摘要：高光譜圖像具有圖譜合一的特點，充分利用礦物在圖像中的空間信息和光譜信息，將有利于實現(xiàn)高光譜圖像礦物填圖任務。提出了一種基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法，利用張量塊分解模型對高光譜圖像進行三維分解，得到每種礦物的空間分布及其光譜曲線組合。該方法保持了礦物在原始三維高光譜數(shù)據(jù)中的空-譜約束關(guān)系，在礦物填圖領(lǐng)域體現(xiàn)出了獨特優(yōu)勢。通過仿真和實測的高光譜圖像實驗，驗證了方法的有效性。

關(guān)鍵詞：高光譜 ；礦物填圖；張量塊分解；空間信息；光譜信息

一、前言

高光譜圖像具有“圖譜合一”的特性，同時記錄了被觀測地物的光譜和空間信息。礦物填圖是一種專用于確定巖礦物質(zhì)組成的填圖技術(shù)，利用高光譜遙感手段進行礦物填圖能夠充分發(fā)揮圖譜特征在巖石礦物識別方面的獨特優(yōu)勢，可以實現(xiàn)對礦物的精細識別和定量提取。高光譜礦物填圖技術(shù)在地質(zhì)礦產(chǎn)勘查中逐漸發(fā)揮了重要作用，已成為當前國內(nèi)外遙感地質(zhì)應用領(lǐng)域研究的一個熱點[1]。

目前，主流的高光譜礦物填圖技術(shù)主要分為三種[2]：基于全局光譜曲線匹配技術(shù)、基于局部光譜特征參數(shù)匹配技術(shù)和基于深度學習的方法?；谌止庾V匹配礦物填圖技術(shù)應用廣泛，其核心思想是度量光譜曲線之間的相似度，常用的度量方法包括：光譜夾角度量（Spectral Angle Measure，SAM）、光譜相關(guān)系數(shù)度量（Spectral Correlation Measure，SCM）、光譜信息散度度量（Spectral Information Divergence Measure， SIDM）等?；诰植抗庾V特征參數(shù)匹配的礦物填圖技術(shù)主要是根據(jù)礦物光譜曲線的局部反應的特征參數(shù)進行礦物特性分析，從而確定礦物的類別，常用的局部光譜曲線特征參數(shù)包括：光譜吸收帶的波長位置、對稱度、寬度、深度、斜度和偏斜度等，光譜吸收帶最大吸收位置、光譜斜率、面積和吸收指數(shù)等。

作為基于深度學習的礦物提取方法近幾年來的研究熱點，自編碼網(wǎng)絡、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡、殘差網(wǎng)絡、長短期記憶網(wǎng)絡等作為典型的網(wǎng)絡模型被應用于高光譜圖像礦物分類中，與傳統(tǒng)方法相比，在分析提取礦物潛在特征時表現(xiàn)出了較大優(yōu)勢，能夠提高礦物提取精度[3]。

現(xiàn)有的大部分方法都是將礦物的光譜獨立看待，僅分析礦物的光譜特性[4]。然而，高光譜數(shù)據(jù)是一個三維立方體數(shù)據(jù)，除了光譜特性外，礦物的空間分布還構(gòu)成了其空間特性。礦物填圖的結(jié)果是既能指示出某種礦物的空間分布，還要能夠給出該礦物的光譜特征。

如果能夠同時利用高光譜數(shù)據(jù)的光譜和空間特性進行礦物填圖分析，將非常契合礦物填圖的根本目標?；诖?，提出了一種基于張量塊分解模型的高光譜遙感圖像礦物填圖方法。

二、張量塊分解的基本原理

張量塊分解（Block Tensor Decomposition） [5]是一種應用非常廣泛的張量運算理論。

（一）張量塊分解的定義

一個三階張量X∈RI1×I2×I3 （I1 、I2 、I3分別代表三個維度的大?。┙?jīng)過塊分解之后，得到一組秩為rank-（Lr，Lr，1）（Lr為前兩個維度的秩）的子項之和的形式。每個子項是由一個矩陣和一個向量外積組成，如下式：

其中，矩陣Mr∈RI1×I2 的秩為Lr，向量sr的維數(shù)為RI3 ，R為分解得到的子項個數(shù)。圖1展示了三階張量的塊分解示意圖。

如果進一步將矩陣Mr進行分解，得到：

其中，矩陣Ar∈RI1×Ir 和Br∈RI2×Ir的秩都為Lr。

（二）張量塊分解的求解過程

研究人員在2008年提出了一種交叉最小二乘方法（Block Tensor Decomposition-ALS） [6]，用于解決三階張量塊分解的數(shù)學問題，具體過程如下：

對于一個待分解的三階張量X，其優(yōu)化的目標函數(shù)定義如下：

其中，X?為經(jīng)過張量塊分解后，得到的估計數(shù)據(jù)，可由公式（1）計算得到。

同理可得以下表達式：

上述公式可以采用交替迭代的思路進行求解，即先固定其中兩個矩陣，迭代求解另外一個矩陣。收斂后，再固定另外兩個矩陣，迭代求解第三個矩陣。如此反復，直到最終收斂。具體實現(xiàn)由以下三個最小二乘的子優(yōu)化問題組成：

公式（7）-（9）的求解過程可以描述為：首先給定三個因子矩陣的初始值A(chǔ)0、B0和S0，進行迭代優(yōu)化。在迭代到第k+1次時，固定Bk和Sk，然后更新得到Ak+1。接著，固定Ak+1和Sk，更新得到Bk+1。同理，固定Ak+1和Bk+1，更新得到Sk+1。如此進行下去，直到算法收斂。

