王愛軍

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難處不在于面對(duì)問題去解答和證明它，而在于如何去發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問題設(shè)計(jì)顯得尤其重要，能延伸和拓展有價(jià)值的問題，就能更好解決數(shù)學(xué)問題，找到新的方法與觀點(diǎn)，獲得廣闊的思維空間。因此，數(shù)學(xué)問題須具有啟發(fā)性，能聯(lián)系新舊知識(shí)點(diǎn)，不斷激發(fā)學(xué)習(xí)者求知的欲望，促使學(xué)習(xí)者產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知需求。

延展性問題就是指通過具體的問題和教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上，依據(jù)性質(zhì)和程度的不同體驗(yàn)變化結(jié)果。數(shù)學(xué)教學(xué)必須依據(jù)學(xué)生的不同需求而進(jìn)行，讓學(xué)生適應(yīng)問題的現(xiàn)實(shí)性、開放性，獲得多種答案或多種解法，推廣、擴(kuò)充或遷移知識(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中注重問題設(shè)計(jì)，把原問題進(jìn)行延伸拓展，轉(zhuǎn)化新知識(shí)、拓寬解題思路、培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新能力，為其學(xué)習(xí)的持續(xù)發(fā)展提供保證。

1.反其道而行——反向提問法

解決數(shù)學(xué)問題一般是由因索果、循序漸進(jìn)地去解決。但是，在知道結(jié)果的情況下，對(duì)命題提出反向問題也是擴(kuò)大和加深知識(shí)的一種邏輯手段。在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)中，運(yùn)用反向提問，深入引導(dǎo)學(xué)生探究，讓學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識(shí)，聯(lián)想延伸，變化運(yùn)用，學(xué)會(huì)分析，辨識(shí)信息，提高思考水平和處理問題的能力。它不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以通過探究活動(dòng)、提供閱讀材料等方式引發(fā)學(xué)生進(jìn)行反向思維，能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。

案例一：經(jīng)過已知兩點(diǎn)A、B畫射線。

問題1：經(jīng)過已知一點(diǎn)能畫幾條直線?

問題2：經(jīng)過已知兩點(diǎn)A、B能畫幾條直線?

問題3：經(jīng)過已知兩點(diǎn)A、B能畫射線嗎?能的話，能畫幾條?

通過問題3的反向提問，學(xué)生討論非常激烈，從不同角度獲得了較多的答案，如“經(jīng)過兩點(diǎn)一條射線也不能畫，只是一條線段”“和直線一樣，經(jīng)過兩點(diǎn)也能畫一條射線”“經(jīng)過兩點(diǎn)可以畫兩條不同的射線”“射線不止兩條”等。在反向提問、學(xué)生探討的過程中，延伸了教學(xué)內(nèi)容，拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，糾正認(rèn)知的誤區(qū)，尋求準(zhǔn)確的結(jié)果。正如贊可夫所說：“教會(huì)學(xué)生思考，這對(duì)學(xué)生來說，是一生中最有價(jià)值的本錢”。

2.可能性結(jié)果——條件演變法

數(shù)學(xué)教學(xué)中要掘課內(nèi)、外問題，進(jìn)行條件演變，觸類旁通，促使學(xué)生積極思維，增強(qiáng)思維敏捷性、靈活性和深刻性。

案例二：游戲的公平性。

問題1：老師和學(xué)生為了一張奧運(yùn)籃球賽的門票，決定進(jìn)行拋啤酒瓶蓋的活動(dòng)，先問學(xué)生：“這樣可以嗎?公平嗎?”

