fēng)撐等結(jié)構(gòu)構(gòu)件采用梁單元模擬，吊桿和水平拉索由于僅受軸向力，故采用桁架單元進(jìn)行模擬。橋梁主墩與拱肋、系梁之間采用全位移轉(zhuǎn)角固結(jié)約束，邊墩與上部結(jié)構(gòu)之間的支座采用彈簧單元進(jìn)行模擬，主、邊墩底部均設(shè)有彈簧單元支座。主梁兩端壓重采用質(zhì)量單元進(jìn)行模擬。有限元模型如圖2所示。

2索力優(yōu)化模型的建立

系桿拱橋是一種外部靜定、內(nèi)部超靜定的橋型結(jié)構(gòu)，主梁系桿主要承受壓力和彎矩，拱肋也同時(shí)承受軸向壓力和彎矩，而吊桿主要承受軸向拉力，將主梁上的荷載傳遞至鋼拱肋，為主梁提供豎向分力以確保主梁維持合理線形。對于系桿拱橋而言，結(jié)構(gòu)體系主要承受拉壓應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能見式（1）：

U=∫Ma（x）22EaIadx+∫Na（x）22EaAadx+∫Mt（x）22EtItdx+∫Nt（x）22EtAtdx（1）

式中：U——結(jié)構(gòu)應(yīng)變能；

Ma、Na——荷載作用下拱肋的彎矩和軸力；

Mt、Nt——荷載作用下系桿的彎矩和軸力；

Ea——拱肋截面的彈性模量；

Et——系桿截面的彈性模量；

Ia——拱肋截面的抗彎慣性矩；

It——系桿截面的抗彎慣性矩；

Aa——拱肋截面面積；

At——系桿截面面積。

為計(jì)算系桿拱橋結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，需要將結(jié)構(gòu)進(jìn)行單元離散化分析，假定離散后的單元截面積和彈性模量等屬性與整體單元一致，而彎矩沿單元方向呈線性變化，則任意離散單元的彎矩如式（2）所示：

M（x）=Ml，n+Mr，n-Ml，nLn（2）

式中：Ml，n、Mr，n——離散后微分單元左、右端的彎矩值；

[KG18mm]Ln——離散微分單元的單元長度；

n——離散單元數(shù)量。

同理，離散單元的軸力可表示為式（3）：

N（x）=Nl，n+Nr，n-Nl，nLn（3）

式中：Nl，n、Nr，n——離散后微分單元左、右端的軸力值。

此時(shí)，單元離散化后的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能可表示為式（4）：

U=∑jn=1Ln6EnIn（M2l，n+Mr，nMl，n+M2r，n）+∑jn=1Ln6EnAn（N2l，n+Nr，nNl，n+N2r，n）（4）

式中：En、In和An——第n個(gè)離散單元的彈性模量、截面慣性矩和截面面積。

除結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能外，系桿拱橋系梁線形是結(jié)構(gòu)的重要控制指標(biāo)之一，為確保結(jié)構(gòu)成橋后系梁撓度滿足要求，以吊桿與系梁連接位置作為系梁撓度控制點(diǎn)，則成橋后的系梁累積撓度可表示為式（5）：

δ=∑si=1δi（5）

式中：δ——系梁累積撓度；

δi——系梁各撓度控制點(diǎn)撓度；

[KG7.5mm]s——總撓度控制點(diǎn)數(shù)量。

由于系桿拱橋結(jié)構(gòu)呈中心對稱，故進(jìn)行優(yōu)化索力求解時(shí)僅需計(jì)算單索面一側(cè)索力值大小，令吊桿索力矩陣為X=（x1，x2，…，x19）T，為保證優(yōu)化后吊桿的可靠性，定義吊桿索力安全系數(shù)對決策變量取值范圍進(jìn)行約束，如式（6）所示：

X*≤βX（6）

式中：X*——優(yōu)化后的索力矩陣；

β——安全系數(shù)。

根據(jù)上述分析，建立系桿拱橋索力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，如式（7）所示：

Find Xmin（U，δ）

s.t.X*≤βXδ≤δmax（7）

3基于Kriging模型的索力優(yōu)化流程

3.1基于Kriging的系桿拱橋響應(yīng)模型的建立

采用有限元模型進(jìn)行索力優(yōu)化迭代計(jì)算時(shí)，需要消耗很大的計(jì)算資源，本文采用Kriging模型對結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，通過Kriging代理模型提升吊桿索力優(yōu)化的計(jì)算效率，節(jié)約計(jì)算成本。Kriging模型是一種基于Kriging插值算法［6-7］，以無偏估計(jì)為基本原理的響應(yīng)面預(yù)測模型，核心思想是根據(jù)響應(yīng)空間中待預(yù)測值與其他已知響應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測。Kriging插值基本模型可描述為：

