劉加霞

度量角的大小是一種基本的操作技能。在日常教學(xué)中，操作技能的教學(xué)往往是教師講解、演示、示范操作的基本程序和步驟，然后學(xué)生模仿操作并進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)。這樣的技能教學(xué)容易降低學(xué)生的思維水平，因?yàn)樵诓僮髦腥鄙偎伎寂c探究，更缺少猜想與創(chuàng)造。

操作技能的教學(xué)僅僅是模仿與訓(xùn)練嗎？如何使學(xué)生真正參與其中？真正實(shí)現(xiàn)獨(dú)立思考與創(chuàng)新？下面以華應(yīng)龍老師執(zhí)教的《角的度量》為例分析如何使技能教學(xué)更“厚重”些。

一、量角是“屠龍之技”還是另有內(nèi)涵？

帶著問(wèn)題、帶著思考的教學(xué)就能避免學(xué)生的簡(jiǎn)單模仿與記憶。為什么要度量角的大??？在實(shí)際生活中學(xué)生能夠感受到角的大小的作用嗎？很難。學(xué)生并沒(méi)有進(jìn)行“角的大小”比較的直觀經(jīng)驗(yàn)，也沒(méi)有量角的實(shí)際需求（但這種需求能夠激發(fā)）。因?yàn)椤敖恰笔翘N(yùn)含在客觀物體里的，需要抽象才能得到數(shù)學(xué)上的“角”（頂點(diǎn)、過(guò)頂點(diǎn)的兩條直直的邊、平面圖形），因此在客觀物體里很少能直接看到數(shù)學(xué)上的“角”，在“靜態(tài)”中很難意識(shí)到角的大小的作用。

那為什么還要學(xué)習(xí)“角的度量”呢？如何使“量角的大小”不是單純的“屠龍之技”？

1.“三個(gè)滑梯”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

在課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，三個(gè)不同傾斜度的滑梯情境既符合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又能體現(xiàn)出“角的大小”的作用，使學(xué)生強(qiáng)烈地感受到“角的大小”是影響下滑速度的重要因素。雖然學(xué)生有這方面的生活經(jīng)驗(yàn)，但現(xiàn)實(shí)中的滑梯幾乎都是“標(biāo)準(zhǔn)的”、安全的，學(xué)生沒(méi)有思維上的對(duì)比和沖突，就不會(huì)有意識(shí)地思考下滑速度與“角”的大小之間存在本質(zhì)聯(lián)系。學(xué)生學(xué)習(xí)的愿望與需求，需要教師激發(fā)而不僅僅是滿(mǎn)足。另一方面，這三個(gè)滑梯也滲透著重要的函數(shù)思想：當(dāng)滑梯角度變大時(shí)，下滑的速度越來(lái)越大，即一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化。學(xué)生在變化中感受“角的大小”的作用。

2.在應(yīng)用中感知“角”。

華老師的這一課為學(xué)生提供了豐富的應(yīng)用情境：滑梯的角度多大合適？誰(shuí)放的風(fēng)箏高？椅子的靠背多彎才舒服？在哪個(gè)位置射門(mén)進(jìn)球率高……？直觀演示了抽象的“角”，讓學(xué)生感知角的大小的作用。

雖然教師還不能清楚地向?qū)W生解釋原因，但至少給學(xué)生寬廣的視野和進(jìn)一步思考的空間，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到“角”的大小所蘊(yùn)含的思想與方法不僅是生活所需，更是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)。

3.技能的背后是對(duì)概念的深刻理解。

在這節(jié)課上，量“角”的過(guò)程是學(xué)生更深刻地理解“角”概念的過(guò)程。雖然在此之前學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“角”，但并不精細(xì)和深刻。例如，學(xué)生僅會(huì)簡(jiǎn)單地判斷什么樣的圖形是“角”，知道“角”各部分的名稱(chēng)。至于如何抽象出“角”、“角”的大小的作用以及“角”的大小是否取決于角兩邊的長(zhǎng)短等問(wèn)題，學(xué)生的理解并不深刻，而這些都是“角”概念的重要內(nèi)容。由此我們不難得出如下結(jié)論：有效的技能教學(xué)離不開(kāi)對(duì)概念的深刻理解，脫離對(duì)概念深刻理解的技能教學(xué)容易演變?yōu)楹?jiǎn)單的模仿、記憶、強(qiáng)化訓(xùn)練。

量“角”的教學(xué)可能是“屠龍之技”的傳授，也可能是發(fā)展學(xué)生對(duì)概念、思想方法的深入理解并感受其價(jià)值的教學(xué)，兩者的選擇取決于教師有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、量“角”的大小為何畫(huà)“角”？

在華老師的課堂上花費(fèi)了很長(zhǎng)時(shí)間讓學(xué)生在“紙制量角器”上畫(huà)“角”。本課的教學(xué)目標(biāo)是“量角的大小”，為什么要不厭其煩地讓學(xué)生畫(huà)“角”呢？這是由角的度量的本質(zhì)所決定。

