薛琳娜,管金友

(1.延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,陜西延安 716000;2.銅陵學(xué)院基礎(chǔ)系,安徽銅陵 244000)

利用散射波遠(yuǎn)場(chǎng)模第P個(gè)傅立葉系數(shù)重建聲波阻尼系數(shù)

薛琳娜1,管金友2

(1.延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,陜西延安 716000;2.銅陵學(xué)院基礎(chǔ)系,安徽銅陵 244000)

闡述了利用聲波散射遠(yuǎn)場(chǎng)模Fourier展開的第P個(gè)傅立葉系數(shù)(聲散射遠(yuǎn)場(chǎng)模的不完全信息),重建聲阻抗系數(shù)的一種非線性最優(yōu)化方法.并給出了該方法收斂性的證明,其數(shù)值例子說(shuō)明這種方法的有效性和可行性.

聲散射；阻抗系數(shù)；P-傅立葉系數(shù)；遠(yuǎn)場(chǎng)模；逼近

1 引言

對(duì)聲散射理論的研究,基于其在許多工程技術(shù)和數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用(醫(yī)學(xué)診斷、無(wú)損檢測(cè)、聲納、地震、潛艇等等),而越來(lái)越受到重視;在這方面已有很多文獻(xiàn)[3-10]其中文[4-5,8]等利用聲散射的遠(yuǎn)場(chǎng)模反演聲阻抗系數(shù),本文就這一問(wèn)題繼續(xù)研究,其不同于文[4-5,8]的是僅從聲散射的遠(yuǎn)場(chǎng)模Fourier展開的某一個(gè)Fourier系數(shù)來(lái)逼近聲阻抗系數(shù).事實(shí)上,遠(yuǎn)場(chǎng)模是觀測(cè)角θ的解析函數(shù),其展開式系數(shù)的信息應(yīng)當(dāng)含有聲散射的遠(yuǎn)場(chǎng)本身的信息;當(dāng)然,從某一個(gè)Fourier系數(shù)信息是不大可能恢復(fù)其在整個(gè)觀測(cè)域中的全部信息的;從而研究?jī)H從一個(gè)Fourier系數(shù)的信息來(lái)獲取聲阻抗信息將顯得很有意義的.在這個(gè)意義上,利用聲散射遠(yuǎn)場(chǎng)模的不完全信息來(lái)重建聲阻抗系數(shù),將從理論上表明,從聲散射的遠(yuǎn)場(chǎng)模Fourier展開的某個(gè)Fourier系數(shù)來(lái)逼近聲阻抗系數(shù)是可行的；并建立求解這類反問(wèn)題的一種非線性最優(yōu)化模型,并提供算例來(lái)表明數(shù)值實(shí)現(xiàn)的可行性、所建立理論和方法的有效性和實(shí)用性.

2 逼近的理論分析

2.1 正散射問(wèn)題

我們考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波.此聲波碰到一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的柱體,設(shè)柱體的截面D?R2(D為原始物形區(qū)域),母線平行于z軸,設(shè)入射波為平面波,其中k＞0為波數(shù),α為入射方向角,入射波碰到柱體發(fā)生散射.記總場(chǎng)為u=ui+us,us為散射波.總場(chǎng)滿足聲阻抗條件,正散射問(wèn)題歸結(jié)為求u∈C2(R2)∩C(R2D)滿足

2.2 算子方程的建立

這樣就建立了與所求相關(guān)的第一類算子方程.

2.3 收斂性分析

因?yàn)?18)-(19)式具有光滑核,因而是強(qiáng)不適定的.但當(dāng)k2不是Γ的Dirichlet特征值時(shí),我們有[2,6-7]:

定理2(19)式是單射,并且F在L2[0,2π]上稠密.

證明若(19)式有解,我們考慮齊次方程Fgp=0,即:存在某個(gè)gp∈L2[Γ],使Fgp=0.我們引入單層勢(shì)

然后由參考文[4]的定理2.1知:S是單射,并在L2[0,2π]中稠密.

滿足k2不是Γ的Dirichlet特征值這一條件與Γ的選擇有關(guān),因?yàn)棣Ｊ鞘孪阮A(yù)作的,因而可以控制,達(dá)到k2不是Γ的Dirichlet特征值;然而(19)式滿足(15),(16)式的解并不總是存在的,但我們可以證明其在最大模意義下逼近解總可得到.為此我們引入

這樣可以定義極小化問(wèn)題:

首先,用Tikhonov正則化方法求解強(qiáng)不適定方程(19),即:對(duì)正則化參數(shù)δ＞0,求gp∈L2(Γ),使得

這個(gè)極小化問(wèn)題的解就可作為聲阻抗系數(shù)λ(x)的一個(gè)逼近解.為此定義集合

M1,M2是正的常數(shù),由于λ(x)是等度連續(xù)的且有界的,由Arzela-Ascoli定理知U是C(?D)中緊集.將(24)-(25)式結(jié)合成一個(gè)目標(biāo)泛函,定義

其中,增加的平衡因子τ是用來(lái)控制gp的影響,對(duì)μ(gp,λ,α)的前面兩部分與第三部分起平衡作用.求聲阻抗系數(shù)即求極小化問(wèn)題

