● (春暉中學(xué) 浙江上虞 312353)

習(xí)題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

●孟方明(春暉中學(xué) 浙江上虞 312353)

新課程標準明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標之一”，“數(shù)學(xué)思維能力在形成理性思維中發(fā)揮著獨特的作用”[1]．2010年浙江省高考考試說明(理科)在數(shù)學(xué)能力考查方面也明確指出：“對數(shù)學(xué)能力的考查，應(yīng)檢測考生個體理性思維的廣度和深度”．可以說，數(shù)學(xué)教學(xué)就是思維的教學(xué),培養(yǎng)思維能力，從根本上就是如何提高學(xué)生的思維品質(zhì)．

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分，習(xí)題教學(xué)對于深化基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)解題技巧、開發(fā)智能結(jié)構(gòu)具有十分重要的作用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要途徑．如何在習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維能力，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個重要課題．筆者結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)勛约旱囊恍┳龇ㄅc體會．

1 注重觀察，培養(yǎng)思維的敏捷性

思維的敏捷性是指思維活動的反應(yīng)速度和熟練程度，它反映了智力的敏銳程度．主要表現(xiàn)為能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程，正確和迅速地得出結(jié)論[2]．實踐表明，解題成功與數(shù)學(xué)觀察密切相關(guān)，觀察是思維的起點，是類比的基礎(chǔ)，是聯(lián)想的羽翼．在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生注重數(shù)學(xué)觀察，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性．

(1)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；

(2)若直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像相切于點(1,0)，求p的值；

(3)若在[1,e]上至少存在一點x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求p的取值范圍．

(2009年浙江省紹興市高三期末調(diào)測試題)

分析(1)，(2)略．

(3)含參存在性(或恒成立)問題的解法一般有2種：第1種是分離變量法，將參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值；第2種是移項構(gòu)造含參的新函數(shù)，通過分類討論求含參函數(shù)的最值.通常首選分離變量法．由f(x)>g(x)，得

若x=1，則p無解；若1

到此，學(xué)生的第一感覺往往是難以直接解出F′(x)>0或F′(x)<0的解集(因為分子是既含對數(shù)函數(shù)，又含冪函數(shù)的超越式)，從而毫不猶豫地進行第2次求導(dǎo).設(shè)

g(x)=x2-x2lnx-lnx-2ex-1，

則

此時,有些學(xué)生已經(jīng)覺察到由x-2e<0，可得g′(x)<0，從而g(x)遞減，于是

g(x)

則F′(x)<0，即F(x)遞減，從而

故

但有些學(xué)生認為g′(x)的形式仍然無法求解,繼續(xù)求導(dǎo)．其實，一階導(dǎo)數(shù)中對g(x)的各項重新搭配，可得

g(x)=x(x-2e)-x2lnx-lnx-1.

這顯然是負值，因此完全可以避免2次甚至3次求導(dǎo)．因而教師在教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在一次求導(dǎo)得到超越式后，不急于2次求導(dǎo)，而是注重觀察，看是否可以通過諸如提取公因式等方法進行化簡，或者是通過項的重新搭配直接得出函數(shù)的取值為恒正(或恒負).若上述觀察不奏效，再進行2次求導(dǎo)．

點評數(shù)學(xué)觀察極大地簡化了解題過程，有效地提高了解題的效率．當然，數(shù)學(xué)觀察不局限于觀察式子的特殊性，還可觀察題設(shè)的對稱性、題斷的隱蔽性等等．

2 一題多解，培養(yǎng)思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動作用范圍的廣泛和全面的程度．它表現(xiàn)為解題思路開闊，能全面地分析問題，多方向、多角度地思考問題[2]．一題多解能有效地幫助學(xué)生夯實“雙基”，是培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的一種有效途徑．

|f(a)-f(b)|<|a-b|．

分析本題的突破口較多，可從去絕對值、有理化、圖像特征等角度加以思考．

證明1不等式兩邊都是絕對值，可考慮通過平方去絕對值符號，實現(xiàn)問題簡化．

原不等式等價于

即

a2+b2-2ab,

化簡得

(1)

若1+ab≤0，則式(1)顯然成立;若1+ab>0，則式(1)等價于

(1+ab)2<(1+a2)(1+b2),

即

(a-b)2>0,

故原不等式成立.

