● (武威市第十三中學(xué) 甘肅武威 733000)

中考試題中的動態(tài)型問題解析

●滿銀天(武威市第十三中學(xué) 甘肅武威 733000)

在近幾年各地的中考試卷中,動態(tài)型問題已成為中考試題的一大熱點(diǎn)題型,而且常常作為壓軸題出現(xiàn).這類問題以幾何圖形為載體，以運(yùn)動變化為特征，通過圖形在運(yùn)動中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題和探究幾何圖形變化規(guī)律的問題，考查學(xué)生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力.在運(yùn)動變化中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，綜合提高分析能力.解決動態(tài)幾何題的策略是：把握運(yùn)動規(guī)律，尋求運(yùn)動中的特殊位置；“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律.通過探索、歸納、猜想，獲得在運(yùn)動過程中不變量與變量之間的特殊關(guān)系，從而建立函數(shù)模型或方程模型,找到解題的突破口.下面以2009年各地中考試題為例，將動態(tài)型問題進(jìn)行分類解析.

1 動點(diǎn)型

例1如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0，10)，(8，4)，點(diǎn)C在第一象限．動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q以相同速度在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)(長度單位)關(guān)于運(yùn)動時間t(秒)的函數(shù)圖像如圖2所示，請寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動時的坐標(biāo)及點(diǎn)P的運(yùn)動速度.

(2)求正方形邊長及頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

(3)在第(1)小題中,當(dāng)t為何值時，△OPQ的面積最大，并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1

圖2

圖3

(4)如果點(diǎn)P,Q保持原速度不變，那么當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→C→D勻速運(yùn)動時，OP與PQ能否相等.若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

解(1)Q(1，0)，點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒1個單位長度．

(2)過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，則

BF=8，OF=BE=4．

求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(14，12)．

(3)過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，則△APM∽△ABF,可得

于是

設(shè)△OPQ的面積為S(平方單位)，則

評析本題將點(diǎn)的運(yùn)動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖像有機(jī)地結(jié)合起來，并把這些點(diǎn)在運(yùn)動變化過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等聯(lián)系起來進(jìn)行研究，融入了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.求解本題的關(guān)鍵是確定△OPQ的底長OQ、高PN與t的關(guān)系式，從而建立起面積與t的函數(shù)關(guān)系，以靜制動，運(yùn)用所學(xué)函數(shù)知識求出△OPQ的面積最大時t的值.

圖4

2 三角形的運(yùn)動

例2如圖4，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(1,0)，B(0,2)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)將△OAB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點(diǎn)C，求平移后所得圖像的函數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)第(2)小題中平移后所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1，若點(diǎn)N在平移后的拋物線上，且滿足△NBB1的面積是△NDD1面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解(1)已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(0,2),解得b=-3,c=2，于是所求拋物線的解析式為y=x2-3x+2．

(2)因?yàn)锳(1,0)，B(0,2)，所以

OA=1,OB=2.

可得旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，1)，于是平移后的拋物線解析式為y=x2-3x+1．

圖5

圖6

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，-1)或(3，1)．

評析本題是以三角形旋轉(zhuǎn)運(yùn)動為載體、以拋物線為背景創(chuàng)設(shè)的探索性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，涉及了三角形和二次函數(shù)等知識的考查.解決此題的關(guān)鍵是應(yīng)弄清圖形運(yùn)動過程中始終保持不變的量.這里融入了動態(tài)幾何中的變和不變、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.

3 矩形的運(yùn)動

(1)求△ABC的面積；

(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長；

(3)若矩形DEFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，設(shè)移動時間為t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．

圖7

圖8

解(1)易得直線l1,l2的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,6)，因此

(2)由點(diǎn)D在l1上,得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(8，8).又由點(diǎn)E在l2上,可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,8),于是

OE=8-4=4,EF=8.

(3)當(dāng)0≤t<3時，如圖8，矩形DEFG與△ABC重疊部分為五邊形CHFGR(當(dāng)t=0時，為四邊形CHFG)．過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則

Rt△RGB∽Rt△CMB,

于是

即

解得

RG=2t.

由Rt△AFH∽Rt△AMC,可得

S=S△ABC-S△BRG-S△AFH=

即

②當(dāng)3≤t<8時，如圖9,矩形DEFG與△ABC重疊部分為梯形HFGR.過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則

Rt△ARG∽Rt△ACM，

因此

即

解得

又由Rt△AHF∽Rt△ACM，可得

于是

解得

圖9

圖10

③當(dāng)8≤t≤12時(如圖10),矩形DEFG與△ABC重疊部分為△AGR,則Rt△ARG∽Rt△ACM(當(dāng)t=12時,為一個點(diǎn))，因此

解得

評析本題是一道以矩形的運(yùn)動構(gòu)建的集代數(shù)、幾何于一體的綜合題，有一定的難度，是一道具有很好選拔功能的試題.要求學(xué)生認(rèn)真審題，畫出不同情況下的圖形,根據(jù)圖形建立時間變量與其他相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式.解決本題的關(guān)鍵是利用矩形在運(yùn)動過程中產(chǎn)生相似三角形得到待求量與時間t的關(guān)系，進(jìn)而求出面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.

4 圓運(yùn)動

例4如圖11，已知射線DE與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D(3,0),E(0,4)．動點(diǎn)C從點(diǎn)M(5,0)出發(fā)，以1個單位長度每秒的速度沿x軸向左作勻速運(yùn)動.與此同時，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，也以1個單位長度每秒的速度沿射線DE的方向作勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．

(1)請用含t的代數(shù)式分別表示出點(diǎn)C與點(diǎn)P的坐標(biāo).

①當(dāng)⊙C與射線DE有公共點(diǎn)時，求t的取值范圍;

②當(dāng)△PAB為等腰三角形時，求t的值．

圖11

圖12

(2)①當(dāng)⊙C的圓心C由點(diǎn)M(5,0)向左運(yùn)動，使點(diǎn)A到點(diǎn)D并隨⊙C繼續(xù)向左運(yùn)動時，有

解得

當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)時，過點(diǎn)C作CF⊥射線DE，垂足為F.由△CDF∽△EDO，可得

即

解得

②當(dāng)PA=AB時，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，則

PA2=PQ2+AQ2,

即

解得

當(dāng)PA=PB時，有PC⊥AB，因此

解得

t3=5．

當(dāng)PB=AB時，有

PB2=PQ2+BQ2,

即

解得

評析此題涉及了代數(shù)、函數(shù)、圓、等腰三角形等諸多知識點(diǎn)，融入了動態(tài)幾何的變與不變的特性.解答這類題型的關(guān)鍵是要注意“動靜結(jié)合、以靜制動”，抓住圓與射線有公共點(diǎn)的過程中2個靜止的瞬間作為突破口，利用圓在運(yùn)動過程中與射線形成的相似三角形關(guān)系求出t的取值.其重要數(shù)學(xué)思想“分類討論”思想貫穿于整個解題過程中.

綜上所述，解決運(yùn)動型試題需要用運(yùn)動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運(yùn)動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系.同時,要善于應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)定理、勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)、圖形的面積關(guān)系等，并利用方程得到函數(shù)關(guān)系式.因此，在中考復(fù)習(xí)中應(yīng)有意識地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生解答動態(tài)型試題的能力.