鄒大海

(中國科學院自然科學史研究所,北京 100190)

簡帛學研究專輯 從出土竹簡看中國早期委輸算題及其社會背景＊

鄒大海

(中國科學院自然科學史研究所,北京 100190)

主持人語:

湖南省是全國出土、收藏簡帛最多的省份,也應該是海內(nèi)外簡帛學的研究重鎮(zhèn)。本專欄再次推出簡帛學研究專輯,其內(nèi)容也主要是研究湖南省出土、收藏的簡帛?！霸缆磿翰厍睾啞闭诰o張地整理,今年開始將陸續(xù)出版其整理研究成果。本輯論文中有四篇涉及到“岳麓簡”的新材料,相信會引起學界的關(guān)注。

(朱漢民教授)

考察了睡虎地漢簡《算術(shù)》和《九章算術(shù)》、《張丘建算經(jīng)》中的委輸算題的特點,利用劉徽的《九章算術(shù)注》、岳麓書院秦簡《數(shù)》、張家山漢簡《算數(shù)書》等材料提出推導其術(shù)文的復原方案。并用睡虎地秦律和張家山漢簡《二年律令》,探討了這類算題的社會背景,特別是律令中的程。

委輸問題及其社會背景;《算術(shù)》;《九章算術(shù)》;《數(shù)》;《算數(shù)書》;律程

Abstract:The paper investigates the characteristicsof the problems concerning weishu(a kind of transportation organized by the government)in the Han bamboo slip Suanshu(Mathematical Procedures)unearthed from Shuihudi,the N ine Chapters on M athematical Procedures and the M athematical Classic of Zhang Qiujian.Referring to Liu Hui’s Annotationson the Nine Chapters,the Shu(Mathematics)on Qin bamboo stripspreserved in Yuelu Academy,the Suanshu Shu(W ritings on Reckoning)on Han bamboo strips unearthed from Zhangjiashan,this paper provides several schemes for restoring the procedures how the ancients obtain those methods.Referring to the Laws on the bamboo stripsof Qin unearthed from Shuihudi and the Ernian Luling(Law s of the Second Years)of Han Dynasty unearthed from Zhangjiashan,the paper discusses the social context of these problems,especially the cheng(lawson standards)in the law s.

Key words:w eishu p roblem s and their social context;Suanshu;N ine Chap ters on M athem atical Procedures;Shu;Suanshu Shu;cheng

一 引 言

2006年11月,湖北省云夢睡虎地77號墓中出土了大批竹簡。據(jù)2008年《江漢考古》刊登的發(fā)掘簡報,該墓葬年代在西漢文帝末年(公元前157年)至景帝(公元前157年-公元前141年在位)時期。墓中出土竹簡總共超過2137支,其中有數(shù)學著作《算術(shù)》1卷216支簡完整保存,其1號簡背面題其書名“算術(shù)”,“從內(nèi)容看,《算術(shù)》和已公布的張家山漢簡《算數(shù)書》一樣也是一部數(shù)學問題集,部分算題見于張家山漢簡《算數(shù)書》,但是文字內(nèi)容有一些差異”[1]。這是研究早期數(shù)學非常難得的史料。目前對《算術(shù)》還只有非常簡單的介紹,未見整理材料發(fā)表。值得注意的是彩版一五給出了十支《算術(shù)》簡的照片,為我們了解該書,并據(jù)以討論早期數(shù)學的某些問題提供了依據(jù)。其中有兩支簡涉及用車輸送物資,是委輸問題,可以和傳世文獻《九章算術(shù)》、《張丘建算經(jīng)》及張家山漢墓出土簡牘法律《二年律令》相對照,探討這類算題的特點及其社會背景。本文擬對此做一初步的討論。

二 委輸算題的算法分析

(一)三種文獻中委輸問題的異同

首先看彩版一五中《算術(shù)》部分從左往右數(shù)的第2和第3支簡。我們給出的釋文如下:

