華應(yīng)龍

教材說(shuō)明

莫比烏斯圈是德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)的一個(gè)副產(chǎn)品?！澳葹跛谷Α币驯蛔鳛椤傲私獠⑿蕾p的有趣的圖形”之一寫(xiě)進(jìn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，編進(jìn)了義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（新世紀(jì)版》第十冊(cè)。

教學(xué)目標(biāo)

在老師的帶領(lǐng)下，學(xué)生自己動(dòng)腦想像，自己動(dòng)手操作，學(xué)會(huì)將長(zhǎng)方形紙條做成一個(gè)神奇的莫比烏斯圈：進(jìn)而經(jīng)歷其出乎意料的變化過(guò)程，在其“魔術(shù)般的變化”中感受到數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野;再經(jīng)歷創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)發(fā)明環(huán)節(jié)，積淀“數(shù)學(xué)不僅好玩還好用”的積極情感，激發(fā)起進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)的志趣。

課堂實(shí)錄

一、變魔術(shù)。

師：（出示一張白紙條》請(qǐng)拿出這樣的白紙條。這張紙條有幾條邊？幾個(gè)面？

生：（齊）四條邊，兩個(gè)面。

師：一個(gè)正面、一個(gè)反面（邊比劃邊說(shuō)，學(xué)生也隨著說(shuō)）。現(xiàn)在我會(huì)變魔術(shù)，我能把它變成只有兩條邊，兩個(gè)面。你會(huì)嗎？

（停頓。學(xué)生擺弄著紙條，無(wú)人應(yīng)答。教師微笑著把紙條變成紙圈。）

師：是不是兩條邊、兩個(gè)面？（邊問(wèn)邊比劃。）

生：是?。ㄍ瑢W(xué)們都笑了。）

師：你會(huì)嗎？

生：會(huì)?。▽W(xué)生都做成了紙圈。）

師：我看那位男同學(xué)的笑很特別，什么意思？

男生：（笑著說(shuō)）這沒(méi)什么神奇的！

師：是啊，地球人都知道。奇妙的是，我還能把它變成一條邊、一個(gè)面。（停頓，環(huán)視學(xué)生。）

（學(xué)生們瞪大眼睛，興趣一下子被激發(fā)起來(lái)了。有同學(xué)在想，有同學(xué)在試。）

師：非常好，有同學(xué)在大膽嘗試！〔全班同學(xué)都動(dòng)起手來(lái)。）有五六個(gè)學(xué)生已經(jīng)做出來(lái)了。太棒了！是不是這樣的？（老師把紙條放在背后操作，做成莫比烏斯圈。同學(xué)們笑了。）

師：不想讓你看到！（出示莫比烏斯圈。）想想吧，是怎么做的？（同學(xué)們微笑著，嘗試著。成功了的，快樂(lè)著。沒(méi)成功的，納悶著。）

二、做紙圈。

師：（看到大多數(shù)同學(xué)都做成了）同學(xué)們可以互相幫助。（沒(méi)有做成的在同學(xué)和老師的幫助下也很快完成了。）看到同學(xué)們快樂(lè)的笑臉，

我真高興！我們可以這樣做（演示）。先做成一個(gè)普通的紙圈，然后將一端翻轉(zhuǎn)180°，再用膠水粘牢。（學(xué)生動(dòng)手粘。）

是不是一條邊、一個(gè)面？怎樣檢驗(yàn)?zāi)兀?/p>

（一名女生用手指沿著紙條的邊和面各走了一圈。）

生：是一條邊、一個(gè)面！

師：我們一起動(dòng)手，都來(lái)檢驗(yàn)一下吧。誰(shuí)拿出一枝水彩筆，在紙圈的中間畫(huà)一條線(xiàn)，看看它是不是一個(gè)面。

生1：（邊畫(huà)邊說(shuō)）又回來(lái)了。

生2：哎，真是！（學(xué)生有的笑了，有的很驚訝。）

生3：真是一個(gè)面呀，怎么回事？

師：像這樣沒(méi)有里面和外面之分，只有一個(gè)面的，數(shù)學(xué)上叫它單側(cè)曲面。（板書(shū)：?jiǎn)蝹?cè)曲面。）那么普通的紙圈有里外之分就叫……

