陳小丹

摘要:高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的產(chǎn)物,現(xiàn)已成為高校面向21世紀(jì)改革數(shù)學(xué)教育的一門課程。本文結(jié)合筆者近年來在高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中的教學(xué)實(shí)踐闡述了對高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的認(rèn)識,并著重從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式以及需要注意的幾個問題三個方面論述了如何開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課。

關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);教學(xué)內(nèi)容;教學(xué)模式

中圖分類號:G623.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號:1002—2589(2009)20—0256—02

高等數(shù)學(xué)是高校面向大部分本科專業(yè)開設(shè)的公共基礎(chǔ)課,是眾多技術(shù)基礎(chǔ)和專業(yè)課程的奠基石,其教學(xué)情況直接影響到學(xué)生對其它學(xué)科學(xué)習(xí)的思維定向和能力提高,在各學(xué)科中處于基礎(chǔ)性、先導(dǎo)性、全局性的地位。但目前大部分高校的高等數(shù)學(xué)教學(xué),內(nèi)容多而陳舊,負(fù)擔(dān)重而低效,與實(shí)際和學(xué)科專業(yè)嚴(yán)重脫離,教師為考試而教,學(xué)生為考試而學(xué),缺乏創(chuàng)新意識和能力的培養(yǎng),使學(xué)生普遍感到枯燥乏味,困惑迷茫,進(jìn)而學(xué)習(xí)的積極性不高,甚至形成了數(shù)學(xué)無用論。因此,高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革勢在必行。

高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的產(chǎn)物,現(xiàn)已成為高校面向21世紀(jì)改革數(shù)學(xué)教育的一門課程。關(guān)于它的內(nèi)容和方法,在國內(nèi)外已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究和實(shí)踐。有許多不同層次的高校,對開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課已取得顯著成果。我校作為新升本院校,為了把培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素質(zhì)、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的本科教育改革目標(biāo)落實(shí)到實(shí)處,也開始了開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的有益嘗試。下面筆者結(jié)合近年來的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勔恍╆P(guān)于開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的認(rèn)識和思考。

一、對高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的認(rèn)識

數(shù)學(xué)也可以做實(shí)驗(yàn)嗎?長期以來人們都認(rèn)為數(shù)學(xué)是從來不做實(shí)驗(yàn)的,數(shù)學(xué)無非就是憑腦袋、紙和筆進(jìn)行推理、證明和計(jì)算等等,這其實(shí)是人們對數(shù)學(xué)的一個很大的誤解。事實(shí)上,數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程并非一開始就是從定義出發(fā),然后提出定理,再加以證明的,很多情況下,數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程首先是經(jīng)過實(shí)驗(yàn),即觀察、分析,然后提出猜想,最后才是證明。雖然數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和物理、化學(xué)或生物學(xué)的實(shí)驗(yàn)在做法上有很大的差異,但是它們的精神是一致的。特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展大大發(fā)展了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的手段,使得我們對各種數(shù)學(xué)對象的觀察,對各種數(shù)學(xué)圖形、圖像和圖表的觀察,對邏輯推理過程的觀察,對數(shù)學(xué)式的結(jié)構(gòu)特征的觀察,對各種數(shù)據(jù)和數(shù)量關(guān)系的觀察,都變得方便、快捷、準(zhǔn)確、清晰了,它不僅為用數(shù)學(xué)方法解決更多的實(shí)際問題創(chuàng)造了良好的條件,也為加速數(shù)學(xué)本身的發(fā)展提供了更多的機(jī)會。

開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課,不僅僅是為了使學(xué)生掌握必要的數(shù)學(xué)知識,更重要的是一方面為了還原數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的本質(zhì),使學(xué)生在自己的探索實(shí)踐中體驗(yàn)到知識發(fā)生的過程,不僅知其然,更是知其所以然。另一方面數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程也是一個科學(xué)研究、探索真理的過程,在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中,學(xué)生親自動手操作,從一個旁觀者變成了一個參與者,由被動學(xué)習(xí)進(jìn)入主動探索狀態(tài)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是為了研究數(shù)學(xué)本身,更主要得是數(shù)學(xué)的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際,通過學(xué)生的動腦、動手,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與主動性,加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識,逐步將所學(xué)數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為技能[1]。因此,開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力,有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維和創(chuàng)新意識,有助于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析、解決實(shí)際問題的能力以及應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的能力。

二、如何開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課

目前,國內(nèi)各高校高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開設(shè)有兩種模式:一種是單獨(dú)開設(shè)一門課程,進(jìn)行系統(tǒng)的講解與上機(jī)實(shí)驗(yàn);另一種是將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)穿插到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)之中。我校作為新升本院校,根據(jù)自身的實(shí)際情況,采用了后一種模式。下面,我們主要從高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式以及需要注意的幾個問題(三個方面)來探討如何開設(shè)高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課。

1.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可分為基礎(chǔ)部分和綜合部分:

