摘 要：【目的】由于壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯特性，有必要進行遲滯建模，以提高控制精度。【方法】針對壓電陶瓷驅(qū)動器輸入電壓與輸出位移的動態(tài)遲滯特性，結(jié)合非對稱靜態(tài)Bouc-Wen遲滯模型，建立了壓電陶瓷驅(qū)動器動態(tài)遲滯模型，并在輸出端加入電壓的多項式?！窘Y(jié)果】根據(jù)試驗測得壓電陶瓷驅(qū)動器輸入、輸出數(shù)據(jù)，采用粒子群算法辨識得到驅(qū)動器的參數(shù)化模型，并通過與經(jīng)典的Bouc-Wen模型進行對比，驗證了該模型的有效性。【結(jié)論】試驗結(jié)果表明，與經(jīng)典的Bouc-Wen模型相比，在輸出端加入電壓的多項式，相對誤差和均方根誤差都有所下降，證明了所提出模型的有效性。

關(guān)鍵詞：壓電陶瓷驅(qū)動器；遲滯非線性；改進Bouc-Wen模型；粒子群算法

中圖分類號：TQ174.75" " 文獻標志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2025）02-0048-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.02.009

Abstract： [Purposes] Due to the hysteresis characteristics of piezoelectric ceramic actuators， hysteresis modeling is required to improve the control accuracy. [Methods] According to the dynamic hysteresis characteristics of the input voltage and output displacement of the piezoelectric ceramic actuators， combined with the asymmetric static Bouc-Wen hysteresis model， the dynamic hysteresis model of the piezoelectric ceramic actuators is established， and the polynomial of the voltage is added to the output terminal. [Findings] According to the experimental input and output data of the piezoelectric ceramic actuators， the parameterized model of the actuators was identified by particle swarm algorithm， and the effectiveness of the model was verified by comparing it with the classical Bouc-Wen model. [Conclusions] Experimental results show that， compared with the classical Bouc-Wen model， the relative error and root mean square error of the polynomial with voltage added to the output end are reduced， which proves the effectiveness of the proposed model.

Keywords： piezoelectric ceramic actuators; hysteresis nonlinearity; improved Bouc-Wen model; particle swarm algorithm

0 引言

微動平臺是微動定位系統(tǒng)中的關(guān)鍵組成部分，可提供微米至納米級的分辨率和步進位移。它綜合了微位移驅(qū)動、執(zhí)行、檢測和控制等多個模塊，廣泛應用于顯微鏡、無線傳感器網(wǎng)絡、微量液體控制、振動控制等領(lǐng)域。

微動平臺性能直接關(guān)系到微動定位系統(tǒng)的定位精度，而微動平臺的性能很大程度上受驅(qū)動器的影響。壓電陶瓷驅(qū)動器作為一種能夠?qū)崿F(xiàn)納米級定位精度的驅(qū)動元件，因其超高分辨率、高輸出功率、快速響應、低能耗、少發(fā)熱、無須潤滑和高定位精度等優(yōu)點，被認為是微位移定位技術(shù)中理想的驅(qū)動器之一［1］。

壓電陶瓷材料的遲滯非線性特性、蠕變特性、頻率相關(guān)性和溫度特性等對壓電陶瓷驅(qū)動器的性能造成了一定影響，導致微動平臺重復性下降、輸出精度變差及瞬態(tài)響應速度減慢。特別是遲滯非線性特性，被認為是影響微動定位系統(tǒng)輸出精度的主要因素，可能引起系統(tǒng)誤差、振蕩甚至異常運行。為充分發(fā)揮壓電陶瓷驅(qū)動器的優(yōu)勢，需要采取一系列措施來減少這些不利影響，提高系統(tǒng)的定位精度和響應速度，進一步拓展其在微動定位領(lǐng)域的應用范圍。目前，針對壓電陶瓷的遲滯非線性特性的研究，主要有3種研究思路：一是應用多項式模型進行遲滯建模；二是通過分析內(nèi)在結(jié)構(gòu)和微觀機理建立物理模型；三是基于輸入輸出映射關(guān)系提出唯象建模。常見的基于唯象模型的遲滯模型包括Preisach模型、Prandtl-Ishlinskii（PI）模型、Bouc-Wen（BW）模型和Duhem模型等［2］。

1 壓電陶瓷驅(qū)動器遲滯建模

BW模型是由非線性微分方程構(gòu)成的模型，具有參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單的特點，在描述智能材料執(zhí)行器的遲滯特性時得到廣泛應用。然而，在復雜的壓電陶瓷系統(tǒng)建模時，需要綜合考慮其他物理因素，并結(jié)合更全面的模型來解釋實際現(xiàn)象。實際系統(tǒng)的投入產(chǎn)出關(guān)系是不對稱且非線性的，而標準BW模型是一個近似中心對稱的模型。因此，對標準BW模型進行改進是必要的，改進的方法可基于輸入電壓與輸出位移之間更準確的非線性關(guān)系。

1.1 傳統(tǒng)BW模型

式中： [u（t）]為模型輸入電壓； [H（t）]為遲滯變量；[Y（t）]為模型輸出位移； [u（t）]和[H（t）]分別為[u（t）]和[H（t）]對于時間的一階導數(shù)；[α]、[β]、[λ] 和[K]均為模型參數(shù)，遲滯分量的幅值取決于[α]，同時[β]和[λ]控制遲滯回線的形狀，[K]是比率常數(shù)。BW模型具有參數(shù)少、解析逆模型易于求解等建模優(yōu)勢。