y（x）=∑ni=1βifi（x）+z（x）（8）

式中：y（x）——系桿拱橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測值；

βi——基函數(shù)的權(quán)值；

fi（x）——列回歸函數(shù)組成的基函數(shù)；

z（x）——系統(tǒng)偏差。

Kriging回歸模型中的預(yù)測響應(yīng)與實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的系統(tǒng)偏差z（x）服從均值為0，協(xié)方差如式（9）的分布：

cov［z（u），z（v）］=σ2R（θ，u，v）（9）

R（θ，u，v）=∏mk=1Rk（θk，dk）=uki-vki（10）

式中：σ——系統(tǒng)偏差隨機(jī)分布的方差；

R（θ，u，v）——空間相關(guān)性函數(shù)；

θ——空間相關(guān)性函數(shù)參數(shù)；

u，v——樣本點(diǎn)參量；

d——樣本點(diǎn)之間的歐氏距離。

根據(jù)Kriging模型的基本插值原理，構(gòu)建系桿拱橋隨機(jī)變量與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的預(yù)測模型，令系桿拱橋隨機(jī)變量為T，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能響應(yīng)為Y，定義r（x）=［R（t，t1），R（t，t2），…，R（t，tn）］T，β=（FTR-1F）FTR-1Y，此時(shí)系桿拱橋隨機(jī)變量組合t下對應(yīng)的預(yù)測彎曲應(yīng)變能響應(yīng)y的均值和方差如式（11）、式（12）所示：

μy⌒（t）=fT（t）β+rT（t）R-1（Y-Fβ）（11）

s2y⌒（t）=σ2z（1-rT（t）R-1r（t）+hT（FTR-1F）-1h）（12）

式中：μy⌒（t）——系桿拱橋試驗(yàn)點(diǎn)響應(yīng)均值；

s2y⌒（t）——響應(yīng)預(yù)測的方差。

從上述模型構(gòu)建原理可以看出，基于Kriging的系桿拱橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)代理模型的預(yù)測精度比較依賴于空間相關(guān)性函數(shù)R的選取，考慮到實(shí)際工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的數(shù)據(jù)樣本呈高度非線性的特征，故本文選取高斯函數(shù)作為Kriging模型的空間相關(guān)性函數(shù)，高斯空間相關(guān)性函數(shù)表達(dá)式如式（13）所示：

R（θ，d）=exp-∑mk=1θk（uki-vkj）2（13）

式中：m——樣本點(diǎn)數(shù)量。

3.2基于改進(jìn)遺傳算法的索力優(yōu)化模型求解

遺傳算法是一種以自然選擇和生物遺傳為基本仿生原理的智能優(yōu)化搜索算法，通過優(yōu)勝劣汰、適者生存的途徑將適應(yīng)度較高的染色體進(jìn)行保留和傳承，適應(yīng)度較低的染色體淘汰。本文基于改進(jìn)遺傳算法對系桿拱橋的索力優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

遺傳算法是一種收斂能力較強(qiáng)、收斂效率較高的全局尋優(yōu)算法，其收斂策略與偏好受算法中染色體交叉率Pc和變異率Pm的影響［8-10］，標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法中交叉率Pc和變異率Pm的取值大多為常數(shù)，這就導(dǎo)致了算法在全局尋優(yōu)時(shí)收斂偏好較為單一，不能很好地適應(yīng)具體的優(yōu)化問題。因此文本引入一種動(dòng)態(tài)交叉、變異機(jī)制對標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，動(dòng)態(tài)交叉、變異算子表達(dá)式如式（14）、式（15）所示：

Pc=Pc1-（Pc1-Pc2）（f*-favg）fmin-favg，f*＜favgPc1，f*≥favg（14）

Pm=Pm1-（Pm1-Pm2）（fmin-f*）fmin-favg，f＜favgPm1，f≥favg（15）

式中：Pc、Pm——?jiǎng)討B(tài)交叉算子、變異算子；

Pc1、Pc2、Pm1、Pm2——給定的交叉、變異概率值；

f*——交叉步驟中個(gè)體的較小適應(yīng)度；

favg——交叉、變異操作中種群的平均適應(yīng)度；

fmin——交叉、變異操作中種群的最小適應(yīng)度。

基于改進(jìn)遺傳算法和Kriging代理模型的系桿拱橋索力優(yōu)化流程如圖3所示。

步驟1：采用有限元軟件計(jì)算系桿拱橋在隨機(jī)變量下的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，生成系桿拱橋隨機(jī)變量與結(jié)構(gòu)應(yīng)變能之間的數(shù)據(jù)樣本，并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。

步驟2：基于Kriging模型擬合系桿拱橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)面，直至Kriging模型滿足精度要求。