生：雙側(cè)曲面?！怖蠋煱鍟?shū)：雙側(cè)曲面。》

師：這樣一個(gè)怪怪的紙圈叫什么名字呢？有人知道嗎？

（環(huán)顧全班，有3個(gè)學(xué)生舉手。）

生：莫比烏斯圈。（另兩生附和。）

師：真不簡(jiǎn)單?。ò鍟?shū)：莫比烏斯圈）你是怎么知道的？

生：從《十萬(wàn)個(gè)為什么》上看到的。

師：是啊，我小時(shí)候也特別喜歡看《十萬(wàn)個(gè)為什么》。為什么叫莫比烏斯圈呢？（無(wú)人應(yīng)答。）我來(lái)告訴同學(xué)們，德國(guó)有一位數(shù)學(xué)家叫莫比烏斯，1858年，一次偶然的機(jī)會(huì)，他發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)奇妙的紙圈。所以，人們就把這樣的紙圈叫莫比烏斯圈。

<學(xué)生們點(diǎn)頭領(lǐng)會(huì)。）

三、沿1/2線(xiàn)剪。

師：我們的魔術(shù)還可以往下做，怎么做呢？剛才你不是在這個(gè)紙圈中間畫(huà)了一條線(xiàn)嗎？想想看，如果我們沿著中間這條線(xiàn)把這個(gè)紙圈剪開(kāi)。（教師示范剪一小段，個(gè)別學(xué)生要?jiǎng)邮旨簟＃┳⒁?，別忙著動(dòng)剪子。想一想，我們沿著中間這條線(xiàn)把這個(gè)紙圈剪開(kāi)的話(huà)，會(huì)怎樣呢？

（學(xué)生面面相覷，不出聲。）

師：我們應(yīng)該“大膽猜想”。

生1：我覺(jué)得這一個(gè)圈會(huì)變成兩個(gè)圈。

生2：我覺(jué)得會(huì)變成兩個(gè)莫比烏斯圈。

生3：會(huì)不會(huì)變成3個(gè)圈？

師：（看到有學(xué)生想剪了）要知道究競(jìng)，怎樣辦呢？

生：剪剪看。

師：是啊，實(shí)踐出真知！

（學(xué)生積極地動(dòng)起手來(lái)。）

生1：在我剪完之后，不像剛才同學(xué)們說(shuō)的那樣是兩個(gè)圈，它們是連在一起的。

生2：我這個(gè)也是連在一起的。

師;那是一個(gè)圈還是兩個(gè)圈？

生：（齊）一個(gè)圈。

師：不過(guò)，這個(gè)圈中間有點(diǎn)扭起來(lái)了。我們都認(rèn)為從中間剪開(kāi)應(yīng)該是兩個(gè)圈呀，怎么會(huì)變成一個(gè)圈呢？奇怪！

〔學(xué)生小聲議論起來(lái)。）

師：哪位同學(xué)能說(shuō)說(shuō)你的猜想？

生1：我猜想因?yàn)槟萨B(niǎo)斯圈只有一條邊一個(gè)面，所以我覺(jué)得剪開(kāi)以后是一個(gè)大圈！

生2：因?yàn)槭钦持?，我覺(jué)得剪完是一個(gè)整體。

師：剛才兩位同學(xué)發(fā)表了很好的意見(jiàn)，其實(shí)每位同學(xué)都可以猜想。究竟為什么呢？你可以繼續(xù)研究。

（一男生在玩弄他剪出的長(zhǎng)紙條……）

師：咦，有新發(fā)現(xiàn)了。這位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

男生：我也不知道我怎么剪出了一根紙條。

女生：他沒(méi)認(rèn)真看老師的示范，先從邊上剪進(jìn)去的。

（那男生點(diǎn)頭。）

師：對(duì)，我們是說(shuō)沿中線(xiàn)剪開(kāi)。真得“小心求證，（板書(shū)：小心求證），不然還以為有新發(fā)現(xiàn)了。不過(guò)，這也確實(shí)是個(gè)新發(fā)現(xiàn)啊。

（出示剪成的大圈）那么它還像剛才那樣，只有一個(gè)面嗎？

生：（齊）一個(gè)面.

