● (富陽(yáng)中學(xué) 浙江富陽(yáng) 311400)

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的題型設(shè)計(jì)

●何文明(富陽(yáng)中學(xué) 浙江富陽(yáng) 311400)

1 數(shù)學(xué)試卷中的題型

在1978年恢復(fù)高考開(kāi)始的5年里，數(shù)學(xué)試卷只有解答題(包括證明題和作圖題).1981年和1982年都出現(xiàn)了填表題，1983年出現(xiàn)了5道選擇題.1984年起，除選擇題外，出現(xiàn)了只要求寫(xiě)結(jié)果的題型，實(shí)質(zhì)即為填空題(直到1989年才正式命名為填空題)．其后二十多年來(lái)，這3種題型一直是高考數(shù)學(xué)試卷的命題形式，只是題量發(fā)生了變化．

從2001年起大規(guī)模的自主命題開(kāi)始，高考卷變得豐富多彩，但題型始終沒(méi)有跳出選擇題、填空題、解答題(簡(jiǎn)稱“3種題型”，下同)的圈子．縱觀各地會(huì)考、階段考試等，也幾乎都采用了這3種題型，各種教輔也不例外．

從應(yīng)試的角度而言，考試必須便于實(shí)施和評(píng)判，具備一定的區(qū)分度以體現(xiàn)選拔功能．3種經(jīng)典題型歷經(jīng)多年，漸趨穩(wěn)定的現(xiàn)狀說(shuō)明它們既適合選拔的要求，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)．首先，數(shù)學(xué)題答案與思路通常具有確定性，單選題與填空題容易命制，也能夠檢驗(yàn)考生的知識(shí)、思維和能力，并且便于評(píng)卷量分；其次，問(wèn)題作為數(shù)學(xué)的心臟，它的解決永遠(yuǎn)不是僅憑直覺(jué)，總是可以過(guò)程化、具體化、精確化，因此解答題是最具原生態(tài)的數(shù)學(xué)題，最容易考查考生的實(shí)際水平，雖然存在一題多解，但解法大多有限，仍便于按步給分．

在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，是否也應(yīng)該嚴(yán)格按照這3種題型進(jìn)行呢？

2 數(shù)學(xué)教學(xué)中的題型

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)的再組織、再創(chuàng)造.對(duì)學(xué)生而言，則是新知識(shí)體系的建構(gòu)過(guò)程．從這個(gè)角度而言，新課標(biāo)課本以問(wèn)題為線索，以問(wèn)題的解決為主要形式，其模式已經(jīng)超脫于單純的解答題范疇，成為廣義的題型．而教師通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分解、重組、復(fù)述、引申及鋪設(shè)臺(tái)階，將其轉(zhuǎn)化為易于操作的一個(gè)個(gè)子問(wèn)題，每一步幾乎都是具體的解答題，這就在課堂中再現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的虛擬情境．

知識(shí)的鞏固、應(yīng)用則基本依賴?yán)}和練習(xí)，課本的例題也幾乎都以解答題形式展現(xiàn)，課后習(xí)題則多以問(wèn)答題、解答題、實(shí)踐題形式出現(xiàn)．在實(shí)際操作中，教師往往針對(duì)概念的理解、知識(shí)的澄清、公式的熟悉，設(shè)置更多的即興訓(xùn)練或變式練習(xí)，但題型一般都不外乎3種題型．這是數(shù)學(xué)概念課型的常規(guī)處理，原本無(wú)可厚非，但是課堂中的題型設(shè)置是否一定要與試題相匹配呢？在基本題型之外，是否可能有更適合的題型，以展示知識(shí)特點(diǎn)、暴露學(xué)生疑問(wèn)、分散教學(xué)難點(diǎn)？鑒于此，筆者產(chǎn)生了如下一些設(shè)想．

2.1 設(shè)計(jì)判斷題，暴露理解誤區(qū)

在必修1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)這節(jié)課中，由于函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理的條件“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0”是結(jié)論“f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)”的充分不必要條件，其逆命題、否命題均不成立，定理對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定也不支持，這都是學(xué)生易誤解誤用之處．因此在定理獲得之后，可以設(shè)計(jì)如下判斷題：

例1判斷下列結(jié)論是否正確，若不正確，請(qǐng)使用函數(shù)圖像舉出反例：

(1)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．

(×)

(2)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)≥0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．

(×)

(3)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)．

(×)

上述判斷題的解答，讓學(xué)生有了及時(shí)直面誤解的機(jī)會(huì)，通過(guò)反例，從側(cè)面、反面更深入地理解了定理的條件、結(jié)論及適用范圍．若設(shè)置成單選題，將定理本身作為唯一的正確選項(xiàng)，學(xué)生在選出正確答案后，容易安于現(xiàn)狀，未必愿意深究，因此從認(rèn)知沖突而言，判斷題可能更有效．

2.2 設(shè)計(jì)連線題，梳理知識(shí)關(guān)聯(lián)