壓電模型描述壓電驅(qū)動系統(tǒng)的遲滯非線性時，遲滯環(huán)又分為線性部分和非線性部分［3］。當輸入信號為正弦波，幅值A(chǔ)=2 V，頻率f=1 Hz時，輸出信號為壓電微動平臺的位移，線性部分和非線性部分分別如圖1和圖2所示，經(jīng)典BW模型如圖3所示。

觀察遲滯曲線可以發(fā)現(xiàn)，遲滯非線性的分量在中心點上呈現(xiàn)非對稱性，且輸出位移的極值點與輸入電壓信號的極值點并不完全對應。傳統(tǒng)的BW遲滯模型不能反映非對稱特性，因此需要對傳統(tǒng)的BW遲滯模型進行改進［4］。

1.2 非對稱的BW模型

在BW模型中引入?yún)?shù)可以改變遲滯環(huán)的形狀，使其具有不對稱性。根據(jù)傳統(tǒng)的BW模型，對其進行改進。傳統(tǒng)的BW模型輸出位移是關(guān)于電壓的一次方。因此，在輸出位移中加入電壓的多項式進行比較。

2 參數(shù)辨識

首先，設立了一個粒子群，其中每個粒子代表了非對稱BW遲滯模型的一組潛在參數(shù)集。這些參數(shù)涉及模型特征和性能的多個方面。在每次算法迭代中，計算每個粒子對應模型的預測輸出，并將其與實際系統(tǒng)的輸出進行比較，以獲得一個測試函數(shù)值。

其次，采用基于誤差的測試函數(shù)，來度量模型預測與實際觀測數(shù)據(jù)之間的偏差。通過對實測位移采樣點數(shù)量m進行評估，可以了解每個粒子的表現(xiàn)。通過計算模型預測值與實際觀測值之間的誤差度量（如均方誤差、相對誤差等），為每個粒子分配一個測試函數(shù)值。

再次，進行局部最優(yōu)和全局最優(yōu)的更新。對于每個粒子，比較其當前迭代中的測試函數(shù)值與之前記錄的局部最優(yōu)值，如果當前值更優(yōu)，更新該粒子的局部最優(yōu)值及其位置信息。然后，將所有粒子的局部最優(yōu)值與當前的全局最優(yōu)值做比較，以確定是否找到了更優(yōu)的全局解。如果有更優(yōu)的全局解，將更新全局最優(yōu)值及其位置信息。

在更新粒子的速度和位置時，采用了帶有慣性權(quán)重的PSO（Particle Swarm Optimization）算法。該算法允許粒子在搜索空間中具有一定的慣性，同時會受到個體最優(yōu)和全局最優(yōu)位置的吸引。通過調(diào)整慣性權(quán)重、個體學習因子和社會學習因子等參數(shù)，可以控制粒子的搜索行為，以實現(xiàn)在全局范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解的目標，具體見式（3）。

式中：[vk+1i]為第i個粒子在第k+1次迭代時的速度向量；[ω（k）]為第k次迭代時的慣性權(quán)重，可以是常數(shù)或隨時間變化的；[c1]和?[c2]為學習因子，分別代表個體最優(yōu)和社會最優(yōu)的影響權(quán)重；[r1]和[r2]為在［0，1］范圍內(nèi)的隨機數(shù)；[pki]為第i個粒子在第k次迭代時的個體最優(yōu)位置；[pkg]為整個粒子群在第k次迭代時的全局最優(yōu)位置；[xki]為第i個粒子在第k次迭代時的位置。

最后，持續(xù)進行迭代，直到滿足某個停止條件，比如測試函數(shù)值收斂到某個閾值以下或達到預設的最大迭代次數(shù)。一旦滿足停止條件，算法將輸出全局最優(yōu)解，即識別出的非對稱BW遲滯模型的參數(shù)值［5］。

3 試驗過程

3.1 試驗平臺的搭建

所搭建的測控系統(tǒng)硬件主要包括裝有LabVIEW的PC機、NI控制器、PI功率放大器及基于液壓放大的壓電精密運動平臺實物樣機。NI控制器負責實現(xiàn)實時控制、數(shù)據(jù)發(fā)送和數(shù)據(jù)采集等功能，包括實時控制模塊（NI CRIO 9024）、數(shù)據(jù)發(fā)送模塊（NI CRIO 9263）和數(shù)據(jù)采集模塊（NI CRIO 9411）等。該試驗平臺硬件原理如圖4所示，測控系統(tǒng)如圖5所示。

3.2 動態(tài)遲滯模型驗證

為了驗證本研究所提出的模型在描述壓電驅(qū)動器遲滯特性時的優(yōu)勢，采用1 Hz的單一正弦激勵信號進行非對稱的BW模型試驗［6］，得到的結(jié)果如圖6、圖7和圖8所示。

4 結(jié)語

本研究對BW模型進行了改進，引入了輸入信號電壓的多項式函數(shù)，用于描述壓電驅(qū)動平臺的遲滯非線性。通過采用PSO算法辨識模型參數(shù)，優(yōu)化后的遲滯模型能更好地匹配實際遲滯曲線。試驗利用基于NI實時控制器平臺，通過正弦波輸入測得響應位移。選擇1 Hz進行兩種模型的對比試驗，結(jié)果表明，非對稱的BW模型，能更好地擬合壓電陶瓷驅(qū)動器的遲滯非線性特性。

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