學(xué)生因?yàn)闆]有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，都說可以，老師對(duì)學(xué)生的猜想結(jié)果不妄加評(píng)論，然后教師讓學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)，總結(jié)活動(dòng)結(jié)果。

問題2：“這樣會(huì)公平嗎?”學(xué)生終于在活動(dòng)中結(jié)果中得出游戲的不公平性。原來瓶蓋一邊面積大，一邊面積小，重量也不夠均勻。

問題3：“那用什么樣的東西來作決定才會(huì)公平?”學(xué)生回答：投硬幣，投撲克牌等等。

充分讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同的條件下，游戲的公平性會(huì)如何存在，并讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：一切皆有可能，盡管不公平，但是也是有可能的。

3.假設(shè)性體驗(yàn)——操作驗(yàn)證法

解決問題活動(dòng)的價(jià)值不只是獲得具體問題的解，更重要的是學(xué)生在解決問題過程中獲得的發(fā)展。其中重要的一點(diǎn)是使學(xué)生學(xué)習(xí)一些解決問題的基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，并在此基礎(chǔ)上形成解決問題的某些策略，而猜想檢驗(yàn)法通常是數(shù)學(xué)方法中最重要的一種。

案例三：“傳統(tǒng)”的雞兔同籠。即“籠子里關(guān)著若干只雞和兔，雞和兔共有3個(gè)頭，8條腿。則問共有幾只雞，幾只兔?

解決這個(gè)問題，初中階段可以用解二元一次方程組的方法；小學(xué)階段可以用算術(shù)，要求學(xué)生想象兔子提起兩只腳等解決方法，但還是有點(diǎn)抽象。同時(shí)可以換一個(gè)角度，將重點(diǎn)不放在具體的解上，而是放在解決策略——猜想和檢驗(yàn)策略來解決。

通過猜測(cè)并進(jìn)行檢驗(yàn)，得到問題的最終答案，即有2只雞和1只兔。猜測(cè)和檢驗(yàn)的策略可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)的感覺和估計(jì)的能力，使學(xué)生經(jīng)歷建立假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)的過程，發(fā)展學(xué)生的判斷能力。

4.獲取新成果——推廣變式法

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式，從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景作出有效的變化，使其條件或結(jié)論的形式或內(nèi)容發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變；或者觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，變換數(shù)學(xué)問題的形式和條件，從而把它化歸到容易解決或已經(jīng)解決的一類數(shù)學(xué)問題。

案例四：長(zhǎng)為18．84厘米、寬為12．56厘米的長(zhǎng)方形紙，怎樣圍圓柱的體積最大?

問題1：以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)，以寬作為高時(shí)，圓柱的體積是多少?

18．84÷3．14÷2=3（厘米）

3．14×3×3×12．56=354．9456（立方厘米）。

問題2：以長(zhǎng)方形的寬作為底面周長(zhǎng)，以長(zhǎng)作為高時(shí)，圓柱的體積是多少?

12．56÷3．14÷2=2（厘米）

3．14×2×2×18．84=236．6304（立方厘米）。

問題3：以長(zhǎng)方形的寬為底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)的幾分之幾，那么以寬為底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)做高時(shí)，圓柱的體積是以長(zhǎng)方形的長(zhǎng)作為底面周長(zhǎng)，以寬做高時(shí)圓柱的體積的幾分之幾呢?

即得出結(jié)論：用同一張長(zhǎng)方形紙圍圓柱，那么以長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，以寬為高的圓柱的體積與以寬為底面周長(zhǎng)，以長(zhǎng)為高的圓柱的體積的比等于長(zhǎng)與寬的比。

5.關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)——知識(shí)遷移法

知識(shí)的遷移是指已有的知識(shí)對(duì)掌握新知識(shí)解決新問題的影響。在新知識(shí)的初學(xué)階段，學(xué)習(xí)時(shí)間和精力的“大量投入”并不是一味地投入到訓(xùn)練記憶中，而是把主要時(shí)間投入到反思和理解中，依靠對(duì)舊知識(shí)的理解和掌握提高分析問題的能力。

案例五：兩位數(shù)乘兩位數(shù)。

重視兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橋梁作用，兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的口算是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)。因此，在新授知識(shí)之前應(yīng)復(fù)習(xí)舊知識(shí)。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算豎式的寫法，實(shí)際上是把兩位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的乘法和加法三個(gè)豎式合起來的一種簡(jiǎn)便寫法。兩位數(shù)乘兩位數(shù)其實(shí)是對(duì)舊知識(shí)的綜合，讓學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上通過適當(dāng)?shù)念惐?、延伸?shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。