吳仲和

背景

凱瑟林老師是美國(guó)加州具有12年教齡的小學(xué)三年級(jí)老師。她對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的信念是：探索學(xué)習(xí)能夠使學(xué)生真正懂?dāng)?shù)學(xué)，老師應(yīng)該提供學(xué)生探索的機(jī)會(huì)來啟迪他們對(duì)數(shù)學(xué)的想象。全班共32名學(xué)生。本課授課時(shí)間為45分鐘。

課例

凱瑟林老師首先告訴學(xué)生們這節(jié)課的目的：“同學(xué)們，我們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)遇到許多大的數(shù)。比如，你家房子的貸款、足球場(chǎng)的觀眾數(shù)、我們地球的重量以及華爾街每天股票的交易量，等等。今天的課，我們就來討論大數(shù)的意義?！?/p>

凱瑟林老師的課從提問開始：

凱瑟林：同學(xué)們，請(qǐng)你們告訴我我們的教室里有多少學(xué)生？

（學(xué)生們數(shù)教室里的學(xué)生。）

學(xué)生：32個(gè)。

凱瑟林：非常好。我再問你們：請(qǐng)你與你鄰座的同學(xué)討論并估計(jì)一下，如果每個(gè)學(xué)生都有一張書桌，那么我們的教室可以容納多少學(xué)生？

（學(xué)生們討論。）

塔米：我覺得可以容納64個(gè)學(xué)生。

凱瑟林：為什么呢？

塔米：我覺得這個(gè)房間可以容納兩倍的學(xué)生。

凱瑟林：很好。同學(xué)們請(qǐng)注意了，她說了兩倍。其他同學(xué)呢？

尼克：我覺得可以容納100個(gè)學(xué)生。

凱瑟林：請(qǐng)你解釋一下。

尼克：我覺得我們現(xiàn)在32個(gè)學(xué)生只占了一小部分，所以我估計(jì)整個(gè)教室可以容納100個(gè)學(xué)生。

凱瑟林：很好。同學(xué)們請(qǐng)注意他說了“估計(jì)”這個(gè)詞?，F(xiàn)在，我們來繼續(xù)我們的問題。

凱瑟林：如果我們學(xué)校每個(gè)年級(jí)有3個(gè)班，那么，我們學(xué)校有多少人呢？為什么？

（學(xué)生們討論。）

盧比達(dá)：我覺得大約有600人，因?yàn)槊總€(gè)年級(jí)大約有100個(gè)人，六個(gè)年級(jí)就有大約600人。

凱瑟林：很好。同學(xué)們請(qǐng)注意，盧比達(dá)用了幾次“大約”，這是非常好的估算技巧。其他同學(xué)有沒有不同想法？

艾迪：我覺得大約有700人，因?yàn)閷W(xué)生有600人，而我們還有老師和校長(zhǎng)以及其他工作人員大約100人，所以共計(jì)700人。

凱瑟林：艾迪有非常好的想象。但是，我們的工作人員沒有100人，所以我們學(xué)校的學(xué)生大約有600人，如果加上工作人員，我們應(yīng)該有大約650人。雖然如此，我仍然感謝艾迪的美好想象。

此刻，凱瑟林老師把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)換到100，1000，10000等大數(shù)上。她還是用提問的方式。

