曹培英

新年伊始，《人民教育》又亮出了一個新的話題：“可否給技能教學來一次革命？”奪人眼球的標題，鮮活、精彩的課例，配以深刻、精辟的分析文章，讀來令人感到一種震撼。感動之余，不由得也想說上幾句。

一、什么是開啟技能教學之鎖的鑰匙？

在小學數(shù)學的技能教學中，量角器的使用歷來是一個難點。難在何處？怎么解決？年復(fù)一年，有人在思索，有人在實踐。

早就有教師仔細觀察了學生最初使用量角器的過程，發(fā)現(xiàn)他們往往將被量角的頂點放在量角器的圓弧上，而且常常分辨不清該看外圈刻度還是看內(nèi)圈刻度。由此，形成了相應(yīng)的教學策略：著重教會學生怎樣放量角器，怎樣讀刻度。進一步，還概括了“心對點，線對邊，度數(shù)就看另一邊”等要領(lǐng)。一部分教師自覺或不自覺地依賴訣竅進行教學，卻忽視了“怎樣放”、“怎樣讀”的實踐感悟，教學效果自然不理想。

為什么在學習用刻度尺度量線段長度時，學生自然而然會想到用尺的邊緣去和被量線段重合，而在學習用量角器量角時，卻需要教師刻意“點破”角與角的“重合”呢？究其原因：從學習內(nèi)容看，“角的大小是一種二維特征，和長度的一維特性有著較大的差異”（見華應(yīng)龍《讓學習像呼吸一樣自然》，本刊2007年第2期），而且量角器比刻度尺復(fù)雜得多；從學習者自身看，兒童在日常生活中，積累了很多量長度的體驗（最常見的是量身高），但幾乎沒有量角的經(jīng)歷，因此，從零刻度起量長度的經(jīng)驗，在這里又成了產(chǎn)生學習負遷移的條件。

對此，原來的小學數(shù)學教材與教學又是怎樣處理的呢？〔指九年義務(wù)教育六年制小學教科書—數(shù)學（第八冊）第130～131頁，人民教育出版社1996年4月第1版〕

為了引導學生實現(xiàn)從一維到二維的跨越，原教材采取了兩條對策。首先，啟發(fā)學生通過“重合”比較角的大小，并強調(diào)怎樣的“重合”才能說明兩個角相等。這是學習用量角器量角的認知基礎(chǔ)，也就是余亞萍老師指出的“發(fā)生學習正遷移的條件”（《著眼思路引導拓展主動探究空間》，見《小學數(shù)學教師》2005年第1～2期合刊）。然后，通過用量角器量角，啟發(fā)學生得出結(jié)論：角的大小要看兩條邊叉開的大小，與角的兩邊畫出的長短無關(guān)。這是在量角的實踐基礎(chǔ)上，使學生加深對角概念的理解。

針對量角器構(gòu)造的復(fù)雜性和學生缺乏直接經(jīng)驗的不利因素，原教材的對策是，通過量角的實例，較詳盡地描述使用量角器的方法。在實際教學中，教師大多采用“講解示范→模仿操作→強化練習”的程序開展教學。實踐表明，效果往往不盡如人意。

深入分析，主要存在兩個問題。一是未能有意識地幫助學生排除先前學習量長度時形成的“一端對齊、從頭量起”的操作定式，即學習負遷移的干擾。二是講解與演示沒能切實引導學生找到量角器上的已知角，并捅破“用量角器上的角去重合被量的角”這層窗戶紙。從而，教材給出的鋪墊“重合，比較角的大小”，這一促成學習正遷移的條件并未真正發(fā)揮作用。

華老師的教學之所以成功，正是因為化解了以往教學中一直沒有很好解決的兩個問題。更難能可貴的是，華老師變“全盤授予”為“相機誘導”，讓學生“先試先量，先想先說，正確的地方充分肯定，存在的問題一起探討，學習活動順著孩子們學習的天性展開”。這里，教師的教學智慧和教學藝術(shù)提升了技能操作教學的境界。當然，我們不可能要求每個小學數(shù)學教師都達到“相機誘導”的教學水平。但應(yīng)該努力做到的是，仔細觀察、深入研究學生的學，把握學生學習的困難和癥結(jié)所在。這就是開啟數(shù)學技能教學之鎖的鑰匙，也是“道法自然”的基礎(chǔ)。進而，即便采用講解、演示與模仿操作、強化練習的教學程序，也能消解“負遷移”，促成“正遷移”，提高操作技能教學的有效性。

華老師的課例，不僅讓我們看到以往教材教法研究中對教學對象研究的不足，還使我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學學科教學心理研究的缺失。一般來說，數(shù)學的操作技能，既不是典型的動作技能，又非純粹的心智技能，很少引起心理學研究者的關(guān)注。數(shù)學教師可以采用臨床觀察的方法，通過作業(yè)與談話，發(fā)現(xiàn)學生量角、畫角以及畫垂線、平行線時是怎樣做的，會有哪些困惑，卻很難像瑞士心理學家皮亞杰那樣，設(shè)計具有典型意義的心理學實驗，揭示學生形成操作技能的內(nèi)在心理機制。如果專業(yè)研究者能和教師協(xié)作，開展本來意義上的行動研究，增強理論與實踐的互動，并堅持下去，相信能讓我們迎來技能教學的“革新”。遺憾的是，至少在目前，我們似乎還沒做好迎接“革新”的準備。