在選修2-1或1-1常用邏輯用語(yǔ)中關(guān)于命題的否定形式，可以設(shè)計(jì)如下的連線題：

例2將下列左右2側(cè)互為否定的語(yǔ)句用線段連結(jié)：

連線題實(shí)質(zhì)上是多題干對(duì)統(tǒng)一題支的選擇題，但形式簡(jiǎn)潔，起到了濃縮的作用.一道連線題可以達(dá)到多道選擇題的功效．相對(duì)而言，連線題的解答具有更廣的思維開(kāi)放性，要求嚴(yán)格界定概念間的關(guān)系與區(qū)別，容易檢驗(yàn)出概念理解的透徹程度．

2.3 設(shè)計(jì)糾錯(cuò)題，杜絕解題失誤

在必修3基本算法語(yǔ)句一課中，學(xué)生首次接觸編程語(yǔ)言，缺乏感性認(rèn)識(shí)，對(duì)其“錙銖必較”的特點(diǎn)不甚明了，很容易出現(xiàn)隨意現(xiàn)象．為此，教師現(xiàn)場(chǎng)演示了一些程序出錯(cuò)的例子之后，可以設(shè)計(jì)如下的改錯(cuò)題：

例3下列語(yǔ)句在輸入或執(zhí)行時(shí)都被提示出錯(cuò)，請(qǐng)糾正：

(1)A=B=50; (2)x=1，y=2，z=3;

(3)INPUTx=3; (4)PRINTA+B=C;

糾錯(cuò)題是判斷題的延伸，常搭配使用.但對(duì)學(xué)生的要求更明確，凡是涉及正誤判別，或容易發(fā)生主觀失誤的內(nèi)容，都可以編制，使用尤為廣泛．

2.4 設(shè)計(jì)多選題，防止思維漏洞

圖1

在必修5立體幾何初步學(xué)習(xí)之后，鑒于判定定理和性質(zhì)定理較多，可以設(shè)計(jì)如下不定項(xiàng)選擇題，起到復(fù)習(xí)整理的作用：

例4如圖1所示，給定下列關(guān)系，請(qǐng)選擇其中盡可能少的作為條件，證明所給的各個(gè)結(jié)論：

①α∥β；②a∥β；③c∥β；④α⊥γ；⑤β⊥γ；⑥l⊥α；⑦l⊥β；⑧l(xiāng)⊥a；⑨l⊥c；⑩a?α；b?β；c?α；α∩γ=a；β∩γ=b．

(1)要證明α∥β，可以選擇條件________；

(2)要證明c∥β，可以選擇條件________；

(3)要證明a∥b，可以選擇條件________；

(4)要證明α⊥γ，可以選擇條件________；

(5)要證明l⊥α，可以選擇條件________；

(6)要證明l⊥c，可以選擇條件________．

通過(guò)一道多選題，簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)了多種定理，有利于形成對(duì)比，也強(qiáng)調(diào)了a?α，c?α等條件的重要性，防止思維漏洞．這樣的知識(shí)整理，得力于多選題本身的開(kāi)放性，比單純的羅列、實(shí)際的舉例所激發(fā)的思維強(qiáng)度大，并且有效．

2.5 設(shè)計(jì)例舉題，鼓勵(lì)發(fā)散思維

函數(shù)的綜合應(yīng)用中抽象函數(shù)是一類無(wú)法回避的問(wèn)題，為使之具體化，需要學(xué)生儲(chǔ)備一定的圖像知識(shí)，培養(yǎng)聯(lián)想、創(chuàng)造能力．

例5分別用圖像列舉出滿足下面各組條件的函數(shù)：

(1)在[0，+∞)上單調(diào)遞增的偶函數(shù)；

(2)圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在[0，1]和[2，+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)；

(3)圖像連續(xù)，滿足f(0)·f(4)<0且在(0，4)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)；

(4)滿足f(0)·f(4)<0但在(0，4)內(nèi)不存在零點(diǎn)的函數(shù)；

(5)開(kāi)口向上，有一正一負(fù)2個(gè)零點(diǎn)的二次函數(shù)；

(6)開(kāi)口向上，在區(qū)間[1，2]上恰有1個(gè)零點(diǎn)的二次函數(shù)；

(7)開(kāi)口向下，在區(qū)間[1，2]上恒大于0的二次函數(shù)；

(8)開(kāi)口向上，在區(qū)間[1，2]上恒大于0的二次函數(shù)；

(9)開(kāi)口向下，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增的二次函數(shù)；

(10)開(kāi)口向上，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增的二次函數(shù)．

本例通過(guò)學(xué)生板書(shū)、評(píng)議、補(bǔ)充，用直白的題意讓學(xué)生的思維得到發(fā)散的機(jī)會(huì)，既能促進(jìn)對(duì)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)、二分法等的感性認(rèn)識(shí)，又為解決抽象函數(shù)問(wèn)題、二次函數(shù)含參問(wèn)題打下基礎(chǔ)，防止這些題目的隱性條件造成的思維阻隔，讓學(xué)生在輕松環(huán)境下培養(yǎng)“以形促數(shù)”的思維習(xí)慣．

2.6 設(shè)計(jì)辯論題，引發(fā)深入討論

在選修2-3排列組合中，平均分配問(wèn)題是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，與其教師苦口婆心地教導(dǎo)，不如將2種觀點(diǎn)正面擺出，讓學(xué)生議一議．

