● (鄞州區(qū)五鄉(xiāng)中學(xué) 浙江寧波 315111)

抽象函數(shù)的對稱性與周期性芻議

●王國云(鄞州區(qū)五鄉(xiāng)中學(xué) 浙江寧波 315111)

抽象函數(shù)的對稱性與周期性一直是數(shù)學(xué)高考考查的一個難點和熱點，也是函數(shù)教學(xué)中一類綜合性比較強的問題．這類問題往往只給出函數(shù)的特征或性質(zhì)，只有通過分析、推理、歸納和類比來研究它，因而它們具有抽象性、綜合性、技巧性等特點．解決這類問題時必須掌握函數(shù)的基礎(chǔ)知識、具有抽象思維能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．本文對抽象函數(shù)的對稱性與周期性的有關(guān)特征進(jìn)行歸納整理，便于從無形到有形對抽象函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)有比較清晰的認(rèn)識，克服抽象恐懼的心理，提高解決抽象函數(shù)問題的能力．

1 抽象函數(shù)的對稱性與周期性的某些重要特征

1．1 抽象函數(shù)的對稱性

1.1.1 有關(guān)軸對稱問題

我們知道，若函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x)?y=f(x)是偶函數(shù)?y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱(假設(shè)定義域為R，下同)，則有下列結(jié)論成立：

結(jié)論1f(a+x)=f(a-x)?y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱；或f(2a+x)=f(-x)?y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱．

1.1.2 有關(guān)中心對稱問題

我們知道，若函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x)?y=f(x)是奇函數(shù)?y=f(x)的圖像關(guān)于點(0，0)對稱，則顯然還有下列結(jié)論結(jié)成立：

結(jié)論3f(a+x)=-f(a-x)?y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱；或f(a+x)+f(a-x)=0?y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱．

結(jié)論6若函數(shù)y=f(x)滿足條件：

f(a+x)=f(a-x)或f(a+x)=-f(a-x)，

且方程f(x)=0有n個根，則此n個根的和為na．

1.2 抽象函數(shù)的周期性

我們知道，若函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)?常數(shù)T是函數(shù)y=f(x)的一個周期，則有下列結(jié)論結(jié)成立：

結(jié)論7f(x+a)=f(x-a)?y=f(x)的周期為2a．

結(jié)論8f(x+a)=f(x-b)?y=f(x)的周期為a+b．

結(jié)論9f(x+a)=-f(x-b)?y=f(x)的周期為2(a+b)．

1.3 雙對稱與周期性的關(guān)系

函數(shù)f(x)還存在如下一些性質(zhì)：

結(jié)論11若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與x=b(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù)．

結(jié)論12若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)與(b,0)(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù)．

結(jié)論13若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a與點(b,0)(a≠b)對稱，則y=f(x)是以T=4(b-a)為周期的周期函數(shù)．

推論1若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的周期T=2a.

推論2若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的周期T=4a．

2 抽象函數(shù)的對稱性與周期性應(yīng)用舉例

例1已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則

( )

A.f(-25)

B.f(80)

C.f(11)

D.f(-25)

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解因為f(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以

f(x-8)=f(x),

即f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則

f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).

又因為f(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)=0,所以

f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1).

而由f(x-4)=-f(x),可得

f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).

又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以

f(1)>f(0)=0,即-f(1)<0,從而

f(-25)

故選D.

例2函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則

( )

A．f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù)

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅰ)

解由f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，可得

f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1).

因此函數(shù)f(x)關(guān)于點(1,0)及點(-1,0)對稱，是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數(shù)，從而

f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，

f(-x+3)=-f(x+3),

即f(x+3)是奇函數(shù).故選D.

例3在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在區(qū)間[1,2]是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)

( )

A.在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,4]上是增函數(shù)

B.在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

C.在區(qū)間[-2,-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

D.在區(qū)間[-2,-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

(2007年天津市數(shù)學(xué)高考試題)

解因為在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=f(2-x)，所以

f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(-x),

即

f(x+2)=f(x)，

于是f(x)是以2為周期的周期函數(shù).由f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，得f(x)在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù);又由偶函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)在區(qū)間[-4,-3]上是增函數(shù)，因而f(x)在區(qū)間[-2,-1]上是增函數(shù).故選B.

例4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有4個不

同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=________.

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1

解因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x-4)=-f(x),所以

f(x-4)=f(-x).

由f(x)為奇函數(shù),得函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱且f(0)=0.又由f(x-4)=-f(x)知

f(x-8)=f(x),

因此f(x)是以8為周期的周期函數(shù).又因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖1所示,方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有4個不同的根x1,x2,x3,x4,不妨設(shè)x1

x1+x2=-12,x3+x4=4，

因此

x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.