二、突破技能教學關(guān)鍵的方式可以多種多樣。

如前分析，學習量角的關(guān)鍵在于理解：“量角就是用量角器上的已知角去重合被量的角?！币斫獠⑦\用這一原理，首先必須在量角器上找到已知度數(shù)的角。

為此，華應(yīng)龍老師的方法是先讓學生找“量角器上有沒有角？角在哪兒？”然后讓學生在“紙制量角器”上畫不同度數(shù)的“角”。

余亞萍老師的方法是先讓學生看課本，了解什么是1°的角，量角器上有多少個1°的角。然后予以啟發(fā)：“我在量角器上沒有看到從中心點引出射線構(gòu)成許多個角，而是看到中心點處是一個空白的半圓，這是為什么？”學生思考后作出解釋：“量角器上所有的角都畫出，那么，中間變成了一團墨，這樣各個角的頂點位置就無法確認了?！边@表明他們已經(jīng)能夠在量角器上看到角了。

兩種不同的教學過程，殊途同歸，都為學生理解量角的實質(zhì)“重合—相等”，掌握量角的方法“二合一看”，掃清了障礙。有了這樣的認識基礎(chǔ)，學生也就容易擺脫先入為主的操作定式，不再想到將角的頂點與量角器上直徑的一端（即0刻度線）對齊了。

換一個角度思考，既然學生已經(jīng)習慣于“一端對齊”，為什么我們非要和他們“過不去”，從一開始就試圖徹底扭轉(zhuǎn)呢？能不能突破我們自己的思維定式，因勢利導呢？

比如，我們完全可以先出示只有一圈刻度的“半個”量角器，讓學生用它來量銳角、直角。如此一來，既順應(yīng)了學生“一端對齊”的習慣，又暫時回避了分辨外圈刻度、內(nèi)圈刻度的麻煩。然后使學生明白，這樣的量角器，一次至多只能量直角，為了一次直接量出鈍角的度數(shù)，再出示只有一圈刻度的整個量角器。最后，為了方便度量開口向右的角，再給出第二圈刻度。相應(yīng)地，1°角的規(guī)定可以這樣引入：把四分之一圓平均分成90份，每一份所對應(yīng)的角叫做1度的角。歷史上，人們定義角的計量單位“度”，用的是圓周的360等份。為了便于引出半圓形量角器，教材通常采用半圓的180等份來定義1度的角。它與四分之一圓的90等份是一致的。

顯然，這是一種變換測量工具，讓量角器“遷就”學生的教法，而不再一味地讓學生去適應(yīng)相對復(fù)雜的工具。這種教法，分散了學習的難點，便于學生由易到難，拾級而上。更徹底地，既然現(xiàn)有的學習工具難為了學生，為什么不可以改造工具呢？事實上，目前市面上已在出售只有一圈刻度的量角器。

面對現(xiàn)有的工具，華老師和余老師的教法也有優(yōu)勢。那就是能讓學生“跳一跳摘果子”，經(jīng)歷較為完整的問題解決過程。于是，又引出了以下話題。

三、怎樣適當豐富技能教學的內(nèi)涵？

教學量角，除了讓學生學會使用量角器，還能追求什么？

首先，必須追求理解。在數(shù)學操作技能的學習中，理解是變機械模仿為有意義操作的杠桿，其道理不言而喻。對于學習量角來說，必須使學生理解量角器的構(gòu)造，理解量角的實質(zhì)，并進一步理解角的概念。

原來的教材中畫有兩個角，它們的邊，一個畫得長，一個畫得短，要求學生用量角器量，并比較大小。學生量后發(fā)現(xiàn)，兩個角的度數(shù)相等。由此得出，角的大小是取決于兩條邊叉開的程度，與邊的長短沒有關(guān)系。

實際教學時，教師大多會提醒學生，用直尺延長角的邊，使兩邊露在量角器外，這樣便于讀出度數(shù)?？上?，很少有教師意識到，這是一個難得的契機，可以用來啟發(fā)學生初步感悟：數(shù)學中將角的邊定義為射線，原來是有作用的。是啊，為什么要規(guī)定角的邊是兩條射線呢？在初次出現(xiàn)角的定義時，教師很難解釋。幸好我們的學生幾乎從沒提出過這樣的疑問。事實上，正是由于角的邊是射線，我們才能根據(jù)需要，加以延長；也正是因為角的邊是射線，所以角的大小與邊的長短無關(guān)。

這是學習數(shù)學技能與理解數(shù)學概念相得益彰的一個例子?？梢哉f，認識角的計量單位，學會使用量角器，由此加深對角概念的理解，是量角教學的基本要求。

其次，應(yīng)該追求教學的更高境界，盡可能地讓學生“自能”、“自得”，從而使學生在掌握技能的過程中，獲得主動探索的經(jīng)歷和學習成功的體驗。這方面，華應(yīng)龍老師的課例給我們提供了一個范例，值得大家學習、借鑒，舉一反三。