· 重車日行五十里,空車日行七十里。今一日七反,問載、輸所相去幾(第2支)

何里?曰:四里六分里一·術(shù)曰:并空、重,以七反乘之,為法。空重相乘,為實。(第3支)

我們先稍加疏解。重車是載有物資的車,空車是沒有載物的車?！胺础蓖ā胺怠?是指一個往返。“載、輸所”是指裝載物資的地方和物資運達的地方。第3支簡的“何里”與第2支簡的最后文字正好連成一個問句。之后的“曰”以下給出數(shù)字,正好是第2簡所提問題的答案,它由隨后“術(shù)曰”以下文字(其中“空”、“重”分別指空車日行里數(shù)和重車日行里數(shù),“法”是除數(shù),“實”指被除數(shù))給出的方法求得。因此,這兩支簡構(gòu)成了同一個問題,包括了題設(shè)、答案和解法,文字是完整的。

類似的問題見于《九章算術(shù)》均輸章和《張丘建算經(jīng)》卷中:

《九章》均輸章第9題說:

今有程傳委輸,空車日行七十里,重車日行五十里。今載太倉粟輸上林,五日三返。問太倉去上林幾何?荅曰:四十八里一十八分里之十一。術(shù)曰:并空、重里數(shù),以三返乘之,為法。令空、重相乘,又以五日乘之,為實。實如法得一里。[2]①在[2]?？庇浿?郭書春先生指出首句“程”字系據(jù)戴震輯錄本,他認為楊輝《詳解九章算法》作“乘”更好,但沒有改動原文。之后郭先生在[3]中改“程”為“乘”,釋為“乘坐”,把“乘傳”釋為“乘坐驛車”,把“今有乘傳委輸”譯為“假設(shè)由驛乘運送貨物”。但“乘坐”和“運輸”連在一起,似語義不暢。又,《史記》、《漢書》等注中還提到一種叫“乘傳”的傳車?！稘h書·高帝本紀下》“乘傳詣雒陽”句的注釋引如淳曰:“律:四馬高足為置傳,四馬中足為馳傳,四馬下足為乘傳,一馬二馬為軺傳。急者乘一乘傳”[4],說明“乘傳”是一種供人乘坐的傳車。出土文獻中亦有“乘傳”,有的不清楚,有的指傳車?！毒耪隆肪斦碌?題與第9題運糧車的標準速度一樣,其載貨標準量也應一致,推想第9題應和第4題一樣,每車標準載貨量都為25斛(本文后面有引文),故其中的車當非如淳注的乘傳。又,第4題術(shù)文首句說明空、重車的日行里數(shù)是程中的規(guī)定,第9題“程傳委輸”后緊接空車、重車的日行里數(shù)與之相等,這恰與“程”字義合。故筆者認為第9題作“程”比作“乘”字更合理.

《張丘建算經(jīng)》卷中第16題說:

今有車運麥輸太倉,去三十七里十六分里之十一。重車日行四十五里。七日五返。問空車日行幾何?荅曰:日行六十七里。術(shù)曰:置麥去太倉里數(shù),以返數(shù)乘之。以重車日行里數(shù)而一,所得為重行日數(shù)。以減凡日數(shù),余為空行日數(shù),以為法。以返數(shù)乘麥去太倉里數(shù),為實。實如法得一。[5]

這兩個問題與上述《算術(shù)》中的問題各有異同。從數(shù)學形式上看,這三個問題都是涉及重車每日所行里數(shù)、空車每日所行里數(shù)、某段時間內(nèi)往返的次數(shù)、路途遠近這4個數(shù)據(jù)?！毒耪滤阈g(shù)》與《算術(shù)》都是已知前3個求第4個,但前者則是5日往返3次,后者是1日往返7次,時間恰為一個單位(日)。相應地,在算法上,前者求被除數(shù)(“實”)時,要多一道手續(xù)“以五日乘之”,后者則沒有乘日數(shù)這一步驟,實際上也相當于“以一日乘之”。《九章》與《張丘建》問題的時間都不是一日,與《算術(shù)》的問題不同。《張丘建》與《九章》、《算術(shù)》兩者不同,它是已知第1、3、4個數(shù)據(jù),求第2個數(shù)據(jù)。