為了更加形象地展示利用張量塊模型進行礦物填圖的數(shù)學過程，圖2給出了相應的示意圖。圖2（a）展示了由三種不同礦物分布組成的一個高光譜圖像數(shù)據(jù)，不同礦物分別用不同的顏色方塊進行區(qū)分。圖2（b）展示了三種礦物所對應的光譜曲線。理想情況下，高光譜礦物填圖的最終目標是想要得到如圖2（c）— （h）所示結(jié)果，它們分別清晰地展示了每種礦物的空間分布及其對應的光譜曲線，而張量塊分解模型與高光譜礦物填圖過程非常匹配。因此，本文選用張量塊分解模型對高光譜數(shù)據(jù)進行處理，以期得到理想的礦物填圖結(jié)果。

三、基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法

本文提出了一種基于張量塊分解的高光譜圖像礦物填圖方法，具體的步驟如下：

1.利用一個X∈RI1×I2×I3表示原始的高光譜圖像三維立方體，I1 、I2 和I3分別代表圖像的高度、圖像的寬度和波段個數(shù)；

2.對該數(shù)據(jù)實施三階張量塊分解，經(jīng)過分解后，得到多個子項Mrosr （r=1，2，…，R），每個子項為一個矩陣Mr和一個向量sr的外積，如公式（1）和圖1所示；

3.由于張量分解是特征變換過程，每個子項中的向量sr為原始光譜曲線的特征變換曲線。為了達到利用原始光譜曲線填圖的目的，本文取出每個Mr中能量最高的像元原始光譜的平均值作為該礦物對應的光譜曲線。

四、實驗結(jié)果分析

（一）數(shù)據(jù)介紹

1.仿真數(shù)據(jù)

仿真數(shù)據(jù)是通過從美國地質(zhì)勘探局（United States Geological Survey）標準光譜庫（Spectroscopy Lab）中選取的3條不同地物所對應的標準光譜曲線按照設計的空間分布所生成的，如圖3所示。圖3（a）中展示了被選的3種地物的光譜曲線，分別記為光譜1，光譜2和光譜3。設計像元分布如圖3（b）所示，并將三種光譜曲線填充到對應的區(qū)域，形成三維的高光譜放在數(shù)據(jù)。其中，B為圖像的背景區(qū)域，中間方框區(qū)域內(nèi)的上面8個像元為第一種礦物的分布，記為T1，下面8個像元為第二種礦物的分布，記為T2。

2.實測數(shù)據(jù)

實測數(shù)據(jù)來源于美國內(nèi)華達州的Cuprite礦區(qū)高光譜圖像數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)覆蓋光譜區(qū)域為：400-2500nm，實驗所用的數(shù)據(jù)是去除了噪聲波段后的輻射能量數(shù)據(jù)。本部分實驗截取了150×150大小的區(qū)域，如圖4所示，圖像中包含了3種主要礦物。

（二）實驗結(jié)果與分析

1.仿真數(shù)據(jù)結(jié)果

仿真數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果圖如圖4所示。圖5展示了兩種礦物（T1和T2）經(jīng)過張量塊模型分解后，得到其對應的像元的空間分布結(jié)果。圖5（a）中像素能量主要展示了礦物T1的空間分布信息，而圖5（b）中像素能量主要展示了礦物T2的空間分布信息。

2.實測數(shù)據(jù)結(jié)果

圖6中給出了實測數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果圖。從圖中可以看出，本文提出的方法較好地完成了礦物填圖實驗，分別找出了3種礦物的空間分布及其對應的光譜曲線。

五、結(jié)語

本文提出了一種基于張量塊分解的高光譜遙感圖像礦物填圖方法。該方法通過張量塊分解直接對原始的三維高光譜數(shù)據(jù)進行處理，這種處理方式保留了原始數(shù)據(jù)礦物的空間分布及其光譜曲線之間的原始結(jié)構(gòu)信息，體現(xiàn)了該方法在礦物填圖方向上的獨特優(yōu)勢。在仿真和實測高光譜圖像數(shù)據(jù)上分別進行了實驗分析，實驗結(jié)果充分驗證了提出方法的有效性。

參考文獻

[1]白楊林，呂鳳軍，蘇鴻博，等.高光譜遙感蝕變礦物信息提取研究綜述[J].遙感信息，2023，38（01）：1-10.

[2]朱玲，李明，秦凱，等.礦物高光譜解混進展研究綜述[J].遙感信息，2020，35（03）：15-23.

[3]魏黎.基于Hyperion高光譜數(shù)據(jù)的植被覆蓋區(qū)巖礦蝕變信息提取[J].國土資源導刊，2024，21（01）：83-89.

[4]Qinjun Q.， Miao T.， Liufeng T.， et al. Semantic information extraction and search of mineral exploration data using text mining and deep learning methods[J]. Ore Geology Reviews， 2024， 105863： 1-15.

[5]Kolda T G， Bader B W. Tensor Decompositions and Applications [J]. SIAM Review， 2009， 51（03）： 455–500.

[6]Lathauwer L De， Dimitri N. Decompositions of A Higher-order Tensor in Block Terms – Part III： alternating least squares algorithms [J]. SIAM Journal of Matrix Analysis Application， 2008， 30（03）： 1067–1083.

基金項目：湖南省自然資源廳科技計劃項目（項目編號：2023-31）

作者單位：湖南工程職業(yè)技術(shù)學院

責任編輯：張津平、尚丹