關濤 付立軍 紀鋒 李光磊

(1.海軍工程大學艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室，武漢 430033；2. 海軍駐九江地區(qū)軍事代表室， 九江 332007)

目前電力電子技術廣泛應用于各種電能變換中，它能夠提高能量利用率，減少各種電磁污染而且安全可靠，電力電子應用技術的發(fā)展趨勢[1,2]是集成化、模塊化、智能化、高頻化及不斷提高裝置效率與不斷拓展電壓應用范圍。

為了研究電力電子裝置的動靜態(tài)性能，并設計合適的控制裝置，建立電力電子裝置可靠的數(shù)值模型顯得非常重要[3]。電力電子裝置是強非線性系統(tǒng)[4]，因此各種變換器動態(tài)特性解析模型很難獲得。上個世紀70年代以來，眾多學者從事這方面的研究并取得了大量成果。應用普遍的SSA[5,6]首先建立各個開關狀態(tài)下的線性狀態(tài)空間模型，然后根據(jù)各種狀態(tài)出現(xiàn)的時間權重進行平均，它能夠描述狀態(tài)變量的低頻分量，當系統(tǒng)振蕩較小時比較實用。在 SSA基礎上形成的GSSA[7,8]通過對狀態(tài)變量進行傅立葉分解建立基于各個傅立葉系數(shù)的狀態(tài)空間平均，從而建立系統(tǒng)大信號模型，其包含變量各階分量，更全面描述了系統(tǒng)靜動態(tài)特性。

在GSSA的基礎上提出了SSE，直接對開關輸入信號與開關函數(shù)進行傅立葉分解，將各階次分量等效成等效電路中的各階電源模型，采用傅立葉分解級數(shù)越高，系統(tǒng)諧波分量描述越完備，仿真精度越高，并在 PSCAD中建立了相應電路模型和解析模型，對其大小信號特性進行分析比較，仿真結果吻合，驗證了SSE建模的正確性。

1 建模技術

1.1 SSA

假設系統(tǒng)在一個開關周期T內系統(tǒng)有N種開關狀態(tài)。在任意開關狀態(tài) j下，由于系統(tǒng)中不含有非線性元件，可將其視為線性系統(tǒng)，從而列寫在此開關狀態(tài)下的狀態(tài)方程；然后根據(jù)每個開關狀態(tài)j在一個開關周期T內的出現(xiàn)的時間權重進行加權，得到狀態(tài)空間平均模型。下面就H橋整流電路進行分析介紹，電路模型如圖1所示假設開關器件為理想器件。

圖1 H橋整流電路模型

在此電路中，一個開關周期T內有兩種開關狀態(tài)，開關狀態(tài)1：S1與S4導通，其他斷開；開關狀態(tài)2：S2與S3導通，其他斷開。下面就這兩種狀態(tài)分別進行描述。取電感L電流iL和電容C電壓UC為狀態(tài)變量。

開關狀態(tài)1，其占空比為d1，其狀態(tài)方程為：

其中

開關狀態(tài)2，其占空比為d2(d1+ d2= 1)，其狀態(tài)方程如下

其中 A2=A1， B2=B1。

然后進行狀態(tài)平均

下標T代表進行狀態(tài)平均后的向量。

1.2 GSSA

將系統(tǒng)中的周期狀態(tài)變量x(t)在(t - T, t]內進行傅立葉級數(shù)展開，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為

其中，ω=2π/T，將xk(t)作為新的狀態(tài)變量建立系統(tǒng)模型，N取值越大系統(tǒng)高階分量越豐富也就越精確，但同時提高了系統(tǒng)的階次。對式(5)求導可得

其中(x)(t )為x( t)的k階傅立葉系數(shù)。 k

設電力電子裝置的數(shù)學模型定義如下

式中x(t)為狀態(tài)變量向量，u(t)為激勵向量，y(t)為輸出向量。f(·)和 g(·)可以是線性函數(shù)也可以是非線性的，這取決于變換器的類型。對上式兩端采用傅立葉級數(shù)形式

利用式(6)可得最終的平均模型

其中下標k表示第k階傅立葉系數(shù)。

由式(5)可知 x (t)= [x (t)]*，假設

k-k

將式(4)進行簡化可得

下面將GSSA應用圖1所示整流電路，并運用開關函數(shù)的概念，假設

該電路的狀態(tài)方程如下

應用式(10)對式(13)運用 GSSA 后可得新的狀態(tài)方程，其變量分別為 xu kr (t)、 xu ki (t)、 xi kr (t)和 xi ki (t)。

