陳　力

背景分析：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“計(jì)算應(yīng)該使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)和簡單的數(shù)量關(guān)系，在具體的情境中理解，并應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問題的過程，應(yīng)避免繁雜的運(yùn)算，避免將運(yùn)算與應(yīng)用割裂開來?！睘榇耍覀?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該著力解決以下問題：一是知識(shí)從哪里來——讓學(xué)生知道為什么要計(jì)算（為了解決問題）；二是知識(shí)是怎樣的——讓學(xué)生結(jié)合問題情境理解算理、掌握算法；三是知識(shí)到哪里去——讓學(xué)生用計(jì)算進(jìn)一步解決問題。解決以上問題的關(guān)鍵是怎樣將“算”、“用”有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建行之有效的“算用互促”的數(shù)學(xué)模型，使“計(jì)算意義”成為“解決問題”的依據(jù)，用“解決問題”來解釋“算理”。在實(shí)際教學(xué)中如果使兩者結(jié)合得好，可以提高解決問題的效率。

課例研究：下面以課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材二年級(jí)下冊(cè)“混合運(yùn)算”為例，探討怎樣利用數(shù)學(xué)建模思想有效應(yīng)用“算用結(jié)合”。

教學(xué)片段：

一、情境導(dǎo)入，提出問題——為什么要計(jì)算（以“用”引“算”）

出示主題圖“過河”：一群小學(xué)生上學(xué)途中要乘船過河，河邊擺著許多船，每條船限乘9人?，F(xiàn)在河邊共有男生29人，女生25人，其中一個(gè)男生在想：至少需要幾條船？

師：圖中告訴我們哪些數(shù)學(xué)信息？

生：河邊有29個(gè)男生，25個(gè)女生背著書包去上學(xué)。

生：河邊有許多小船。小船上寫著“限乘9人”。

師：“限乘9人”是什么意思？

生：就是每條船最多能乘9人。

師：圖中要我們解決什么問題呢？

生：每條船限乘9人，要把這些學(xué)生運(yùn)過河去，需要幾條船？

二、建立模型，解決問題——理解算理、掌握算法（以“用”釋“算”）

師：要求需要幾條船，可以用什么方法來計(jì)算？請(qǐng)說出數(shù)量關(guān)系式。

生：總?cè)藬?shù)÷每條船限乘的人數(shù)=需要船的條數(shù)。（提出模型假設(shè)）

師：哪個(gè)信息還沒有直接告訴我們？怎樣解決？

生：“總?cè)藬?shù)”還不知道，可以用“男生人數(shù)+女生人數(shù)=總?cè)藬?shù)”求出。（利用數(shù)學(xué)模型解決中間問題）

師：請(qǐng)大家在本子上列出算式計(jì)算。

學(xué)生獨(dú)立列式計(jì)算，然后匯報(bào)。（利用模型求解）

生：29+25=54（人），54÷9=6（條）。

師：請(qǐng)說說每一步分別解決什么問題？

生：第一步是“男生人數(shù)+女生人數(shù)=總?cè)藬?shù)”，第二步是“總?cè)藬?shù)÷每條船限乘的人數(shù)=需要船的條數(shù)”。

生：我是先算男生需要幾條船，29÷9=3（條）……2（人），再算女生需要幾條船，25÷9=2（條）……7（人），剩下2+7=9（人），正好需要一條船，所以3+2+1=6（條）。

師：你的想法有創(chuàng)意！

師：請(qǐng)大家將“29+25=54（人），54÷9=6（條）”列出綜合算式。

學(xué)生獨(dú)立列式，教師巡視，將學(xué)生列成的算式寫在黑板上：29+25÷9

師：請(qǐng)各學(xué)習(xí)小組討論這樣列綜合算式對(duì)不對(duì)？你能用什么辦法來驗(yàn)證它是否正確？（讓學(xué)生用前面提出的模型假設(shè)來驗(yàn)證運(yùn)算順序是否正確。）

生：這樣列式是不對(duì)的，因?yàn)橐人恪?5÷9”，它是有余數(shù)的，和原來的得數(shù)不一樣了。

生：前面在分步計(jì)算的時(shí)候，是先求總?cè)藬?shù)，然后按照“總?cè)藬?shù)÷每條船限乘的人數(shù)=需要船的條數(shù)”來算的，而這樣列綜合算式就不能先求“總?cè)藬?shù)”了，所以是錯(cuò)的。

