● (北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

數(shù)學(xué)解題中的規(guī)定動(dòng)作與自選動(dòng)作

●吳文堯(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

馬克思說過“數(shù)學(xué)是思維的體操”.眾所周知，現(xiàn)在的體操比賽分規(guī)定動(dòng)作的比賽與自選動(dòng)作的比賽，作為思維體操的數(shù)學(xué)，其實(shí)也有規(guī)定動(dòng)作與自選動(dòng)作之分.在高考數(shù)學(xué)試卷中規(guī)定動(dòng)作所占的比例要大一些，而自選動(dòng)作所占的比例相對要小一點(diǎn)，且有時(shí)很難做到嚴(yán)格分類.在高考復(fù)習(xí)中，如何面對規(guī)定動(dòng)作與自選動(dòng)作的問題呢？本文以有關(guān)三次函數(shù)的問題為例，討論應(yīng)對策略，供大家參考．

1 規(guī)定動(dòng)作問題——熟悉解題程序，操作正確規(guī)范

三次函數(shù)問題一直是近幾年高考數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，通常涉及三次函數(shù)的解析式的確定、單調(diào)性問題、函數(shù)圖像的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、函數(shù)中的參數(shù)范圍問題、三次函數(shù)的綜合應(yīng)用問題等．其中除最后2個(gè)問題以外，都應(yīng)屬于規(guī)定動(dòng)作的范疇．對于規(guī)定動(dòng)作問題，通?？捎贸绦蚧姆椒ń鉀Q之.若能熟悉其解題一般程序，則只須按程序規(guī)范操作，即可得到所需的結(jié)論．例如有關(guān)一元三次方程實(shí)根的分布情況問題(即三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題)的解題程序可總結(jié)如下：

圖1

(2009年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題改編)

解由f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)=0,得

x1=1,x2=2.

f(x)=0有且僅有1個(gè)實(shí)根等價(jià)于f(x1)f(x2)>0,即f(1)f(2)>0,因此

解得

例2已知函數(shù)f(x)=x3-3x-m-1的圖像與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

(2009年陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題改編)

解由f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)=0,得

x1=-1,x2=1.

f(x)=0有且僅有3個(gè)實(shí)根等價(jià)于f(x1)f(x2)<0,即f(-1)f(1)<0,因此

(m+3)(m-1)<0,

解得

-3

2 自選動(dòng)作問題——明確問題關(guān)鍵,數(shù)學(xué)思想引路

對于高考試題,“難題”之所以是“難題”，往往有以下2種原因:其一是問題的情景比較陌生，但問題的本質(zhì)比較常規(guī),其實(shí)是經(jīng)過命題者過度“包裝”的“偽難題”，對于這類問題若能剝?nèi)テ溥^度的“包裝”，看到問題的本質(zhì)，還是數(shù)學(xué)中的規(guī)定動(dòng)作，因此不難得到解決；其二是對數(shù)學(xué)能力要求較高的真難題，即所謂數(shù)學(xué)中的自選動(dòng)作，解決這類問題雖然沒規(guī)定的套路，但解決問題的總的指導(dǎo)思想是不會改變的，若能注意運(yùn)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法去分析和解決問題，則往往能找到解決問題的通途．

例3已知函數(shù)f(x)=(1-2a)x3+(9a-4)x2+(5-12a)x+4a(a∈R)在區(qū)間[0,2]上的最大值是2，求a的取值范圍．

(2009年浙江省數(shù)學(xué)調(diào)研試題改編)

分析(1)當(dāng)a的值確定時(shí),f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值也隨之確定.從理論上講,其最大值可以表示成關(guān)于a的函數(shù)h(a),解方程h(a)=2可得到a的值.但這個(gè)想法有以下2個(gè)方面的不足:①求函數(shù)h(a)的解析式是一件很不容易的事,沒有可操作性;②照理可求出a的值,而問題所要的結(jié)論是求a的取值范圍,因此題目中可能還隱藏著其他的“機(jī)關(guān)”.

(2)注意到函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值只可能在邊界點(diǎn)的函數(shù)值及在這個(gè)區(qū)間上的極值點(diǎn)的函數(shù)值中產(chǎn)生,因此必有f(0)≤2,f(2)≤2成立,由此可縮小“包圍圈”．在操作過程中未必要真的求出其最大值，只需在區(qū)間[0，2]上的極值點(diǎn)的函數(shù)值不大于2且可以取到2即可．

解法1(分類討論,逐個(gè)擊破)

因?yàn)閒(x)=(1-2a)x3+(9a-4)x2+(5-12a)x+4a(a∈R)，所以

f′(x)=3(1-2a)x2+2(9a-4)x+(5-12a)=

(x-1)[3(1-2a)x-(5-12a)].

f(1)=-a+2≤2,

f(t)<2等價(jià)于

(5-12a)2(2-3a)<54(1-2a)3,

解得

9a<4.

解法2(大膽猜想,小心論證)

f(1)=-a+2≤2,

分析發(fā)現(xiàn)“暗藏機(jī)關(guān)”:f(2)=2后，問題即化歸為“當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)≤f(2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”.運(yùn)用分離變量法可把問題化歸為求函數(shù)的最值，是求解不等式中參數(shù)范圍最常用的方法之一，因此還可以運(yùn)用分離變量法解決問題.

解法3(分離變量,再求最值)

(x-2)[(-a)(2x2-5x+2)+x2-2x+1]≤0

恒成立,亦即當(dāng)0≤x<2時(shí),

a(x-2)(2x-1)≤x2-2x+1

評注以函數(shù)的思想為指導(dǎo)，運(yùn)用分離變量的方法求解參數(shù)的范圍，顯得思路自然，唯一要擔(dān)心的是實(shí)施分離變量后所得目標(biāo)函數(shù)的最值能否順利求得；注意到x=2是關(guān)于x的方程f(x)=f(2)的解,因此可以預(yù)見關(guān)于x的三次不等式f(x)≤f(2)必可化簡為關(guān)于x的二次不等式(可以消去因式x-2).因而上述擔(dān)心是多余的，用分離變量法還是具有可操作性的.

武術(shù)的最高境界是——無招勝有招，即到達(dá)隨心所欲境界.要達(dá)到這種境界必須要經(jīng)過從“有招”再到“無招”的心路歷程,數(shù)學(xué)解題也是如此.多數(shù)考生很難到達(dá)“無招勝有招”的境界，因此做好數(shù)學(xué)解題中的“規(guī)定動(dòng)作”是高考數(shù)學(xué)取得高分的必要條件．例3確實(shí)已屬高考題中的難題，對能力的要求較高，對于這類有關(guān)“自選動(dòng)作”的問題，在平時(shí)復(fù)習(xí)備考中，還是要以不變應(yīng)萬變，在提高分析問題和解決問題的能力上下功夫.不管問題多么復(fù)雜，最后一般都可以化歸為“規(guī)定動(dòng)作”的問題，所以高考數(shù)學(xué)考的是數(shù)學(xué)的功底．