師：這是我們猜測(cè)的，要準(zhǔn)確回答，怎么辦？

生：用筆畫(huà)線(xiàn)。

師：請(qǐng)拿起筆來(lái)，在紙帶中間畫(huà)一畫(huà)，看一看，究竟是一個(gè)面還是兩個(gè)面？

（學(xué)生動(dòng)手檢驗(yàn)后，紛紛說(shuō)“一個(gè)面”。）

師：我們看到的兩個(gè)面是不是都被畫(huà)上了線(xiàn)？

生：（恍然大悟）不是，只畫(huà)了一面，沒(méi)有畫(huà)到另一面。

師：那這個(gè)紙圈是不是單側(cè)曲面的呢？

生;不是。

師：是個(gè)雙側(cè)曲面。所以有的時(shí)候不能只在腦子里憑想像，還是要親自去做一做。做完以后，還得“小心”看準(zhǔn)了?，F(xiàn)在紙帶中間又畫(huà)了一條線(xiàn)了。如果再沿著這條線(xiàn)剪開(kāi)，想一想，又會(huì)是什么結(jié)果呢？

生1：還是一個(gè)圈。

生2：我覺(jué)得是兩個(gè)圈。

生3：我也覺(jué)得是兩個(gè)圈，是兩個(gè)圓圈。

師：大家做做看。

（學(xué)生動(dòng)手操作，老師也動(dòng)手操作。）

生：是兩個(gè)套著的圈，真奇怪！〔學(xué)生開(kāi)始小聲議論起來(lái)。）

師：這次我們同學(xué)猜兩個(gè)圈，結(jié)果還真是兩個(gè)圈，不過(guò)這兩個(gè)圈是……

生：是套著的。

師：對(duì)，是套在一起的口真奇妙！現(xiàn)在，你有什么想法嗎？

生：老師，還能剪。

（同學(xué)們都笑了，）

師：（邊笑邊說(shuō)）還想再剪是嗎？對(duì)，如果再剪會(huì)怎么樣呢？我還真沒(méi)試過(guò)。還有其他想法嗎？

生：我覺(jué)得這太神奇了，可是我想知道這是怎么回事？

師：還有其他想法嗎？

生：我覺(jué)得這個(gè)圈本來(lái)應(yīng)該是分開(kāi)的，為什么會(huì)變著變著又纏在一起了？

師：這樣的紙圈確實(shí)有很多奧秘，值得我們?nèi)パ芯俊?/p>

四、沿1/3線(xiàn)剪。

師：我們繼續(xù)來(lái)感受這個(gè)紙圈的神奇，好嗎？請(qǐng)同學(xué)們拿出那張黃紙條。在這張黃紙條上畫(huà)了三等分線(xiàn)，請(qǐng)把中間的一份涂上你喜歡的顏色。兩面都涂。