師：那有什么辦法讓綜合算式與分步計(jì)算的運(yùn)算順序一樣呢？

生：要將綜合算式中的“29+25”用小括號(hào)括起來。

師：（讓這個(gè)學(xué)生在板書的算式中添上小括號(hào)）小括號(hào)有什么作用呢？

生：算式中小括號(hào)括起來的部分能夠先算。

師：對(duì)，小括號(hào)的作用就是能夠先算。請(qǐng)大家再和前面的數(shù)量關(guān)系對(duì)照一下，現(xiàn)在運(yùn)算順序是否一樣了？（讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)模型體驗(yàn)小括號(hào)的作用）

讓學(xué)生完整地計(jì)算“（29+25）÷9”，并說說它的運(yùn)算順序。

三、拓展模型，解釋應(yīng)用——讓計(jì)算運(yùn)用新情境（以“算”促“用”）

1.基本練習(xí)（模型應(yīng)用）

（1）先說說運(yùn)算順序再計(jì)算。5×（36-29）；（83-35）÷6；94-（25+19）。

（2）算一算，比一比。18-9÷3；（18-9）÷3。

（3）列綜合算式計(jì)算：三（1）班和三（2）班組成一個(gè)方陣參加廣播操比賽，三（1）班有40人，三（2）班有41人，平均排成9行，每行有多少人？

2.變式練習(xí)（模型拓展）

（1）歡歡有10支鉛筆，用去4支，剩下的送給2個(gè)小朋友，平均每個(gè)小朋友能分到幾支？

（2）六（1）班共有學(xué)生52人，六（2）班有男生24人，女生25人，六（1）班比六（2）班多幾個(gè)學(xué)生？

3.提煉概括（模型提升）

師：下面我們來總結(jié)解決兩步計(jì)算問題的共同特征。（兩步計(jì)算問題解決的共同模型及關(guān)鍵）

學(xué)生先小組討論有哪些共同的特征，然后師生歸納得出：首先根據(jù)所要解決的問題列出一個(gè)關(guān)系式，接著根據(jù)關(guān)系式尋找所需要的信息，如果某個(gè)信息還不知道，要尋找出與它有關(guān)的數(shù)據(jù)，再根據(jù)關(guān)系式求出這個(gè)信息。其關(guān)鍵是：先解決中間問題，再解決最后問題，每一步的問題解決都要根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系來進(jìn)行。

解讀：

在以往的教學(xué)中，計(jì)算和應(yīng)用問題各自單獨(dú)安排，如四則混合運(yùn)算就純粹地解決運(yùn)算順序，應(yīng)用題教學(xué)中也沒有學(xué)習(xí)小括號(hào)的任務(wù)。本次課程改革對(duì)“應(yīng)用題”動(dòng)了“大手術(shù)”：不再單獨(dú)編排“應(yīng)用題”章節(jié)，強(qiáng)調(diào)從運(yùn)算意義出發(fā)進(jìn)行思考，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來，讓學(xué)生學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的方法去認(rèn)識(shí)世界，主動(dòng)解決所碰到的現(xiàn)實(shí)問題。倡導(dǎo)“問題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的學(xué)習(xí)模式和“原型——模型——應(yīng)用”的知識(shí)呈現(xiàn)形式。教材之所以這樣改革，是抓住了計(jì)算和應(yīng)用問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，使計(jì)算的意義成為解決問題的依據(jù)，而通過解決問題又可以加深對(duì)算理和算法的理解，兩者之間是相互促進(jìn)的關(guān)系，在教學(xué)中只有把它們有機(jī)結(jié)合起來，使它們“水乳相融”而不是“油水分離”。上述教學(xué)片段就是基于這樣的思考來開展的，體現(xiàn)了以下特點(diǎn)。

1.在問題情境中計(jì)算。以往的計(jì)算教學(xué)是沒有具體情境的，一般是通過復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入的。新課程強(qiáng)調(diào)計(jì)算教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上開展教學(xué)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，上述課例創(chuàng)設(shè)了學(xué)生上學(xué)途中乘船的情境，讓學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生收集信息、發(fā)現(xiàn)問題的能力。這是數(shù)學(xué)建模的第一步，即數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋、應(yīng)用現(xiàn)實(shí)問題的過程。該課例中的整個(gè)計(jì)算教學(xué)，學(xué)生始終在問題情境中提出問題、探索算理、掌握算法，這是計(jì)算教學(xué)的一大改革。因?yàn)閷W(xué)生的計(jì)算是在問題情境中進(jìn)行的，所以這樣的計(jì)算不是單純?yōu)榱送瓿捎?jì)算任務(wù)，它還有一個(gè)重要任務(wù)就是為了解決問題而進(jìn)行計(jì)算，因此這樣的情境有“以用引算”的作用。