在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分,首先著重講解數(shù)學(xué)軟件的功能和操作原理以及如何利用它來實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的符號運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算和圖形繪制等,然后圍繞高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容,包括函數(shù)與極限、一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、無窮級數(shù)、微分方程等,開設(shè)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容,主要包括計(jì)算、驗(yàn)證、演示和模擬實(shí)驗(yàn)。

(1)計(jì)算實(shí)驗(yàn)可以通過數(shù)學(xué)軟件求導(dǎo)數(shù)、求積分、解方程(組)和級數(shù)展開等,把學(xué)生從復(fù)雜的推導(dǎo)和運(yùn)算技巧中解放出來,使學(xué)生把主要精力放在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)上。

(2)驗(yàn)證試驗(yàn)可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理、重要公式等結(jié)論的計(jì)算機(jī)證明,例如驗(yàn)證兩個重要極限以及牛頓-萊布尼茨公式等。

(3)演示實(shí)驗(yàn)可以直觀而形象地演示各種靜態(tài)和動態(tài)的圖形,將難以講解說明的數(shù)學(xué)規(guī)律顯現(xiàn)出來,例如函數(shù)的圖形可以幫助學(xué)生理解函數(shù)的各種性質(zhì):單調(diào)性、凹凸性、極值等。

(4)模擬實(shí)驗(yàn)可以模擬一些數(shù)學(xué)概念的過程和結(jié)果,使數(shù)學(xué)變得具體化、現(xiàn)實(shí)化,加深學(xué)生對這些核心概念和相關(guān)基本概念的理解和掌握,例如數(shù)列和函數(shù)的極限,函數(shù)的連續(xù)和間斷以及定積分等。

綜合實(shí)驗(yàn)是讓學(xué)生運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識和實(shí)驗(yàn)知識,獨(dú)立地、創(chuàng)造性地去解決一些實(shí)際問題。綜合實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容可以取自于科學(xué)研究中的基礎(chǔ)問題和工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程、經(jīng)濟(jì)、軍事、管理、生活等各個應(yīng)用領(lǐng)域的經(jīng)過簡化的實(shí)際問題,選擇時應(yīng)該遵循可接受性、實(shí)用性、開放性、趣味性等原則[2],考慮因材施教的問題,以學(xué)生所學(xué)專業(yè)及學(xué)生的數(shù)學(xué)水平為依據(jù),內(nèi)容不可過難,以免打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,影響教學(xué)效果;也不可過易,否則難以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的教學(xué)模式是以教師為中心;而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)則是更多地以學(xué)生獨(dú)立操作為主,教師輔導(dǎo)為輔,發(fā)揮在計(jì)算機(jī)支持下協(xié)同工作、學(xué)生主動學(xué)習(xí)和教師指導(dǎo)監(jiān)督等各方面的優(yōu)勢,充分利用學(xué)生交流、研討、相互促進(jìn)的“群體效應(yīng)”來提升教學(xué)效果。在教學(xué)過程中,教師采用提問的方式,促進(jìn)學(xué)生勤思考,深鉆研,變被動聽講為主動學(xué)習(xí),大膽實(shí)踐。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)模式主要有三個基本環(huán)節(jié)[2]:

(1)理論講授:由教師講解實(shí)驗(yàn)中問題的背景、相關(guān)的數(shù)學(xué)理論和主要的實(shí)驗(yàn)方法,但不需要對理論方法做嚴(yán)格的證明和完整的推導(dǎo)。

(2)分析討論:由教師組織學(xué)生分組討論,利用所學(xué)的數(shù)學(xué)理論和方法設(shè)計(jì)求解的方案和算法,最好是以2～4人為一組,也可以是個人探索,視具體情況而定,例如基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)宜采用個人探索而綜合實(shí)驗(yàn)則宜分組進(jìn)行。

(3)上機(jī)實(shí)驗(yàn):在教師的指導(dǎo)下,利用相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件或通過計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行計(jì)算,并對計(jì)算所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,找出可能存在的規(guī)律,提出自己的猜想,然后通過數(shù)學(xué)上的分析及可能的數(shù)學(xué)證明,給出支持該猜想的嚴(yán)格論證,最后完成相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告或?qū)嶒?yàn)論文。實(shí)驗(yàn)報(bào)告的主體包括實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮鸵?、?shí)驗(yàn)方法和步驟、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和數(shù)據(jù)記錄以及實(shí)驗(yàn)結(jié)論和體會四個部分。實(shí)驗(yàn)論文類似研究論文,要求包括題目、摘要、正文、參考文獻(xiàn)等部分?；A(chǔ)性實(shí)驗(yàn)一般采用實(shí)驗(yàn)報(bào)告的形式,而綜合性實(shí)驗(yàn)則以實(shí)驗(yàn)論文的形式為主。