定義1給定入射波ui對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞(θ;k,α)的第p個(gè)Fourier系數(shù),及固定的正則化參數(shù)α＞0,對(duì)一個(gè)函數(shù)λ0,如果存在g0∈L2(Γ),(g0,λ0)使得目標(biāo)泛函(27)式達(dá)到極小,即

下證：λ?=λ.又因?yàn)棣薾是對(duì)應(yīng)于αn的最優(yōu)解,即存在gp∈L2(Γ)使得μ(gp,λn,αn)= m(αn),由定理4知

3 數(shù)值方法

本節(jié)對(duì)前面的分析給出算法.假設(shè)?D,Γ圍成的物形區(qū)域是含有原點(diǎn)的星域.正問(wèn)題數(shù)據(jù)參見(jiàn)文[5],然后利用

逼近遠(yuǎn)場(chǎng)模式u∞(θ;k,αn)的Fourier展開的第P個(gè)系數(shù).up與文[5]中的正問(wèn)題的uj意義相同,只不過(guò)此處p是j中特定的一個(gè).

反問(wèn)題是對(duì)于給定的波數(shù)k和不同方向的N個(gè)平面波,其中

用下面的有限三角級(jí)數(shù)逼近gp(θ)和λ(x),那么

其中τ是平衡參數(shù),rθl是r對(duì)θl的導(dǎo)數(shù).以下給出例子.

參數(shù):原始物形區(qū)域邊界曲線?D:ρ=1,波數(shù)k=1,正則化參數(shù)δ=1.0D?10,平衡參數(shù)τ=1,入射波數(shù)N=13.

正問(wèn)題:n=6,m=100.反問(wèn)題:n1=6,n2=6,M=30.

例1原聲阻抗系數(shù)λ=2+cos3θ+sin3θ

(1)當(dāng)輔助物形區(qū)域邊界曲線Γ取r=0.995傅立葉系數(shù)p分別取p=0,p=1,p= ?1,p=?3時(shí),反演圖與原精確圖畫在同一坐標(biāo)系中見(jiàn)圖1.

圖1 r=0.995時(shí),p=0,p=1,p=-1,p=-3

可以看出越高階的傅立葉系數(shù)逼近越差,這與Hankle函數(shù)高階的傅立葉系數(shù)迅速衰減的性質(zhì)一致,一般傅立葉系數(shù)的絕對(duì)值大于4時(shí)逼近已經(jīng)很差.

(2)當(dāng)傅立葉系數(shù)p取0,輔助物形區(qū)域邊界曲線Γ分別取r=0.995,0.95,0.75,0.5時(shí),反演圖與原精確圖畫在同一坐標(biāo)系中見(jiàn)圖2.

圖2 p=0時(shí),r=0.995,r=0.95,r=0.75,r=0.5

可以看出:輔助物形區(qū)域越接近原始物形區(qū)域,逼近越好.當(dāng)然,與平衡參數(shù)也有關(guān),當(dāng)輔助物形區(qū)域曲線偏離較大時(shí)可適當(dāng)增大平衡參數(shù),本文從略.

(3)下面僅給出p=0,輔助物形區(qū)域邊界曲線r=0.995時(shí)的另外兩例:

圖3 p=0時(shí),r=0.95

此三例的反演結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 在p=0,r=0.995時(shí)的情況

4 結(jié)論

利用聲散射遠(yuǎn)場(chǎng)模的不完全信息來(lái)重建聲阻抗系數(shù)或物形,是逆聲散射理論的一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的難題,當(dāng)然也在工程中有較高實(shí)用價(jià)值.作為在這方面努力的一部分,本文提出了求解阻抗系數(shù)的一種非線形最優(yōu)化算法,從數(shù)值結(jié)果來(lái)看,從聲散射的遠(yuǎn)場(chǎng)模Fourier展開的某個(gè)Fourier系數(shù)來(lái)逼近原聲阻抗系數(shù)是可能的,但其結(jié)果的好壞與Fourier系數(shù)的階數(shù)有關(guān),低階Fourier系數(shù)含有的信息量大,逼近較好；同時(shí)與輔助物形區(qū)域接近原始物形區(qū)域的程度有關(guān),越接近原始物形區(qū)域,逼近越好.

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Recover the acoustic wave impedance coefficient from the P-th Fourier coefficient of the far field pattern

XUE Lin-na1,GUAN Jin-you2
(1.College of Physics and Electronic Information,Yanan University,Yanan716000,China; 2.Foundemental Department,Tongling University,Tongling244000,China)

A method is presented for recovering the impedance coefficient given the P-th Fourier coefficient of the far field pattern of the scattered wave.The convergence of this method is proven.Numerical examples are given showing that this method is also accurate.

the scattered acoustic wave,impedance obstacle,P-th Fourier coefficient,the far field pattern, approximation

O178

A

1008-5513(2009)03-0512-09

2006-11-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671155).

薛琳娜(1963-),碩士,研究方向：計(jì)算物理.

2000MSC:31A25