凱瑟林：同學(xué)們，你們能用100這個(gè)數(shù)舉個(gè)生活中的例子嗎？比如，你有100個(gè)什么東西，等等。

（學(xué)生們討論。）

杰夫：我有100個(gè)玩具汽車。

克里斯：我有100張籃球卡。

凱瑟林老師又繼續(xù)問：什么東西價(jià)值100元錢？

（學(xué)生們討論。）

馬克：我的游戲機(jī)價(jià)值100元錢。

蘇珊：我哥哥的自行車價(jià)值100元錢。

凱瑟林老師繼續(xù)向?qū)W生提出有關(guān)數(shù)感方面的問題。這些問題包含學(xué)生日常生活中與大數(shù)有關(guān)的例子。為了使學(xué)生對(duì)大數(shù)有深刻的理解，凱瑟林老師給出了大數(shù)與日常生活結(jié)合的例子。她讓同學(xué)們猜想一下，如果他們用一秒鐘數(shù)一個(gè)數(shù)，那么數(shù)1，000（一千）需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？數(shù)1，000，000（一百萬）需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？數(shù)1，000，000，000（十億）又需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？凱瑟林老師進(jìn)一步解釋說：一分鐘等于60秒，一小時(shí)等于3600秒（60分），一天等于86，400秒（24小時(shí)），一個(gè)月等于2，592，000秒（30天），一年等于31，104，000秒（12個(gè)月）。因此，數(shù)1，000（一千）約需要17分鐘（因?yàn)?000÷60≈17）；數(shù)1，000，000（一百萬）約需要12天（因?yàn)?00，000÷86，400≈12）；數(shù)1，000，000，000（十億）約需要32年（因?yàn)?，000，000，000÷31，104，000≈32）。她重復(fù)這個(gè)數(shù)以便讓學(xué)生記憶深刻：數(shù)1，000約需要17分鐘，數(shù)1，000，000約需要12天，而數(shù)1，000，000，000約需要32年。

凱瑟林老師在確認(rèn)學(xué)生們對(duì)大數(shù)有一定的認(rèn)識(shí)后，開始讓他們參與數(shù)學(xué)活動(dòng)來進(jìn)一步理解和應(yīng)用大數(shù)。她把學(xué)生按照座位的順序組成四人一組，讓每組學(xué)生們選擇一個(gè)各數(shù)位數(shù)字不同的五位數(shù)，比如，23，456、34，567等，告知每組學(xué)生討論以下問題并由每個(gè)學(xué)生分別承擔(dān)不同角色來向全班匯報(bào)。

（1）將這五個(gè)數(shù)字重新排列順序使之成為最大的數(shù)，說出幾個(gè)萬、幾個(gè)千、幾個(gè)百、幾個(gè)十、幾個(gè)一以及你的最大數(shù)與100，000的差距。

（2）將這五個(gè)數(shù)字重新排列順序使之成為最小的數(shù)，說出幾個(gè)萬、幾個(gè)千、幾個(gè)百、幾個(gè)十、幾個(gè)個(gè)以及你的最小數(shù)與10，000的差距。

（3）將這五個(gè)數(shù)字重新排列順序使之成為介于最大數(shù)和最小數(shù)之間的中間數(shù)，說出幾個(gè)萬、幾個(gè)千、幾個(gè)百、幾個(gè)十、幾個(gè)個(gè)以及這個(gè)數(shù)與100，000的差距。

（4）創(chuàng)造一個(gè)實(shí)際情景來使用最大數(shù)、最小數(shù)和中間數(shù)。

在學(xué)生們討論期間，凱瑟林老師在各小組間走動(dòng)，與學(xué)生們交流，回答學(xué)生的問題，并適時(shí)提出問題來挑戰(zhàn)學(xué)生的錯(cuò)誤。學(xué)生討論了大約10分鐘，凱瑟林老師確認(rèn)各組有了結(jié)果后，讓學(xué)生們開始匯報(bào)他們討論的結(jié)果。

小組1選擇的數(shù)是12，345。

學(xué)生1：最大的數(shù)是54，321，這個(gè)數(shù)有5個(gè)萬，4個(gè)千，3個(gè)百，2個(gè)十，1個(gè)一，這個(gè)數(shù)與100，000的差距是45，679。

學(xué)生2：最小的數(shù)是12，345，這個(gè)數(shù)有1個(gè)萬，2個(gè)千，3個(gè)百，4個(gè)十，5個(gè)一，這個(gè)數(shù)與10，000的差距是2，345。

學(xué)生3：中間數(shù)可以是21，345。

凱瑟林：等一等，杰米，你為什么說“可以是”？

學(xué)生3（杰米）：因?yàn)橛泻芏鄠€(gè)中間數(shù)。

凱瑟林：謝謝你，同學(xué)們請(qǐng)注意中間數(shù)有很多個(gè)數(shù)。杰米，請(qǐng)你繼續(xù)。

學(xué)生3（杰米）：中間數(shù)可以是21，345，這個(gè)數(shù)有2個(gè)萬，1個(gè)千，3個(gè)百，4個(gè)十，5個(gè)一，這個(gè)數(shù)與100，000的差距是78，655。