圖1

從而 |f(a)-f(b)|<|a-b|．

易見AB連線的斜率介于2條漸近線之間，從而

|kAB|<1．

點評教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進行分析探究.這不但使相關(guān)的知識得到了梳理和鞏固，同時也培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三、觸類旁通的思維能力．

3 突破常規(guī)，培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性即思維活動的靈活程度，是指能夠根據(jù)客觀條件的發(fā)展與變化，及時地改變先前思維過程或方式，尋求新的思維角度和方向．它表現(xiàn)為思考問題和解決問題時所用方法的新穎、獨特等特征[2]．在習(xí)題教學(xué)中，當學(xué)生遭遇挫折后,教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生對問題的解法進行反思總結(jié)，另辟蹊徑，突破常規(guī)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)其思維的靈活性．

(1)當x=1時，f(x)取到極值，求a的值；

(2)設(shè)不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

(2008年安徽省數(shù)學(xué)高考試題)

分析(1)略．

(2)原不等式等價于

ax2-3x+a+1>x2-x-a+1.

點評一個問題常含有好幾個量，“常量”、“參量”、“變量”的定位往往不是絕對的．定位不同，解題途徑也就不同．打破常規(guī)，正確定位，使解題過程顯得干凈、利落，充滿數(shù)學(xué)美感．

4 質(zhì)疑思辨，培養(yǎng)思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的智力品質(zhì)，反映了思維活動過程中獨立分析和批判的程度．它表現(xiàn)為善于思考，敢于質(zhì)疑，并能及時發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤，自覺調(diào)控思維過程，對問題及問題的自我解法進行評價[2]．實踐表明，在習(xí)題教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑氛圍，鼓勵學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生理性的思維習(xí)慣.

例4已知

求4x+2y的取值范圍．

解式(2)+式(3)，得

0≤2x≤4，

即

0≤4x≤8.

(4)

式(3)×(-1)，得

式(2)+式(5)，得

式(4)+式(6)，得

0≤4x+2y≤12．

教師給出上述解答后，請學(xué)生觀察、判斷、討論，這個解法是否正確？許多學(xué)生只從表面研究上述解法的過程，認為應(yīng)用不等式性質(zhì)處理無懈可擊，怎么會出錯呢？不過,馬上有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當x取到最大值2時，代入式(2)，得-1≤y≤1，與式(6)矛盾，從而0≤4x+2y≤12中的12取不到，即范圍被放大了．

教師追問能否從錯解中獲得啟示，得到問題的正確解法．教師引導(dǎo)學(xué)生自主討論，產(chǎn)生了不少正確的解法．

正解1設(shè)x+y=m，x-y=n，得

1≤m≤3，-1≤n≤1，

則

于是

4x+2y=3m+2n,

從而

2≤4x+2y≤10．

圖2

正解2用線性規(guī)劃的知識加以處理，原不等式表示的平面區(qū)域為如圖2所示的陰影部分.作出目標函數(shù)t=4x+2y，易知過點(0,1)時,tmin=2;過點(2,1)時,tmax=10，從而2≤4x+2y≤10．此時也進一步明晰了錯解中得到的0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面區(qū)域是包含陰影的正方形，范圍被擴大了[3]．

點評教師有意地設(shè)置錯解，讓學(xué)生辨別真?zhèn)?，尋找錯誤根源，質(zhì)疑思辨，并以此探索問題的正解，使思維的批判性得到了一次有效的訓(xùn)練．

5 變換命題，培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性指思維活動的抽象程度和邏輯水平，反映了思維活動的廣度和深度．它表現(xiàn)為能洞察對象本質(zhì)以及揭示對象間的相互關(guān)系，能夠抓住問題的本質(zhì)和規(guī)律，對問題進行深入細致地分析和推廣[2]．在習(xí)題教學(xué)中，通過改編命題、一題多變能讓學(xué)生加深對題目的理解和把握，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性．

教師將問題變換成一個探究性、開放性命題：

解假設(shè)存在點P，則

(a+ex)2+(a-ex)2=4c2，

得

2e2x2=4c2-2a2≥0，

在這里，教師改編命題，創(chuàng)設(shè)新境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．教師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生抓住|PF1|,|PF2|，|F1F2|之間的關(guān)系進行拓廣．思考如下變題：

點評在習(xí)題教學(xué)中，教師不拘泥于就題論題，而是適時對典型例題進行有效的改造變換、挖掘延伸，從而使問題層層深入，思維不斷深化．

數(shù)學(xué)是思維的體操，習(xí)題教學(xué)是培養(yǎng)思維品質(zhì)的良好場所．在平時的習(xí)題教學(xué)中，教師應(yīng)側(cè)重揭示方法的探索和選擇，暴露其思維過程，經(jīng)歷體驗感悟.習(xí)題的選擇要在運用知識的廣度、思維訓(xùn)練的強度、發(fā)展智能的效度等方面作全面考慮，充分發(fā)揮習(xí)題的價值，不斷提升學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)．

[1] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[2] 任樟輝．數(shù)學(xué)思維論[M]．南寧：廣西教育出版社，1996．

[3] 徐潤權(quán)．質(zhì)疑思辨 培養(yǎng)理性思維[J]．數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009(5)：22-23．

[4] 馬燦宏．培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2005(1)：8-9．