“角的度量”的本質(zhì)就是所要測(cè)量的“角”與“標(biāo)準(zhǔn)的角”（已經(jīng)知道大小的“角”）的合同，即這兩個(gè)“角”能夠完全重合，唯有如此，我們才能知道要測(cè)量角的大小。

在角的度量中，兩個(gè)角的重合與長(zhǎng)度度量中兩條線(xiàn)段的重合從本質(zhì)上說(shuō)是一致的，但學(xué)生在理解這兩種不同量的度量時(shí)其難度是不一樣的，容易誤認(rèn)為“角的大小”等于角的兩條邊之間的“寬度”，因此得出錯(cuò)誤的結(jié)論：角的兩條邊越長(zhǎng)角的度數(shù)就越大。

學(xué)生理解“角的度量”的本質(zhì)有兩方面的困難：一方面學(xué)生看不到量角器上的“角”。這與學(xué)生對(duì)角的概念的理解比較淺有關(guān)。另一方面，即使看到了量角器上的“角”，也不知道怎樣才能使量角器上的“角”與所測(cè)量的“角”重合。量角器上“角”的頂點(diǎn)在中心，有兩條邊都可以作為角的“始邊”，要度量的角與哪條始邊重合呢？這需要學(xué)生根據(jù)所要測(cè)量的角的特征決定。另外，所要測(cè)量的角的兩條邊的長(zhǎng)度不確定，不能恰好和量角器上的刻度線(xiàn)重合，也會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)困難。

真正了解了教學(xué)的“難點(diǎn)”，教師就可以在“該出手時(shí)出手”，設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)（四次畫(huà)不同角度的“角”）進(jìn)行適時(shí)的點(diǎn)撥引導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到量角的本質(zhì)。

三、技能教學(xué)能否給學(xué)生創(chuàng)造的機(jī)會(huì)？

在做學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的前測(cè)調(diào)研中，大約80%的學(xué)生是按照下述方法量角的。

顯然，這不是巧合。學(xué)生認(rèn)識(shí)一維空間比較容易，因此，量“長(zhǎng)度”沒(méi)有困難，量角度時(shí)就產(chǎn)生了很大困難，主要體現(xiàn)為度量要“從頭開(kāi)始”的思維定勢(shì)。試想，在以往度量的學(xué)習(xí)中，哪一類(lèi)度量不是從“頭”開(kāi)始的？度量長(zhǎng)度是這樣，度量質(zhì)量也是這樣（但面積的度量不是這樣，而是通過(guò)公式計(jì)算得到）。凡是度量的量不是從“頭”開(kāi)始，學(xué)生學(xué)起來(lái)就有困難，例如認(rèn)識(shí)鐘表，“鐘面”是一個(gè)封閉的結(jié)構(gòu)，沒(méi)有“頭”和“尾”，把哪兒作為認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)呢？因此要先認(rèn)識(shí)“整時(shí)”與“半時(shí)”，然后再認(rèn)識(shí)其他時(shí)間。

學(xué)生按照上述方法量角是很自然的，值得注意的是，這種辦法也有其合理性：這樣“量角”只要把所讀出的度數(shù)除以2就得到所測(cè)量角的度數(shù)（圓心角等于圓周角的2倍）。

給學(xué)生這樣的思維創(chuàng)造的空間，發(fā)明新的方法，在使用自己獨(dú)創(chuàng)方法的過(guò)程中，通過(guò)案例分析、比較兩種方法的優(yōu)劣性，從而感受到自己的方法的局限性：例如只能測(cè)量銳角；當(dāng)所測(cè)量的角接近直角時(shí)，會(huì)帶來(lái)比較大的誤差等，也未嘗不可。

另外，假如學(xué)生就用這樣的“方法”量角，為了避免上述局限，是否可以重新設(shè)計(jì)量角器呢？量角器畢竟只是一個(gè)“工具”，而“工具”是人創(chuàng)造的，只要合理、無(wú)矛盾并能夠解決實(shí)際問(wèn)題，創(chuàng)造什么樣的工具皆可由人來(lái)決定。事實(shí)上，無(wú)論怎樣設(shè)計(jì)量角器，其本質(zhì)和現(xiàn)行的量角器都是一樣的，即將半圓平均分為180份，每一份是一度。這是因?yàn)槲覀兡芨兄目臻g是歐幾里得空間。這樣的活動(dòng)也可以再一次讓學(xué)生感受到什么是數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)是創(chuàng)造但絕對(duì)不是隨心所欲、胡編亂造，要符合邏輯，要與宇宙的本質(zhì)共性。

由此，技能教學(xué)能否給學(xué)生一個(gè)創(chuàng)造的空間？值得深思和探索。

（作者單位系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系）