三 算法的特征及造術(shù)之原

從解法的表述方式看,它們的術(shù)文都具有一般性,表明其作者都注意方法的普遍性。不過,這些術(shù)文也有不同的特點?！稄埱鸾ㄋ憬?jīng)》描述計算方法時,說明了某些步驟所達到的目的,它實際給出了解法的依據(jù)。不僅如此,《張丘建算經(jīng)》還有專門的“草”,交代演算的細節(jié)和每步計算的具體結(jié)果?！端阈g(shù)》比《九章》的術(shù)文少了“實如法得一里”這類句子,不如后者完整,但由于交代了如何計算出“實”和“法”,所以讀者很自然會想到“實如法而一”這一步驟。不過,單從這兩個問題的術(shù)文,讀者不太容易理解為什么要用這樣的方法計算。

劉徽在給《九章算術(shù)》均輸章第9題做注釋時,結(jié)合對該章第4題術(shù)文的注釋,對此題術(shù)文做了解釋。第4題已知甲、乙、丙、丁、戊、己六個縣共要交納賦稅6萬斛粟,每個縣的算(成年勞動力人口稅的單位)數(shù)、粟的價格、雇傭勞力價格,到賦稅繳納點甲縣的距離,要根據(jù)均攤到每算的稅相等這個原則,考慮各縣的算數(shù)、距離、粟價、傭價等因素的影響,求出各縣應交納的粟的數(shù)量。這個問題很復雜,我們這里只注意與本文關(guān)系較密切的部分。題設(shè)中提到“六人共車,車載二十五斛,重車日行五十里,空車日行七十里,載輸之間各一日”,相應的術(shù)文說“以車程行空、重相乘為法,并空、重以乘道里,各自為實,實如法得一日。”劉徽注說:“此術(shù)重往空還,一輸再行道也。置空行一里用七十分日之一,重行一里用五十分日之一,齊而同之,空、重行一里之路,往返用一百七十五分日之六。完言之者,一百七十五里之路,往返用六日也。故并空、重者,齊其子也?？?、重相乘者,同其母也。于今有術(shù),至輸所里為所有數(shù),六為所求率,一百七十五為所有率,而今有之,即各得輸所用日也?！盵2](P241-242)劉徽在注《九章》均輸?shù)?題術(shù)文時說:“此亦如上術(shù),率:一百七十五里之路,往返用六日也。于今有術(shù),則五日為所有數(shù),一百七十五里為所求率,六日為所有率,以此所得,則三返之路。今求一返,當以三約之,因令乘法而并除也。為術(shù)亦可各置空、重行一里用日之率,以為列衰。副并為法,以五日乘列衰為實,實如法,所得即各空、重行日數(shù)也。各以一日所行以乘,為凡日所行。三返約之,為上林去太倉之數(shù)”[2](P246)。

我們根據(jù)劉徽的提示,可以推知《九章算術(shù)》作者的作法。先提醒讀者注意是:空車每天走的里數(shù)、重車每天所走的里數(shù),在《算術(shù)》的術(shù)文中分別簡稱為“空”、“重”;在《九章》中,第9題的術(shù)文一處與《算術(shù)》相同,一處作“空、重里數(shù)”;第4題的術(shù)文前面作“車程行空、重”,后面仍作“空”、“重”。劉徽注也用省稱“空”、“重”,但此省稱有時還指稱“空車”和“重車”。這里,指稱空車日行里數(shù)和重車日行里數(shù)的“空”、“重”并非詞組中的中心詞,因此這種省略表示法帶有比較濃厚的符號意味,有了這種表達方式,古人不論是描述術(shù)文還是推導術(shù)文,在表達上都不會太費勁。