（學(xué)生動(dòng)手操作。）

師：涂好了嗎？

生：沒(méi)有口

師：好，我們?cè)俚纫坏?。涂完之后再把它圈成一個(gè)莫比烏斯圈。

生;做完了。

（很多同學(xué)都把做好的莫比烏斯圈舉了起來(lái)，教師對(duì)個(gè)別同學(xué)進(jìn)行輔導(dǎo)。）

師：好，現(xiàn)在你有什么想法？

生：能沿著線(xiàn)把這個(gè)莫比烏斯圈剪開(kāi)嗎？

師：可以的。如果我們沿著三等分線(xiàn)把這個(gè)莫比烏斯圈剪開(kāi)的話(huà)，需要剪幾次呢？

生：（齊）兩次。

師：剪完以后會(huì)是什么樣子呢？

（學(xué)生小聲猜測(cè)。）

生1：我覺(jué)得剪完后可能會(huì)是三個(gè)圈套在一起。

生，2：我覺(jué)得是三個(gè)小圈套成一個(gè)大圈。

師：三個(gè)小圈套成一個(gè)大圈？真佩服你的想像。那究竟是怎么樣？還是動(dòng)手去做一做。

〔學(xué)生開(kāi)始操作口）

生：剪一次就可以了。

師：明明是兩條線(xiàn)，怎么剪一次就可以了？

（學(xué)生中不時(shí)發(fā)出驚奇的聲音：“咦！邪門(mén)兒了……”）

師：剪成了幾個(gè)圈？

生1：兩個(gè)。

生2：一個(gè)大圈套著一個(gè)小圈。

生3：小圈是單側(cè)曲面，大圈是雙側(cè)曲面。

五、自主玩。

師：剛才我們將一根普通的紙條擰、粘、剪（板書(shū)：擰、粘、剪），我們感受到了莫比烏斯圈的變幻莫測(cè)、神奇無(wú)比。我想接下來(lái)的時(shí)間就完全交給同學(xué)們了。現(xiàn)在就發(fā)揮你們的聰明才智口你們自己想像、設(shè)計(jì)、制作。請(qǐng)拿出另一根白色紙條。剛才我們是擰了180度，你想還可以怎么擰？剛才我是沿1/2、1/3線(xiàn)剪的，現(xiàn)在你想怎么剪呢？特別好的創(chuàng)意，老師將獎(jiǎng)給紅色紙條繼續(xù)設(shè)計(jì)。

（屏幕上出示經(jīng)典的莫比烏斯圈圖案，并播放古典樂(lè)曲《漁舟唱晚》。學(xué)生創(chuàng)作，教師巡視，詢(xún)問(wèn)夸獎(jiǎng)，發(fā)放“獎(jiǎng)品”。）

師：剛才是我們各自在創(chuàng)造，現(xiàn)在小組內(nèi)的同學(xué)相互交流欣賞，說(shuō)說(shuō)你是怎么做的，怎么旋轉(zhuǎn)，怎么剪開(kāi)的。

（學(xué)生開(kāi)始小組交流，老師往返于幾個(gè)小組之間。爾后，請(qǐng)幾位同學(xué)在全班交流。）

生1：我是把紙條一端旋轉(zhuǎn)360度做成一個(gè)莫比烏斯圈，并沿1/2線(xiàn)剪開(kāi)，得到的是兩個(gè)套在一起的圈。

生2：我?guī)退m正一下，把紙條一端旋轉(zhuǎn)360度做成的紙圈不是莫比烏斯圈。

師：那它是什么？

生2：它是一個(gè)雙側(cè)曲面的圈。

生3：這兩個(gè)圈的大小一樣。

生4：它們都是雙側(cè)曲面的圈。

生5：我得到一個(gè)結(jié)論：把紙條一端旋轉(zhuǎn)180度的奇數(shù)倍次做的圈是單側(cè)曲面的，而旋轉(zhuǎn)180度的偶數(shù)倍次做成的圈是雙側(cè)曲面的。

師：真棒！他不但動(dòng)手做，還動(dòng)腦想了。那這個(gè)規(guī)律到底對(duì)不對(duì)呢？除了多次實(shí)驗(yàn)，還要從理論上去證明?，F(xiàn)在，我還是提議我們?yōu)樗拇竽懖孪牍恼疲?/p>

生6：我把紙條做成一個(gè)莫比烏斯圈再沿1/4線(xiàn)剪開(kāi)，結(jié)果不能一次剪開(kāi)，一共剪了兩次，但結(jié)果也得到兩個(gè)套在一起的大小一樣的雙側(cè)曲面紙圈。