由此可知，該方法可以根據(jù)電路的特性要求調整仿真程序的傅立葉分解的階數(shù)，從而提高系統(tǒng)狀態(tài)變量階次，因此該方法適用于各種類型的電力電子電路。

1.3 SSE

在圖 1中，應用式(12)中開關函數(shù)u( t)的概念，對于開關裝置交流側，其電壓信號相當于U s ˙u( t)，假設 U s = U m sinωt且開關占空比為50%，對 Us ˙u( t)進行傅立葉分解如下式

如果將電源與開關裝置直接等效成相應的傅立葉分量對應的電源，每個分量相當于一個獨立的電源，將各個分量所表示的電源進行串聯(lián)即為系統(tǒng)的總等效電源，其中第 j個電源電壓為U s ˙u( t)的第j階分量，其中 U s˙u( t)僅含有偶次分量，j為偶數(shù)。

由此可得相應的等效電路模型如圖2。

圖2 等效電路

圖2中U0為基波分量，UsN為 Us·u(t)的N階分量，通過調整N的大小選擇仿真電路中UsN的個數(shù)，調整系統(tǒng)的仿真精度。一般根據(jù)電力電子裝置高階分量大小及分布情況確定。

由此得到的SSE可以描述系統(tǒng)的高階分量，并用等效電路的方式建模，這樣更有利于實際電路的仿真分析。N取為0時由該電路得到的狀態(tài)方程和SSA完全一致，N相同時其描述的模型與GSSA完全一致。但是比較以上兩種方法，該方法更簡單直觀，而且效率高，誤差小，易于實現(xiàn)。

2 驗證

在PSCAD中建立了如圖1所示電路模型、SSA數(shù)學模型、GSSA數(shù)學模型和SSE數(shù)學模型，其中 L=3.0 mH，C=100 μF，RLoad=1 ?，R=1 ?，開關占空比D為50%。對這四種模型分別進行大小信號仿真模型驗證，GSSA模型N = 2和SSE模型中N = 4。本文對四種情況進行了分析：(1)電源電壓幅值由10 V上升到100 V；(2)L由3.0 mH降低到0.3 mH；(3)C由100 μF上升到1 mF；(4)負載電阻RLoad由1 ?上升到10 ?。具體的波形分別如圖3、圖4、圖5與圖6所示。圖中CM表示圖1所示電路仿真模型波形。

圖3 電源電壓幅值由10 V上升到100 V時

圖4 L由3.0e-2 H降低到3.0e-3 H時

圖5 電容C由1.0e-3F降低到1.0e-4F時

圖6 負載電阻RLoad由1 ?上升到10 ?時

由圖3到圖6的波形可知，以上三種方法中SSA模型僅能描述系統(tǒng)的直流分量，不能夠描述系統(tǒng)的諧波分量，該方法應用局限性強，僅應用于直流分量起主要作用的情況；GSSA模型和SSE模型在數(shù)學模型上一樣，得到的波形與系統(tǒng)仿真結果吻合，能夠完整的描述系統(tǒng)的振蕩分量，誤差不到1%，由此可知H橋整流電路中GSSA模型和SSE模型描述系統(tǒng)特性效果相同。圖中SSE的波形比GSSA更加精確，這是因為SSE仿真階次比GSSA高，由此可得系統(tǒng)階次越高仿真結果越準確。而在實現(xiàn)上GSSA系統(tǒng)階次高，其狀態(tài)變量SSE的兩倍，計算復雜；SSE建模方便，仿真效率高，易于實現(xiàn)。

當把GSSA的諧波階次N取為0時，得到的波形與SSA完全一樣，由此可知SSA只是GSSA的一種特殊形式；對于后兩種方法，當N取為4時系統(tǒng)波形比N取為2與0時精確，對于高次諧波比較嚴重的情況下這種區(qū)別會更加明顯，由此可知模型階次越高波形越精確，描述的暫態(tài)過程更準確，但系統(tǒng)模型變得比較復雜，仿真時間消耗越大。實際應用中應選擇合適的階次進行建模。

3 結束語

本文介紹了SSA和GSSA的應用原理，并說明了它們的區(qū)別與應用范圍；針對一些電源和開關直接串聯(lián)的電路，提出了SSE，將電源與開關直接等效成與各階次傅立葉分量相同的電源的串聯(lián)，得到的結果與GSSA描述的模型完全一致，但該方法更加簡單直觀，計算效率更高，更易于實現(xiàn)。最后通過對H橋整流電路模型分析建立其大小信號數(shù)學模型，在 PSCAD仿真軟件中驗證了SSE建模的正確性。

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