上述復原方案,可以從岳麓書院所藏《數(shù)》和張家山漢簡《算數(shù)書》找到數(shù)學思維上的根源。前書有一個算題說:

“有婦三人,長者一日織五十尺,中者二日織五十尺,少者三日織五十尺,今威有攻(功)五十尺,問各受幾可(何)?曰:長者受廿七尺十一分尺三,中者受十三尺十一分尺七,少者受九尺十一分尺一。述(術(shù))曰 :各直(置)一日所織”[6]①“威”字在[6]中作“織”,陳偉先生據(jù)原照片正確地改釋為“威”,認為是丈夫的母親即今所謂婆婆。陳先生并認為張家山漢簡《算數(shù)書》同一題中原釋為“織”的字也當釋為“威”[7].感謝肖燦君告知陳先生的論文.。

這個問題的題設(shè)中,織同樣多(五十尺)的布所需要的時間,長、中、少者不同,術(shù)文部分至少缺一簡,但現(xiàn)存的部分“各直一日所織”,說明作者考慮單位時間(一日)內(nèi)三人所織的多少,這與上述復原方案中考慮在單位路程(一里)上空車、重車所花的時間是一致的。當然,下面的步驟,由于文字缺失,就不宜再做推測了。

后書有同樣的問題:

“婦織 有婦三人,長者一日織五十尺,中者二日織五十尺,少者三日織五十尺。今織有攻(功)五十尺,問各受幾何尺。其得曰:長者受廿五尺,中者受十六尺有(又)十八分尺之十二,少者受八尺有(又)十八分尺之六。其術(shù)曰:直(置)一、直(置)二、直(置)三而各幾以為法,有(又)十而五之以為實,如法而一尺。不盈尺者,以法命分?！と秊殚L者實,二為中者,一為少者?！盵8]

四 委輸算題與其社會背景

《九章算術(shù)》均輸章的第4題題設(shè)中提到“載輸之間各一日”,將裝車和卸貨這兩個重要環(huán)節(jié)所需的時間(各一天)考慮在內(nèi),而第9題及《算術(shù)》和《張丘建》的問題都沒有考慮這種時間,說明前者具有更強的現(xiàn)實背景。后三個問題只計算在路途上往返的時間而忽視了裝卸時間,使問題更簡單易算,是數(shù)學文獻中忽略某些不宜忽視的現(xiàn)實因素的一種類型。不過,我們不難發(fā)現(xiàn),其中仍有很強的社會背景因素。

首先,《九章》均輸?shù)?題中有上林、太倉之名。太倉是京師的大倉,不同朝代都有?！妒酚洝で厥蓟时炯o》說秦始初并天下的時候“分天下以為三十六郡,郡置守、尉、監(jiān)?！T廟及章臺、上林皆在渭南。秦每破諸侯,寫放其宮室,作之咸陽北阪上”[10]。以此推之,上林之名,大概在秦統(tǒng)一以前就有。公元前212年,秦始皇“以為咸陽人多,先王之宮廷小”,“乃營作朝宮渭南上林苑中”[10](P256)。漢初上林苑荒廢,公元前195年許民入墾,武帝時收為宮苑,又加增擴[11]。這個問題反映了官府利用傳這個交通系統(tǒng)從太倉向上林苑運送糧食的史實,它設(shè)置于秦代后期或漢武帝時代的可能性較大。但它不會是現(xiàn)實問題的直接移錄。這不僅因為兩地距離是已知的,不必去求,而且因為這個問題忽視了把粟裝上車和卸下車都需要時間這兩個基本環(huán)節(jié)。