師：剛才我們已經(jīng)創(chuàng)造和分享了莫比烏斯圈的神奇。我想肯定還有很多同學(xué)想繼續(xù)去探究，咱們暫時(shí)打住。

六、發(fā)明用處。

（教師出示莫比烏斯爬梯圖片。）

師：在咱們西城區(qū)有一個(gè)莫比烏斯爬梯，有人玩過(guò)嗎？

（十多名學(xué)生都說(shuō)“玩過(guò)”。）

女生：我玩的時(shí)候上上下下有十圈，累得我滿(mǎn)頭大汗，最后還是回到原地。

師：哈哈哈！原來(lái)我們只是覺(jué)得好玩，現(xiàn)在我們知道是怎么回事了嗎？

生：知道了！

師：莫比烏斯圈不但好玩，還好用呢。你想想看，莫比烏斯圈可以用在哪些地方呢？

生1：家里有胖兒子的，媽媽就可以設(shè)計(jì)一個(gè)莫比烏斯跑道，讓她的兒子減肥。

（同學(xué)們都笑了。）

生2：有的過(guò)山車(chē)就是這樣的。（很多學(xué)生附和。）

師：就像游樂(lè)園玩的那個(gè)，是吧？（教師出示幾張過(guò)山車(chē)的圖片，好多學(xué)生說(shuō)：“是，真是這樣的?！保┠沁^(guò)山車(chē)的軌道到底是不是莫比烏斯圈呢？我們下次玩的時(shí)候注意觀察一下，它是一個(gè)面呢，還是兩個(gè)面，好不好？

生3：我覺(jué)得可以把樓梯制成莫比烏斯圈的。

（眾人嘩然。）

師：很大膽的一個(gè)猜想，說(shuō)不定有朝一日，我們的樓梯就像他講的那樣，我上去一會(huì)兒又下來(lái)了。

（全班哄堂大笑。）

生4：我覺(jué)得環(huán)線(xiàn)地鐵也可以是莫比烏斯圈的。

（學(xué)生又一片嘩然。）

師：多好的想法！問(wèn)題是當(dāng)?shù)罔F沿著莫比烏斯軌道轉(zhuǎn)著轉(zhuǎn)著的時(shí)候，會(huì)轉(zhuǎn)到哪兒去呢？

（全班善意地大笑。）

〔教師播放“一位同學(xué)聽(tīng)完磁帶一面錄音，換聽(tīng)另一面”情景的8秒鐘錄像。）

生：（一男生搶著說(shuō)）可以循環(huán)的那種，做一個(gè)莫比烏斯圈式的磁帶。（有三位同學(xué)附和。）

師：多有價(jià)值的創(chuàng)意，那樣的磁帶，就自動(dòng)從這一面唱到那一面了。應(yīng)該申請(qǐng)專(zhuān)利。唉！只可惜這個(gè)創(chuàng)意我們稍微遲了一點(diǎn)，已經(jīng)被一個(gè)日本人申請(qǐng)了專(zhuān)利。

（好多同學(xué)發(fā)出了“唉”的一聲。一個(gè)女同學(xué)舉起了手。）

師：非常高興，女同學(xué)有代表了！

女生：放水沒(méi)關(guān)來(lái)回流，可以用莫比烏斯圈讓它循環(huán)。

師：哈……把水重新利用一下？好，我沒(méi)太明白口謝謝這位女同學(xué)！她的想法，讓我想到針式打印機(jī)的色帶，它就是讓墨水流到莫比烏斯圈原理做成的色帶上，充分利用了色帶的兩面。

（同學(xué)們報(bào)以熱烈的掌聲。）

七、說(shuō)收獲與遺憾。

師：很可惜我們的時(shí)間到了，上了今天這節(jié)課你有什么收獲或遺憾？

生1：通過(guò)上這節(jié)課我知道了莫比烏斯圈，還知道了莫比烏斯圈怎樣疊，

生2：我的遺憾是我沒(méi)有想出那么多日常生活中可以用上莫比烏斯圈的用品。

師：那沒(méi)事，今天剛接觸嘛，接下來(lái)繼續(xù)想就是了。

生3：我知遣了莫比烏斯圈只有一條邊、一個(gè)面。

生4：我知道了莫比烏斯圈，我遺憾我不能多剪幾次。

（大家都笑了。）

師：那是怪華老師沒(méi)有給大家更多的時(shí)間，課下再試試好不好？

生5：我知道莫比烏斯圈在生活中有很多用處。

生6（那位首先想到莫比烏斯磁帶的男孩）：我媽媽早生我?guī)啄昃秃昧恕?/p>

（全班同學(xué)都笑了。）

師：好了，同學(xué)們，大家通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，是不是對(duì)莫比烏斯圈還有很多疑問(wèn)呢？還有很多個(gè)“為什么”沒(méi)能解答。有的問(wèn)題華老師也不怎么清楚。我告訴大家，數(shù)學(xué)中有一門(mén)專(zhuān)門(mén)研究莫比烏斯圈的學(xué)問(wèn)叫做拓?fù)鋵W(xué)。（板書(shū)：拓?fù)鋵W(xué)）課下，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)去研究好不好？中國(guó)科技館，去過(guò)吧？