2.在計(jì)算中解決問題。為了解決提出的數(shù)學(xué)問題，教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系和解題思路，這是提高學(xué)生解決問題能力的重要手段。當(dāng)前，有些教師存在困惑：在解決問題教學(xué)中要不要進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的分析？要回答這個(gè)問題，我們首先來分析一下“解決問題”的思維過程，在解決問題中要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化：（1）實(shí)際情境→數(shù)學(xué)問題；（2）數(shù)學(xué)問題→解決問題。在以往的教學(xué)中，第一個(gè)轉(zhuǎn)化由教材編寫者代替了，學(xué)生只需解決第二個(gè)轉(zhuǎn)化。有些教師關(guān)注了情境的創(chuàng)設(shè)，關(guān)注了信息的收集，而忽略了數(shù)量關(guān)系的提煉，形成了“就題論題”現(xiàn)象，學(xué)生的每一次活動(dòng)都只是一個(gè)孤立的“個(gè)案”，沒有加以必要的“梳理”與“整合”，沒有通過問題情境，探索并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，也就難以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化遷移，這樣的教學(xué)也不是真正的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動(dòng)，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的核心要素是要用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系和解題思路獨(dú)立地解決問題，學(xué)生在分步解決中想出了兩種方法，教師及時(shí)進(jìn)行了肯定，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的快樂。

3.在解決問題中釋算。在學(xué)生完成分步解決的基礎(chǔ)上，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生列綜合算式，此時(shí)又創(chuàng)設(shè)了一個(gè)新的問題情境：沒有小括號(hào)的綜合算式和分步的算式不一致。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)量關(guān)系和解題思路去驗(yàn)證綜合算式是否正確，在引出小括號(hào)后，又用它們?nèi)ソ忉?、體驗(yàn)小括號(hào)的作用，達(dá)到了以“用”釋“算”的功效。在解決問題的情境中，學(xué)生借助具體的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行檢驗(yàn)和解釋，使他們體驗(yàn)到小括號(hào)的引進(jìn)是解決實(shí)際問題的需要，它的運(yùn)用使原先產(chǎn)生的“矛盾沖突”得到解決，進(jìn)而感覺到一種和諧美，并對(duì)認(rèn)知活動(dòng)留下了深刻的印象，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，學(xué)生不僅理解了算理、掌握了算法，還順利完成了解決問題的任務(wù)，而且負(fù)擔(dān)不重，收到了一舉多得的效果。

4.在釋算中提煉升華。當(dāng)學(xué)生得出具體的數(shù)學(xué)模型后，教學(xué)中還安排了拓展應(yīng)用的環(huán)節(jié)。首先設(shè)計(jì)了基本練習(xí)（直接計(jì)算和用計(jì)算解決實(shí)際問題）以鞏固和加深對(duì)基本模型的理解。接著安排了變式練習(xí)，這是對(duì)基本模型的拓展，使該計(jì)算模型應(yīng)用到新的情境中去，達(dá)到“以算促用”的目的。通過練習(xí)，使學(xué)生明白對(duì)數(shù)學(xué)模型要進(jìn)行靈活應(yīng)用，防止機(jī)械套用。最后，對(duì)解決兩步計(jì)算問題的共同特征進(jìn)行了提煉概括，引導(dǎo)學(xué)生理出解決兩步實(shí)際問題的知識(shí)鏈，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化遷移，提高解決數(shù)學(xué)問題的一般能力。在當(dāng)前的教學(xué)中，不少學(xué)生不會(huì)分析數(shù)量關(guān)系，找不到兩步計(jì)算的中間問題，講不清解題思路。這些現(xiàn)象都與教師在教學(xué)中忽略對(duì)解決問題基本方法的提煉和總結(jié)有關(guān)，而這些基本方法對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題能力是很有作用的，它有別于解一定類型題的個(gè)別技能技巧，它是一種具有廣泛遷移性的解任何題都需要具備的能力?？梢?，學(xué)生只有積累必要的基本數(shù)量結(jié)構(gòu)，弄清數(shù)量結(jié)構(gòu)之間的組合特點(diǎn)，才能在獲取信息后形成解題思路，學(xué)會(huì)解決問題，并把零散的知識(shí)匯編成系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)，從而把握“問題解決”學(xué)習(xí)領(lǐng)域總的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

作者單位

浙江省武義縣教育局教研室

◇責(zé)任編輯：曹文◇