除《張丘建算經(jīng)》外,空車日行70里、重車日行50里是其余3個問題的公有數(shù)據(jù),這似乎說明它們是一定條件下的常數(shù)?！毒耪隆肪?shù)?題的術(shù)文說“以車程行空、重相乘為法”中“車程行”三字標明,這兩個數(shù)據(jù)是政府部門給這類車運送物資設(shè)置的標準速度(“程”是標準的意思,秦漢政府為某些部門和工作制定一定的數(shù)量標準,納入法律的范圍,亦稱為程)。第9題的開頭“今有程傳委輸,空車日行七十里,重車日行五十里”中的“程傳委輸”,標明這兩個數(shù)據(jù)也是當時政府為用傳車運輸物資(主要是糧食)規(guī)定的速度標準。實際上,還有更直接的證據(jù)證明這一點。張家山漢墓竹簡《二年律令·徭律》:“事委輸,傳送,重車重負日行五十里,空車七十里,徒行八十里”[8](P64),這里的規(guī)定中,用傳車委輸時空車和重車的速度標準與上述文獻正好相同,該徭律甚至還規(guī)定了不駕車步行的標準速度為日行80里?？梢姟毒耪隆泛汀端阈g(shù)》這幾個問題雖經(jīng)過一定的數(shù)學抽象,但仍反映了當時需要通過正確的數(shù)學計算來計劃和保證政府部門組織的委輸工作?！端阈g(shù)》和《九章》均輸?shù)?題不考慮裝卸時間,也許是因為考慮的因素越多,求解就越困難。作為學習的材料,忽略部分因素而設(shè)立相對簡單的問題,可以作為學習者今后學習處理復雜問題的階梯。

睡虎地秦簡《效律》說:“上節(jié)發(fā)委輸,百姓或之縣就及移輸者,以律論之”。這里“節(jié)”通“即”,如果;“就”通“僦”,雇傭。秦律規(guī)定:如果官府征發(fā)勞役來從事物資的運送,要是有老百姓到縣里花錢雇人或委托他人輸送,就要受到法律的懲處[12]。漢簡《二年律令》在徭律中提到“事委輸,傳送”,《九章》均輸?shù)?題提到“程傳委輸”。根據(jù)這些信息推測,大約戰(zhàn)國時秦國至西漢,傳雖是交通、郵政組織中的一種,除傳遞文書、信息、接待政府公職等外,它還運送物資。大概運送物資的傳車頗具代表性,其速度與平常運糧的車相當,或者兩者就是同一種車,所以《九章》均輸?shù)?題中運糧車的速度也取同樣的數(shù)據(jù)。

據(jù)劉徽“九章算術(shù)注序”,現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》是在先秦遺文的基礎(chǔ)上,中經(jīng)張蒼、最后在公元前1世紀中葉由耿壽昌編定的[13-16]。睡虎地漢簡《算術(shù)》直接證明,這類委輸問題出現(xiàn)的下限可以推到公元前157年前后,比《九章》的編定時代至少早一個世紀。《九章》和《算術(shù)》兩個委輸問題采用的程與《二年律令》相同,后者的下限在公元前186年,因此這一程的出現(xiàn)時代也就不會晚于這一年。由于這一程中的數(shù)據(jù)肯定是為著計算遠近或時間服務的,因此,在公元前186年以前,肯定存在基于這一標準數(shù)據(jù)的算題。至于《算術(shù)》和《九章》的這兩個算題,雖有也可能是晚些時候的,但屬于早期的可能性也不小。兩個算題算法的共性是:被除數(shù)中含空車、重車日行里數(shù)(簡省為“空、重”或“空、重里數(shù)”。)相乘所得的積,除數(shù)含有它們相加所得的和。其算法的差異在于根據(jù)題設(shè)中幾日幾返的不同數(shù)字,把被除數(shù)和除數(shù)分別乘以日數(shù)和返數(shù)。兩個算題的異同,說明在更早的時代有共同的算理存在于一些數(shù)學家心中甚至一些數(shù)學文獻中,其形式也應以算題及其算法的形式存在,可以是同類的其他算題,也可能這兩個算題或其中一個就是早先傳下來的舊題。戰(zhàn)國時秦國和秦代的法律非?？翢?。西漢初期曾對秦法有簡省,但仍繼承了秦律的很多內(nèi)容,出土的漢簡仍能反映漢代法律的細致程度。現(xiàn)存秦律中雖沒有上述關(guān)于委輸中空、重車的程,這并不能說明秦律沒有這樣的程。因為現(xiàn)存秦律只是原有秦律的很小一部分。漢代經(jīng)過武帝時張湯、趙禹的修訂,法律大量增加,之后又有少量增刪[17]。但記錄昭帝(公元前87-74年在位)時“鹽鐵之議”(公元前81年)的《鹽鐵論》,其“刑德”篇載賢良文學反對重用刑法時用秦法的施用效果作為論據(jù),說“昔秦法繁于秋荼,而網(wǎng)密于凝脂”,但照樣不能阻止“奸偽萌生”[18]。可見當漢法非常繁多復雜時,他們?nèi)杂X得秦法十分苛煩。漢初又以黃老無為之說為治國思想,規(guī)定車行速度標準在西漢初年并非急務,所以《二年律令·徭律》中對委輸?shù)目哲?、重車和不駕車步行的速度的規(guī)定,很可能屬于漢承秦制,而非漢初所增益。因此,相應的算題和算法應該在秦代或戰(zhàn)國時秦國出現(xiàn)過。