生：（齊）去過(guò)口

師：（播放三葉紐結(jié)錄像）中國(guó)科技館的大廳里就聳立著一個(gè)巨型的三葉紐結(jié)，這個(gè)三葉紐結(jié)就是根據(jù)莫比烏斯圈的原理設(shè)計(jì)的。

它每天不停地旋轉(zhuǎn)著美妙的曲線(xiàn)，帶給我們美的享受，讓我們享受著數(shù)學(xué)的神奇（在課題位置板書(shū)：神奇的），帶給我們無(wú)限的遐想……

課后反思

從整節(jié)課來(lái)看，較好地完成了教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生們?cè)凇皠?dòng)手做”中深切地感受到了莫比鳥(niǎo)斯圈的無(wú)窮魅力，激發(fā)起了強(qiáng)烈的好奇心和創(chuàng)造欲望。陳省身教授“數(shù)學(xué)好玩”幾個(gè)大字寫(xiě)在他們臉上，寫(xiě)在他們眼中，寫(xiě)在他們心里。

我為新課程中加入這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容鼓與歡，我為自已的教學(xué)創(chuàng)造樂(lè)悠悠！

以一張紙片做魔術(shù)導(dǎo)入，比直接出示莫比烏斯圈或者提出一個(gè)傳統(tǒng)的、在一般情況下無(wú)法解決的問(wèn)題引出莫比烏斯圈，更能讓學(xué)生真切地感受到莫比烏斯圈像魔術(shù)般神奇的變化，并為學(xué)生琢磨其中的奧妙做了鋪墊。在這個(gè)變化過(guò)程中，我并不是將莫比烏斯圈和盤(pán)托出，而是給學(xué)生創(chuàng)造和想像的時(shí)空。教學(xué)實(shí)踐證明：不單莫比烏斯能發(fā)現(xiàn)這個(gè)圈，我們的學(xué)生也能夠創(chuàng)造出來(lái)。只不過(guò)莫比烏斯是無(wú)意間的發(fā)現(xiàn)，而我們的學(xué)生是有目的的探索。

在動(dòng)手探尋莫比烏斯圈的奇妙特點(diǎn)時(shí)，我堅(jiān)持讓學(xué)生先想一想、猜一猜，剪完以后再想一想：“我為什么沒(méi)有猜中？為什么會(huì)是這樣的？”這樣，就不只是讓學(xué)生動(dòng)手做，還要學(xué)生動(dòng)腦想，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的空間想像能力、“大膽猜測(cè)，小心求證”的意識(shí)以及勤于反思的習(xí)慣。

一般的課上，學(xué)生的動(dòng)手操作多是遵師命而為，學(xué)生只是操作工，不是探究者，我適時(shí)地放手，給了學(xué)生充分的自主創(chuàng)造的時(shí)間和空間，學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋提出猜想，動(dòng)手驗(yàn)證，愉快體驗(yàn)，它十分有效地激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造熱情和發(fā)現(xiàn)欲望。

最后的教學(xué)環(huán)節(jié)不是定位于“介紹應(yīng)用”，而是立意在“創(chuàng)造和欣賞”。當(dāng)學(xué)生發(fā)出“唉——我媽媽早生我?guī)啄昃秃昧恕?，我竊喜不己，我要的就是這個(gè)效果：“人皆可以為堯舜”，我們一樣能創(chuàng)造！