再次，還有許多相關(guān)的追求有可能在量角的教學中得以實現(xiàn)。比如，華應(yīng)龍老師所做的努力：滲透“度量意識”，讓學生初步感知測量的本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)富有情趣的情境，激發(fā)學生學習量角的需求；聯(lián)系生活實際，設(shè)計應(yīng)用問題，讓學生初步體會量角的用處。又如，劉加霞老師在《技能的學習不是簡單模仿與訓練》一文（本刊2007年第2期）里提出的培養(yǎng)創(chuàng)新精神的建議：讓學生重新設(shè)計量角器。

前不久，上海的潘小明老師應(yīng)邀上了一節(jié)量角的觀摩課，進一步發(fā)展了“度量意識”的內(nèi)涵：

出示題目：你有辦法知道5時整鐘面上時針與分針之間的角度嗎？

……

生：我用量角器量出的度數(shù)與用數(shù)學方法算出的度數(shù)，相差1度。

師：我想知道你用數(shù)學方法是怎么計算的？

生：鐘面的角度是360度，把它平均分成12份，每一份是30度，從12到5有5份，應(yīng)該是150度。

……

師：時針與分針相交的地方比較大，讓我們很難對準。還有，針太短，延長時可能會有誤差，使我們很難與刻度線重合?？磥?，在這里，用數(shù)學方法進行計算，是找到正確答案的好辦法。

然而，事物總是具有雙重性，刻意追求多了，就很難保證一切都像呼吸那樣自然。

例如，華老師“經(jīng)過反復(fù)搜尋、思考和討論”，最終在課堂上呈現(xiàn)了三個實際生活中的角：滑梯板與地面的夾角，風箏線與地面的夾角，足球場上的射門角。嚴格說來，滑梯板與地面所成的角是二面角，風箏線與地面所成的是線面角。盡管在數(shù)學中，二面角與線面角的度量都歸結(jié)為平面角，但它們都有各自的定義。二面角的平面角是以兩個平面相交的棱上任意一點為端點，在兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所組成的角；直線與平面的交角則規(guī)定為直線與它在平面上的射影所成的角。如果說，滑梯板與地面的夾角從“正面”看過去，視覺看到的角基本上就是該二面角的平面角，直觀上可以忽略其抽象過程（如圖1）。那么風箏線與地面的夾角，實際上是很難憑視覺確定的（如圖2，看上去風箏線與地面的夾角似乎是∠AOB，其實是∠AOC）。

用“挑剔”的數(shù)學眼光來看，足球場上的射門角，作為平面角的現(xiàn)實原型比較貼切。但并非“離球門越近，角度就越大”（如圖3，A處比B處離球門遠，但∠1>∠2）。也就是說，量角的實際應(yīng)用，常常涉及數(shù)學以外的專業(yè)知識。如此看來，在小學階段學習量角，很大程度上確是一種“屠龍之技”。既然是“屠龍之技”，為什么還要“紙上談兵”？要！因為角的度量是一個繞不過去必須學習的數(shù)學基礎(chǔ)知識。誰都知道，它不僅是立體幾何里學習面面角與線面角的基礎(chǔ)，也是學習三角函數(shù)的基礎(chǔ)。

討論到這里，又生成了一個話題：在初學階段，是否所有的數(shù)學基礎(chǔ)知識與操作技能都必須煞費苦心地由現(xiàn)實背景引入，并在現(xiàn)實生活中加以應(yīng)用？這個“節(jié)外生枝”的問題，三言兩語說不完。限于篇幅，一言以蔽之：還是“道法自然”為好。

回到教學過程中“下要保底，上不封頂”的追求上來。教師群體中所蘊藏著的想象力和創(chuàng)造力是無窮無盡的。除了以上介紹的各種追求之外，各地教師的教學設(shè)想和教學實踐中，肯定還有許多不被我們所知的內(nèi)容，可以插入量角的教學過程。

如此豐富、厚重的教學內(nèi)涵，都與量角有關(guān)，一節(jié)課的時間能容納下嗎？即使可以，學生能消化嗎？難！正是在這個意義上，筆者非常贊同：“我的課堂，我做主！”一節(jié)課有所取舍，有所為，有所不為，或以后再為，本是教學的自然之道。為了從整體上保持課堂教學的生態(tài)平衡，我們是否應(yīng)該讓教師根據(jù)本班學生的承受能力和自己的能耐作出選擇呢？

這是由話題“可否給技能教學來一次革命？”引出的另一個話題。

感謝《人民教育》的“話題”，讓我們通過對數(shù)學技能教學課例的分析，更深入地認識了研究學生、吃透學生的重要性，更全面地看到了課堂教學的復(fù)雜性、變通性，還使我們更深刻地感悟了教學有法，但無定法，貴在“道法自然”。

（作者單位系上海市靜安區(qū)教育學院）