五 小 結(jié)

綜上所論,《九章》和漢簡《算術(shù)》委輸問題的算法具有普遍性,其中還用到非常簡省的表達甚至是單個字來表示相關(guān)的指標,這為古人推導和獲得算法提供了便利。這種具有普遍性的表述方式和近似符號的簡省記錄法,很值得學界重視,或許在《算術(shù)》中還有類似情況。這些算題是否從西漢初年或更早的時代流傳下來,現(xiàn)在沒法得出明確的答案。但先秦時期存在著與《九章算術(shù)》均輸章前四個均輸本術(shù)問題的方法在數(shù)學結(jié)構(gòu)上相似的艱深算法[19],因此委輸類算題出現(xiàn)于先秦在算理上是不存在障礙的,相應的簡省表示法也可能出現(xiàn)得比較早。岳麓秦簡《數(shù)》和張家山漢簡《算數(shù)書》衰分類算題包含有這類算題的算理基因,也提供了佐證。漢代算書中的委輸問題具有與《二年律令·徭律》所規(guī)定的定額相等的常數(shù),算書中的“程”字,表明這類算題與律令中的關(guān)于運輸?shù)某逃忻芮械年P(guān)系。這種程可能在秦代或戰(zhàn)國時秦國就已經(jīng)存在,當時可能也存在委輸類問題。不過,《九章》和《算術(shù)》中現(xiàn)存的委輸問題,忽視了不宜忽視的重要因素,與實際問題還存在一定的偏差,它們或許是為學習更復雜的數(shù)學方法打基礎(chǔ)而設(shè)置的。

《張丘建算經(jīng)》中空車日行67里,重車日行45里,與《九章》、《算術(shù)》接近而稍低。有意思的是,此題所求為空車日行里數(shù),這與前面的算書視之為常數(shù)的作法迥然有異。大概秦漢法律在北魏編撰此書時已經(jīng)散佚,[20](P223)當時這類交通運輸?shù)囊?guī)程不似秦漢時細密,所以已經(jīng)沒有施用這樣的程了。當然,由于同種車的速度在不同的時代總是相差不大,所以,在不同時代的同類問題中,這兩個數(shù)據(jù)仍比較接近。

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The Problems Concerning Weishu and Their Social Context in Early China——A research based on the unearthed bamboo slips

ZOU Da-hai

(Institute for the History of Natural Sciences,Beijing 100190,China)

K206.4

A

1008—1763(2010)04—0005—06

2010-06-13

中國科學院自然科學史研究所中國古代科技史前沿課題“簡牘與上古數(shù)學史研究”

鄒大海(1965—),男,湖南新化人,中國科學院自然科學史研究所研究員.