步驟3：采用二進(jìn)制編碼將吊桿拱橋索力編譯為遺傳算法染色體攜帶的遺傳，基于遺傳算法對考慮結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最小的吊桿索力進(jìn)行尋優(yōu)，采用Kriging代理模型計(jì)算染色體適應(yīng)度。

步驟4：采用動(dòng)態(tài)交叉、變異算子更新遺傳算法參數(shù)，進(jìn)行交叉、變異操作，生成新的子代染色體并重新根據(jù)Kriging代理模型計(jì)算適應(yīng)度值。

步驟5：判斷動(dòng)態(tài)遺傳算法是否滿足算法終止條件，若滿足則輸出最優(yōu)索力結(jié)果，不滿足則返回上一步。

4結(jié)果分析

采用Matlab軟件中的Kriging工具箱對結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行擬合，在Matlab中編寫動(dòng)態(tài)遺傳算法程序調(diào)用Kriging模型工具箱進(jìn)行系桿拱橋的索力優(yōu)化分析，為對比動(dòng)態(tài)交叉、變異算子對索力優(yōu)化問題的影響，對相同樣本集采用標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化分析。圖4給出了標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法和動(dòng)態(tài)遺傳算法的染色體適應(yīng)度進(jìn)化曲線。從圖4可以看出，動(dòng)態(tài)遺傳算法在迭代前期進(jìn)化效率遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法，且在進(jìn)化后期動(dòng)態(tài)遺傳算法仍保留了一定的變異能力，最終算法收斂精度遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法。

圖5給出了基于動(dòng)態(tài)遺傳算法的索力優(yōu)化結(jié)果，由于結(jié)構(gòu)對稱性，僅對1#～19#吊桿索力進(jìn)行分析。觀察1#～19#吊桿索力可知，優(yōu)化前后索力從端點(diǎn)至跨中的增減趨勢大致相同，相較于設(shè)計(jì)索力1#～3#、9#～19#吊桿索力均有不同程度的降低，4#～8#索力存在小幅提升，各吊桿索力分布相較于優(yōu)化前均勻性更好。

圖6為優(yōu)化前后的主梁彎矩對比曲線。從圖6可以看出優(yōu)化后主梁彎矩在拱腳附近與優(yōu)化前基本相同，跨中區(qū)域主梁彎矩存在一定的降低，跨中位置最大彎矩由7 687.72 kN·m降低至7 067.03 kN·m，降幅約8.07%。根據(jù)主梁上彎矩大小的變化可以得出，優(yōu)化后的索力在一定程度上降低了主梁的彎曲應(yīng)變能，主梁彎矩分布相較于優(yōu)化前得到了一定的改善。

圖7為優(yōu)化前后的主梁軸力對比曲線。圖7的相關(guān)結(jié)果表明，優(yōu)化索力計(jì)算下的主梁軸力得到明顯降低，最大降幅出現(xiàn)在靠近跨中側(cè)，軸力值由-16 489.4 kN降低至-14 354.12 kN，降幅約13%，說明采用優(yōu)化索力后，主梁由軸力產(chǎn)生的拉、壓應(yīng)變得到明顯減小。

圖8為優(yōu)化前后的主梁撓度的對比曲線。由圖可知，優(yōu)化索力計(jì)算下的主梁撓度峰值由7.98 cm降低至6.97 cm，跨中撓度降幅約12.66%，說明主梁撓度控制目標(biāo)函數(shù)明顯改善了優(yōu)化后的主梁撓度。

5結(jié)語

本文針對系桿拱橋索力優(yōu)化問題中存在的模型計(jì)算量大、優(yōu)化求解困難的問題，提出了一種基于Kriging代理模型的系桿拱橋索力優(yōu)化方法，使用Kriging作為結(jié)構(gòu)代理模型替代有限元模型，采用動(dòng)態(tài)改進(jìn)的遺傳算法對吊桿索力進(jìn)行尋優(yōu)求解，得到結(jié)論如下：

（1）采用Kriging模型可以避免有限元模型結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)計(jì)算量較大、計(jì)算資源耗費(fèi)過多的局限性，Kriging模型在吊桿索力優(yōu)化中可以作為索力優(yōu)化代理模型進(jìn)行迭代計(jì)算與分析。

（2）基于動(dòng)態(tài)交叉、變異改進(jìn)的遺傳算法在吊桿拱橋索力尋優(yōu)問題上的適應(yīng)性相較于標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法更好，種群進(jìn)化效率更快，收斂精度更高。

（3）優(yōu)化后的吊桿索力相較于原索力較為均勻，除部分吊桿外，大部分吊索索力值存在不同程度的降低，主梁彎矩最大降幅約為8%，軸力最大降幅約為13%，跨中撓度降幅約為13%，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能得到明顯改善。

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作者簡介：鄧俊華（1992—），工程師，主要從事公路橋梁工程項(xiàng)目施工管理工作。

收稿日期：2024-05-08