教學(xué)，同樣是一門(mén)遺憾的藝術(shù)口滿(mǎn)足之余，我在品味那幾處遺憾——

在學(xué)生按1/2線(xiàn)剪完后，我問(wèn)：“現(xiàn)在，你有什么想法嗎？”我的預(yù)設(shè)正是后兩位學(xué)生回答的：“我覺(jué)得這太神奇了，可是我想知道這是怎么回事？”“我覺(jué)得這個(gè)圈本來(lái)應(yīng)該是分開(kāi)的，為什么會(huì)變著變著又纏在一起了？”而當(dāng)?shù)谝晃粚W(xué)生說(shuō)“老師，還能剪”時(shí)，我該不該讓學(xué)生再剪？我沒(méi)試過(guò)，可以讓學(xué)生去試嗎？整節(jié)課，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是處處出乎意料，但對(duì)我來(lái)說(shuō)都是意料之中的。沒(méi)讓學(xué)生繼續(xù)剪，潛意識(shí)里是怕出乎我的意料，不可收拾？還是要完成我的教案，否則沒(méi)有時(shí)間按1/3線(xiàn)來(lái)剪了？說(shuō)實(shí)話(huà)，我心底里是渴望課上出現(xiàn)“節(jié)外生枝”的場(chǎng)面，覺(jué)得那樣的課堂夠刺激，有挑戰(zhàn)，充滿(mǎn)著張力，展現(xiàn)著功力。但是為了完成教案，為了展示那按1/3線(xiàn)剪后的神奇，同時(shí)也是為學(xué)生后面的創(chuàng)造積蓄能力，我必須放棄這些“旁枝”。

那么，按1/3線(xiàn)來(lái)剪是非剪不可的嗎？是根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)來(lái)組織教學(xué)，還是根據(jù)老師的主觀預(yù)設(shè)來(lái)控制課堂？老師的設(shè)計(jì)肯定是較為理想的，但腳下走出來(lái)的才是路。自然的才是最美的！

雖然為了上這節(jié)課，我看了20多本相關(guān)的專(zhuān)業(yè)書(shū)籍，知道莫比烏斯圈有很多有趣的、神奇的性質(zhì)：雖然發(fā)給學(xué)生的畫(huà)好1/3線(xiàn)的紙條，都是我親手一張一張地做成的，但是想起魯迅先生《作文秘訣》中的“有真意，去粉飾，少做作，勿賣(mài)弄”，想起普羅泰戈拉的“人是萬(wàn)物的尺度”，我該以“生”為本還是以“圈”為本呢？再想到教學(xué)目標(biāo)，我知道該怎么做了。

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)，舊學(xué)校給學(xué)生太多的“好勝心”，很少培養(yǎng)學(xué)生的“好奇心”。這節(jié)課最根本的目標(biāo)不就是培養(yǎng)學(xué)生的“好奇心”嗎？這么看來(lái)，那個(gè)“單側(cè)曲面”、“雙側(cè)曲面”也是可以不出示的，就用“一個(gè)面還是兩個(gè)面”來(lái)區(qū)分就行了。

再實(shí)踐

接下來(lái)，在別的班再上這一課時(shí)，就更為放手，沒(méi)有了“單側(cè)曲面”、“雙側(cè)曲面”的阻隔，沒(méi)有了老師的及時(shí)“犁肘”，學(xué)生的想像發(fā)揮得更為酣暢。有的用上了老師提供的畫(huà)好1/3線(xiàn)的紙條（那紙條變成了一種暗示），有的把莫比烏斯圈壓扁了，變成了一個(gè)六邊形，有的為了看清纏在一起的“真面目”，就再做一個(gè)，剪斷這個(gè)看那個(gè)，剪斷那個(gè)看這個(gè)。

最后我也參與了進(jìn)去：“做了這么多莫比烏斯圈了，現(xiàn)在給你一張紙條你就能做成莫比烏斯圈嗎？”學(xué)生自信地答道：“能！”我拿起紙條，剪去一大段，“請(qǐng)你用這一小段做一個(gè)莫比烏斯圈。”學(xué)生為難了。“紙條太短了，不行?！庇袑W(xué)生說(shuō)道：“對(duì)啊，紙條的長(zhǎng)和寬該是怎么的關(guān)系才能做呢？”學(xué)生在思考，我突然想起哥倫布豎雞蛋的故事?！熬陀眠@張紙條，我能做成一個(gè)莫比烏斯圈！”學(xué)生們的眼睛都閃閃發(fā)光。我用剪刀把紙條剪窄了……

那真是師生共享、共進(jìn)，張揚(yáng)個(gè)性，生成智慧的世界！