● (紹興市高級中學(xué) 浙江紹興 312000)

“方程的根與函數(shù)的零點”問題串設(shè)計賞析

●封幸力(紹興市高級中學(xué) 浙江紹興 312000)

愛因斯坦說過：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要”．“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，“數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解”，如何有效地設(shè)計問題串以引起學(xué)生的思考，是保證課堂教學(xué)有效性的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．在課堂教學(xué)過程中，教師與學(xué)生的雙邊活動往往圍繞大量的問題而展開．問題串的合理設(shè)計能更好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力，使數(shù)學(xué)的心臟跳動得更加正常.本文以“方程的根與函數(shù)的零點”的教學(xué)內(nèi)容為例說明數(shù)學(xué)課問題串的設(shè)計，供大家評析.

1 探究環(huán)節(jié)

問題1觀察二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3的圖像(如圖1)，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[a,b]上有零點.計算f(-2)與f(1)的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點呢？

圖1

問題2函數(shù)f(x)=x2-2x-3在(-2，1)內(nèi)有零點嗎？

問題3在區(qū)間(2，4)內(nèi)呢？

問題4這個函數(shù)符合某些特征.我們把它抽象成一般的結(jié)論，對于一般的函數(shù)f(x)，需要滿足什么條件，它在某個區(qū)間上才有零點呢？

(學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如果區(qū)間2個端點的函數(shù)值的乘積小于0，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)有零點.)

問題5這個條件夠嗎？

圖2

(學(xué)生一頭霧水，教師在黑板上畫出一幅圖(如圖2).)

問題6如圖2所示的函數(shù)在區(qū)間(0，5)上有零點嗎？

(引起學(xué)生思維撞擊.)

問題7(追問)為什么呢？

(學(xué)生會發(fā)現(xiàn)因為圖像不是連續(xù)的曲線.)

問題8需要幾個條件才能判斷函數(shù)存在零點？

設(shè)計意圖在探究過程中，教師始終強調(diào)“區(qū)間”這2個字，讓學(xué)生明白函數(shù)零點是在某個區(qū)間上取的.通過類比得出零點存在性定理，讓學(xué)生體會研究性學(xué)習(xí)的樂趣.

2 辨析環(huán)節(jié)

在學(xué)生歸納出函數(shù)零點的存在定理后，讓學(xué)生談?wù)勧槍Υ私Y(jié)論有什么疑問或想法.

問題1如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上滿足f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點嗎？

問題2這也說明了函數(shù)圖像要連續(xù),那么函數(shù)圖像不是連續(xù)不斷的，函數(shù)就沒有零點了嗎？

問題3如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，那么當(dāng)f(a)·f(b)>0時，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定沒有零點嗎？

問題4當(dāng)f(a)·f(b)>0時,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點嗎？

問題5當(dāng)f(a)·f(b)>0時，函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有時有零點，有時沒有零點，那么它能作為判斷函數(shù)零點的條件嗎？

問題6如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，那么一定有f(a)·f(b)<0嗎？

通過以上的討論說明了函數(shù)在區(qū)間(a,b)上“圖像連續(xù)不斷”和“f(a)·f(b)<0”是判斷函數(shù)有零點的2個條件.

問題7滿足這2個條件時，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有1個零點嗎？

問題8增加什么條件可以確定函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有1個零點？

通過這組問題，我們發(fā)現(xiàn)“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點”，這句話是正確的，我們把它作為判斷函數(shù)有零點的一個定理.定理中要明確2個條件：連續(xù)和異號.因為該定理只能判斷有零點，判斷不了有幾個零點，所以這僅僅是函數(shù)零點“存在性”定理.

設(shè)計意圖在這個環(huán)節(jié)中，問題串串相接，步步深入.在得出定理的內(nèi)容后，進一步挖掘定理，深入理解定理的內(nèi)涵.教師的提問也是學(xué)生心中的疑問.在實踐過程中由學(xué)生進行歸納、類比回答，讓學(xué)生充分體驗知識的生成過程.在這個環(huán)節(jié)中可以引導(dǎo)學(xué)生積極思考，創(chuàng)設(shè)一種活躍的課堂氣氛.

以問題串的形式設(shè)計課堂能夠使學(xué)生積極參與、自主學(xué)習(xí).在這樣的課堂教學(xué)中，學(xué)生既獨立自主，又互相協(xié)作，求知的欲望被不斷激活，探索的勇氣在不斷增強.一堂課是綜合藝術(shù)的展現(xiàn)，是預(yù)設(shè)與生成的交融，也是師生共同探索、一起進步的平臺.課堂不是教師個人的舞臺，不能只展示教師的個人風(fēng)采，教師的角色更像是導(dǎo)演，學(xué)生才是演員，才是課堂的主人.要多角度地展現(xiàn)學(xué)生的思維，讓學(xué)生自己舉例、解疑.教師的作用主要體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)問題情境、適時點撥、引導(dǎo)和調(diào)控上.正如波利亞所說：“學(xué)生的數(shù)學(xué)思想只能在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，而教師只能起到一個‘助產(chǎn)婆’的作用”.

美國心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠是從問題開始的”.在課堂教學(xué)中，我們要以問題貫穿于整個教學(xué)過程中，使學(xué)生在設(shè)問和釋問的過程中萌生自主學(xué)習(xí)的動機和欲望，逐漸養(yǎng)成思考問題的習(xí)慣，并在實踐中不斷優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在教學(xué)中要開展問題式教學(xué)，教師在教學(xué)設(shè)計時要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容編寫“問題串”.問題串的設(shè)計是將知識或內(nèi)容問題化，問題的設(shè)計要由淺入深、由易到難，讓學(xué)生層層深入，循序漸進，觸類旁通.問題串的設(shè)計能使課堂學(xué)習(xí)更精彩，“數(shù)學(xué)心臟跳動得更健康”，教學(xué)效果更顯著.