學(xué)生4：壘球場(chǎng)的觀眾有54，321人，籃球場(chǎng)的觀眾有12，345人，足球場(chǎng)的觀眾有21，345人。

凱瑟林：很好。第一組的同學(xué)顯然喜歡運(yùn)動(dòng)。雖然他們的數(shù)字與實(shí)際還有些差距，但他們對(duì)大數(shù)的理解還是很好的。一般來說，壘球場(chǎng)的觀眾大約有60，000人，籃球場(chǎng)的觀眾大約有18，000人，足球場(chǎng)的觀眾有70，000人。

小組2選擇的數(shù)是13，579，他們?cè)诨卮鹆藛栴}1至問題3后，舉例說：在城市的百貨商場(chǎng)，周六和周日最忙，每天接待97，531人，周四和周五比較忙，每天接待51，379人，周一到周三不忙，每天接待13，579人。

凱瑟林：很好。第2組同學(xué)顯然很有生活經(jīng)驗(yàn)。他們從日常生活中發(fā)現(xiàn)線索，同學(xué)們?nèi)缬袡C(jī)會(huì)可以去百貨商場(chǎng)核實(shí)一下這些數(shù)據(jù)。

小組3選擇的數(shù)是56，789，小組4和小組6選擇的數(shù)也是12，345，小組5選擇的數(shù)是23，456，他們都能正確回答問題1到問題3，舉例都很有想象力：

小組3：一個(gè)袋子，如果裝米能裝98，765顆，如果裝大豆能裝56，789顆，如果裝玉米能裝78，956顆。

凱瑟林：很好。第3組同學(xué)將視線轉(zhuǎn)移到農(nóng)村。感謝你們豐富的想象力。同學(xué)們?nèi)缬袡C(jī)會(huì)可以親自數(shù)一數(shù)。

小組4：教室里最厚的書大約有54，321個(gè)字，最薄的書大約有12，345個(gè)字，中間那本書有45，321個(gè)字。

凱瑟林：很好。第4組同學(xué)顯然很富有想象力。他們從教室里發(fā)現(xiàn)線索。

小組5：一本書有65，432個(gè)字符，23，456行和43，256個(gè)字。

凱瑟林：很好。第5組同學(xué)舉了一個(gè)同樣的書的例子，但他們的想象力卻與第4組同學(xué)不一樣。

小組6：爾灣市有54，321戶居民，41，325輛汽車，12，345戶居民家里有寵物。

凱瑟林：很好。第6組同學(xué)給了一個(gè)城市居民的例子。你們的想象力很好，但是，汽車好像少了點(diǎn)。如果改成41，325戶居民家有互聯(lián)網(wǎng)，你們看怎么樣？

第6組學(xué)生表示同意凱瑟林老師的建議。

凱瑟林：通過這節(jié)課，我希望大家對(duì)大數(shù)有個(gè)深刻的概念。就像我們已講過的數(shù)數(shù)一樣，在我們的生活中，我們會(huì)時(shí)常用到大數(shù)。

作為這節(jié)課的結(jié)束，凱瑟林老師讓學(xué)生回家查看報(bào)紙、雜志、互聯(lián)網(wǎng)，然后舉出一個(gè)例子來說明何時(shí)用百萬（million）、十億（billion）和兆（trillion），作為明天課開始的討論。