在教學(xué)安排上,由于高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了模塊化處理,因此各個實(shí)驗(yàn)基本上是獨(dú)立的,前后實(shí)驗(yàn)沒有順序上的沖突。這時,實(shí)驗(yàn)的安排可遵循兩個原則:一是由易到難,基礎(chǔ)內(nèi)容在前,綜合內(nèi)容在后;二是實(shí)驗(yàn)課要與理論課相結(jié)合,實(shí)驗(yàn)內(nèi)容應(yīng)圍繞學(xué)生剛學(xué)不久或即將要學(xué)的理論知識,這樣可以提高學(xué)生做實(shí)驗(yàn)的興趣,加深學(xué)生對理論知識的理解。

為了確保高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)和學(xué)習(xí)效果,課程結(jié)束時可對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)目己撕统煽冊u定,并將成績計(jì)入高等數(shù)學(xué)理論課的成績之中,占該課程成績的30%左右。考核成績以學(xué)生提交的實(shí)驗(yàn)報(bào)告和實(shí)驗(yàn)論文為主,兼以學(xué)生的實(shí)驗(yàn)態(tài)度和表現(xiàn)進(jìn)行綜合評價。學(xué)生的每個實(shí)驗(yàn)都由任課教師依據(jù)“真實(shí)性、知識性、實(shí)踐性、創(chuàng)新性”這四個方面綜合給出成績,課程的最終成績根據(jù)每個實(shí)驗(yàn)的成績按加權(quán)平均的方法得出[3]。

3.需要注意的幾個問題

高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一門新興的數(shù)學(xué)課程,許多問題尚待探索。在實(shí)際教學(xué)過程中,除了教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式外,我們認(rèn)為還應(yīng)處理好以下幾個關(guān)鍵問題:

(1)教師與學(xué)生在教學(xué)中的主從關(guān)系問題[3]。學(xué)生是實(shí)驗(yàn)主體,教師的作用通過引導(dǎo)、點(diǎn)撥、啟迪等方式加以發(fā)揮。教師不宜講得過精過細(xì),以免把實(shí)驗(yàn)課變成上半時聽下半時敲鍵盤,而是留出一定的遐想空間,讓學(xué)生自己去查閱資料、思考和設(shè)計(jì),親身經(jīng)歷和體會其中樂趣,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)。

(2)數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系問題[4]。開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)首先要解決的問題之一是軟件平臺的選擇。選擇一個合適的、功能齊全的數(shù)學(xué)軟件平臺十分重要,我們選擇的是Mathematica。該軟件易學(xué)易用,有著強(qiáng)大的符號演算和數(shù)值計(jì)算功能,可以方便地做出函數(shù)的圖形,非常適合高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的特點(diǎn)。學(xué)生必須首先要熟練使用這一軟件,但這不是主要目的,主要目的是讓學(xué)生通過使用該軟件提高解決實(shí)際問題的效率,不必花大量時間去考慮編程等技術(shù)細(xì)節(jié),而是集中精力探索解決問題的數(shù)學(xué)思想方法。再者,雖然Mathematica功能強(qiáng)大,但還是有其局限性的,一些人工不難求解的高等數(shù)學(xué)問題,使用Mathematica卻無法計(jì)算。因此,數(shù)學(xué)軟件只是一種工具和手段,學(xué)生應(yīng)精力集中地進(jìn)行數(shù)學(xué)方面的探索,不可本末倒置。

(3)任課老師的自身素質(zhì)問題。任課老師的自身素質(zhì)直接影響教學(xué)的效果,因此,第一,教師首先要轉(zhuǎn)變教育思想、教育觀念,深化教學(xué)改革,在提高教學(xué)質(zhì)量方面走在前面。第二,教師不僅要有較強(qiáng)的責(zé)任心,扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)、豐富的教學(xué)組織經(jīng)驗(yàn),而且還應(yīng)有較強(qiáng)的使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的綜合能力。第三,掌握幾種常用的通用數(shù)學(xué)軟件和一定的編程能力[5]。

總之,高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課可以為學(xué)生創(chuàng)造出一個現(xiàn)代科研工作的模擬環(huán)境,能夠激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,提高學(xué)生的綜合素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和分析問題解決問題的能力。高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為高等數(shù)學(xué)理論教學(xué)的補(bǔ)充,完善了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容,革新了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式,更新了高等數(shù)學(xué)的教育觀念,這對推動高等數(shù)學(xué)教學(xué)的全面改革,加強(qiáng)素質(zhì)教育有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

參考文獻(xiàn):

[1]石衛(wèi)國.新升本院校高等數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的認(rèn)識與思考[J].考試周刊,2008,(30).

[2]羅漢,萬中,王利平.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的內(nèi)容體系及教學(xué)模式[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用,2001,(11).

[3]王育寬等.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程體系的構(gòu)建[J].河北職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2003,(6).

[4]冷勁松,黃廷祝,傅英定.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”教學(xué)的幾點(diǎn)體會[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué),2004,(6).

[5]田學(xué)全.對理工科非數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的探索與實(shí)踐[J].塔里木農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報(bào),2003,(9).

(責(zé)任編輯/王麗君)