● (金華市第五中學(xué) 浙江金華 321000)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)之我見(jiàn)

●施錦華(金華市第五中學(xué) 浙江金華 321000)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近幾年各地中考數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)熱點(diǎn)，已成為眾多試題中一道亮麗的風(fēng)景.這類試題的主要特點(diǎn)是一個(gè)主題分成若干個(gè)小問(wèn)題，由易到難層層遞進(jìn)，較全面地考查學(xué)生的綜合理解和分析問(wèn)題的能力.它區(qū)分了學(xué)生的綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)修養(yǎng)，體現(xiàn)了“關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展”，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同程度發(fā)展的課改理念.下面結(jié)合幾個(gè)典型例題談?wù)劰P者對(duì)“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”教學(xué)的看法和體會(huì).

1 數(shù)形結(jié)合是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)的靈魂

“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”.數(shù)形結(jié)合的思想是研究數(shù)學(xué)的一種重要思想方法.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)問(wèn)題對(duì)象的屬性，將數(shù)與形巧妙地相互轉(zhuǎn)化，以數(shù)析形，以形論數(shù)，使一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題迎刃而解.

(1)直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△OPQ的面積為S，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

(2009年黑龍江省哈爾濱市數(shù)學(xué)中考試題)

圖1

圖2

分析(1)A(8，0)，B(0，6).

①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，OQ=t，OP=2t,則

②當(dāng)3

AP=6+10-2t=16-2t.

由△APC∽△ABO,得

于是

從本例可知，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決“動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題”可分以下3個(gè)步驟：

(1)用含t的代數(shù)式表示出含有動(dòng)點(diǎn)的線段，這一過(guò)程要抓住動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程來(lái)思考，如圖1中OP，OQ的表示，圖2中AP的表示；

(2)用含t的代數(shù)式表示出其他的相關(guān)線段，最常見(jiàn)的是通過(guò)線段的和差、三角形的相似來(lái)達(dá)成目的，如圖2中PC的表示；

(3)在圖形中找到等量關(guān)系并根據(jù)這些等量關(guān)系建立方程或函數(shù)模型解決問(wèn)題.

2 畫圖分析是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)的鑰匙

解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是理解圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.因此，抓住動(dòng)點(diǎn)的瞬間狀態(tài)或相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立畫圖分析相對(duì)位置關(guān)系和形狀的變化(形的運(yùn)動(dòng)也歸結(jié)為頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng))，使運(yùn)動(dòng)過(guò)程直觀地展現(xiàn)出來(lái)，“動(dòng)”中捕“靜”，以“靜”制“動(dòng)”，是提高解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題能力的基本手段.

例2如圖3，直角梯形ABCD和正方形EFGC的邊BC,CG在同一條直線上，AD∥BC，AB⊥BC于點(diǎn)B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面積與正方形EFGC的面積相等，將直角梯形ABCD沿BG向右平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)停止移動(dòng).設(shè)梯形與正方形重疊部分的面積為S.

(1)求正方形的邊長(zhǎng).

(2)設(shè)直角梯形ABCD的頂點(diǎn)C向右移動(dòng)的距離為x，求S與x的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)直角梯形ABCD向右移動(dòng)時(shí)，它與正方形EFGC的重疊部分面積S能否等于直角梯形ABCD面積的一半？若能，請(qǐng)求出此時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2009年遼寧錦州市數(shù)學(xué)中考試題)

圖3

圖4

圖5

②當(dāng)4

(3)能；x=5.

畫圖分析先要“勤”——多畫.只有畫出特殊位置點(diǎn)處的圖形才能確定x的取值范圍.例如,本例第(2)小題，畫出點(diǎn)D和點(diǎn)E重合時(shí)的圖形，就能求出分界值x=4；只有畫出關(guān)鍵點(diǎn)附近位置的圖形，才能找到各種情況下的方程模型或函數(shù)模型，例如本例第(2)小題，只有畫出圖4和圖5，才能正確求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

畫圖分析更要“清”——明晰圖形變化的本質(zhì).如本例第(2)小題，抓住梯形平移過(guò)程中頂點(diǎn)C,D的移動(dòng)距離一致這一本質(zhì)特征，就不難表示出DE的長(zhǎng).

3 運(yùn)用變式是掌握動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的途徑

運(yùn)用變式能使問(wèn)題的本質(zhì)更為凸顯，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)從本質(zhì)看問(wèn)題，注意從事物之間的聯(lián)系來(lái)理解事物的本質(zhì)，從而掌握解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的思路與方法.

運(yùn)用變式幫助學(xué)生理解、掌握動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題思路，變式的設(shè)計(jì)要有梯度.例如，在教學(xué)例2時(shí),可以設(shè)計(jì)以下變式：

變式1將條件“當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)停止移動(dòng)”改為“當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G重合時(shí)停止移動(dòng)”，求出第(2)小題中的函數(shù)關(guān)系式.

多次嘗試后，學(xué)生就能畫出其余3種情形的圖形(如圖6～8)，并寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

圖6

圖7

圖8

變式2如圖9，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH(HF∥DE，∠HDE=90°)的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3.固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為DEFH′(如圖10).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式.

圖9

圖10

此變式改編自2009年湖南省婁底市數(shù)學(xué)中考試題，和例2屬于同類問(wèn)題，有較大的相似性，學(xué)生經(jīng)過(guò)模仿、思考、嘗試，就能進(jìn)一步熟悉、掌握解決此類問(wèn)題的方法.

圖11

(1)求△ABC的面積；

(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長(zhǎng)；

(3)若矩形DEFG從原地出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍.

此變式為2009年山西省數(shù)學(xué)中考試卷中的題目，在前2個(gè)變式的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)一個(gè)完整的中考?jí)狠S題，能給學(xué)生一個(gè)挑戰(zhàn)自我的機(jī)會(huì).題型的相似性給學(xué)生以一定的信心；題目環(huán)境和條件的差別有利于幫助學(xué)生脫離單純模仿的境界，以達(dá)到真正掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的目的.

[1] 范鴻．中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系賞析[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2009(18)：35-38.

[2] 吳海寧．動(dòng)態(tài)幾何類問(wèn)題之一——?jiǎng)狱c(diǎn)型[J]．考試:中考版，2009(3)：21-24.

[3] 于光斌．如何培養(yǎng)學(xué)生解答動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線和動(dòng)圖問(wèn)題的解題能力[J]．新課程:教育學(xué)術(shù)版，2008(7)：126.