評(píng)述

凱瑟林老師在這節(jié)課采用數(shù)字與日常生活相結(jié)合的教學(xué)方法來使學(xué)生掌握“大數(shù)”的基本思想，其目的是提高學(xué)生的“數(shù)感”。那么，什么是“數(shù)感”呢？數(shù)感就是人們對(duì)數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種感覺，它體現(xiàn)人們對(duì)什么是數(shù)、數(shù)的關(guān)系、數(shù)的大小和數(shù)的運(yùn)算的一種懂得的程度以及一種無意識(shí)的對(duì)數(shù)的感知。需要指出的是，數(shù)感不是一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容單元，也不是一個(gè)單純的課堂活動(dòng)或游戲，它是一種關(guān)于數(shù)的思想方法。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，尤其是低年級(jí)學(xué)生的數(shù)感對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)以及數(shù)的應(yīng)用有極大的幫助。我們知道，兒童在學(xué)習(xí)數(shù)時(shí)，他們的理解程度是不一樣的。有的兒童對(duì)數(shù)的理解深刻，有的則不深刻。比如，對(duì)數(shù)23的理解，不一定所有的兒童都知道數(shù)23是由兩個(gè)“10”和3個(gè)“1”組成；再比如，對(duì)23×35，不一定所有的學(xué)生都知道23×35的結(jié)果是由4個(gè)數(shù)組成的：即20×30，20×5，30×3和3×5（其答案是23×35=600+100+90+15=805）。兒童對(duì)數(shù)字的深刻理解（數(shù)的表達(dá)、數(shù)的關(guān)系以及數(shù)的系統(tǒng)）對(duì)他們今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有意義的和有幫助的。另外，兒童在學(xué)習(xí)數(shù)字的時(shí)候，不一定所有的兒童都能夠感受到數(shù)字的大小與他們的日常生活有關(guān)系，即什么時(shí)候用大的數(shù)字，什么時(shí)候用小的數(shù)字。顯然，培養(yǎng)數(shù)感對(duì)提高兒童對(duì)數(shù)的理解和應(yīng)用是有意義的?？梢赃@么說，沒有數(shù)感的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可能只會(huì)解題，而不懂?dāng)?shù)學(xué)概念和應(yīng)用。

凱瑟林老師的這節(jié)課有3個(gè)特點(diǎn)。（1）通過有關(guān)大數(shù)的具體例子，使學(xué)生們對(duì)大數(shù)究竟有多大有一個(gè)具體的了解。例如，凱瑟林老師解釋數(shù)1，000需要約17分鐘，數(shù)1，000，000需要12天，數(shù)1，000，000，000需要32年。這個(gè)例子形象地表現(xiàn)大數(shù)1，000、1，000，000和1，000，000，000的不同。正如課后筆者與學(xué)生交談，問他們這節(jié)課學(xué)到了什么？有相當(dāng)多的學(xué)生提及這個(gè)例子并說明他們從這個(gè)例子里知道了數(shù)大小的不同。凱瑟林老師借用這些學(xué)生們?nèi)粘Ｉ罾锸煜さ氖挛飦韼椭鷮W(xué)生直觀理解數(shù)的大小以增強(qiáng)數(shù)感?？梢哉f，凱瑟林老師的這個(gè)例子能夠有效地喚起低年級(jí)學(xué)生對(duì)大數(shù)的理解和記憶。（2）讓孩子們學(xué)習(xí)重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，使他們對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)加以發(fā)展延伸，刺激孩子們的想象（對(duì)大數(shù)的想象），讓孩子有一個(gè)“迷?！焙托盐虻倪^程。（3）雖然數(shù)感在許多時(shí)候包含數(shù)的估算和心算，但近年來數(shù)感的研究趨勢(shì)朝著對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)和數(shù)的使用場(chǎng)合的方向發(fā)展。因此，課堂上關(guān)于數(shù)感的一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容就是鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用估算，選擇和想象他們自己對(duì)數(shù)的使用的理解，特別是對(duì)大數(shù)的使用的理解。其目的是讓學(xué)生對(duì)大數(shù)有一個(gè)感覺的過程。凱瑟林老師的課貫穿著學(xué)生的想象和估算。讓學(xué)生分組活動(dòng)，其目的不僅讓學(xué)生們對(duì)“數(shù)位”的概念有進(jìn)一步的理解，更重要的是讓學(xué)生通過自己創(chuàng)造的具體例子來進(jìn)一步理解大數(shù)的意義。從學(xué)生們報(bào)告的例子里，我們很容易感覺到這一點(diǎn)。另外，對(duì)大數(shù)應(yīng)該從日常生活中不同方面的數(shù)感來理解。從學(xué)生們舉出的各方面的例子，所有的學(xué)生可以感受到大數(shù)在不同場(chǎng)合的應(yīng)用。綜上所述，“數(shù)感”的教學(xué)應(yīng)基于數(shù)字本身、數(shù)字的運(yùn)算和數(shù)字的聯(lián)系。數(shù)字本身是指數(shù)字的關(guān)系和大小；數(shù)字的運(yùn)算包含心算和估算；數(shù)字的聯(lián)系是指數(shù)字與真實(shí)世界的聯(lián)系。凱瑟林老師的這節(jié)課貫穿了這三個(gè)方面的教學(xué)內(nèi)容。