例6將a，b，c，d，e，f這6本書(shū)平均分給甲、乙、丙3個(gè)人，有多少種不同的分法？

像這樣的問(wèn)題組織形式，將認(rèn)知沖突擺在學(xué)生面前，即使無(wú)法真的形成激烈的辯論，也至少可以引起學(xué)生的興趣、加深學(xué)生的印象．教師視學(xué)生情況，完全可以改變數(shù)字的大小，降低難度．討論之后，適時(shí)變式為不平均分配及部分平均分配，擴(kuò)大勝利果實(shí)．

2.7 編寫(xiě)應(yīng)用題，實(shí)踐“學(xué)以致用”

“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”和“養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的習(xí)慣”是新課標(biāo)的理念．能夠正確分析題意、建立模型、解數(shù)學(xué)模型、闡釋所得結(jié)果的實(shí)際意義，這就是實(shí)際應(yīng)用能力．但將一個(gè)具體的問(wèn)題通過(guò)簡(jiǎn)潔而嚴(yán)密的語(yǔ)言整理成一個(gè)應(yīng)用題，則是更高的要求，也才真正能夠體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)”．

受時(shí)間、設(shè)備的限制，當(dāng)前高中的數(shù)學(xué)教學(xué)依然沒(méi)有太多機(jī)會(huì)走出課堂，廣泛實(shí)踐．研究性課題的開(kāi)展畢竟在時(shí)間和參與面上都有較大的限制，不能把“用數(shù)學(xué)”和錘煉數(shù)學(xué)語(yǔ)言完全寄希望于偶爾的實(shí)踐，而忽視了課堂這個(gè)主要的學(xué)習(xí)場(chǎng)所．那么在課堂這樣一個(gè)“紙上談兵”式的環(huán)境中，怎樣才能營(yíng)造真實(shí)、自然的情境，實(shí)現(xiàn)“運(yùn)籌帷幄，決勝千里”？我們作了如下嘗試：

準(zhǔn)備一只暗箱，其中放置3只白色乒乓球，2只黃色乒乓球，請(qǐng)2名同學(xué)按規(guī)定次序輪流取球，每次取1只，且不放回，第1個(gè)摸到黃球者勝．決出勝負(fù)之后將球放回，開(kāi)始新的一輪．在黑板上記錄2人累計(jì)獲勝的次數(shù),一共進(jìn)行100次.最終結(jié)果顯示，先摸的同學(xué)勝出的次數(shù)為61次，請(qǐng)同學(xué)們將此游戲整理成文字，并編寫(xiě)一道涉及分布列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．

規(guī)則的描述：暗箱中有3只白球和2只黃球，2種球只有顏色的差別．甲、乙兩人依次輪流摸球，每次一只，且不放回，直到摸出黃球?yàn)橹梗状蚊鳇S球的為勝方．

問(wèn)題1設(shè)ξ為摸球的次數(shù)，求ξ的分布列．

因此ξ的分布列如表1所示.

表1 ξ的分布列

問(wèn)題2甲與乙誰(shuí)獲勝的概率更大？

問(wèn)題3摸球次數(shù)平均為幾次時(shí)能決出勝負(fù)？

解ξ的期望為

即摸球次數(shù)的平均值為2次．

問(wèn)題4一般地，若有n只白球，m只黃球(n，m∈N*)，求P(ξ=k)(k∈N*，且k≤n+1)．

在這個(gè)案例中，學(xué)生體驗(yàn)了從發(fā)現(xiàn)問(wèn)題到表述問(wèn)題、設(shè)計(jì)問(wèn)題到最終解決問(wèn)題的完整過(guò)程，充分運(yùn)用了概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)．

以上7種題型的設(shè)置，總的目的，一是用新穎的方式，從正面、反面、側(cè)面等多角度展示知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生有一個(gè)多方位的理解，可以更通透、更清晰；二是及時(shí)暴露學(xué)生的理解誤區(qū)，防患于未然，將易錯(cuò)點(diǎn)直觀呈現(xiàn)，引發(fā)討論，加深印象；三是促進(jìn)課堂的開(kāi)放性，鼓勵(lì)學(xué)生思考、質(zhì)疑甚至爭(zhēng)論，引起認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲，激活有效思考．

3 題型設(shè)計(jì)的再思考

3.1 3種基本題型是主體，其他題型為補(bǔ)充

3種題型經(jīng)過(guò)時(shí)間和中外文化的考驗(yàn)，事實(shí)證明了它們的地位．它們能夠很好地呈現(xiàn)大部分教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)也可以取代上述某些題型，且與試題、教輔相一致，容易編寫(xiě)或者選取，上述題型只是適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充．

3.2 其他題型的編纂使用，要注意幾個(gè)方面

3.2.1 條件充分，科學(xué)嚴(yán)密

題目?jī)?nèi)容的正確性永遠(yuǎn)是第一位的，所編題目要經(jīng)得起推敲，不能有知識(shí)性的錯(cuò)誤．即使是開(kāi)放性的問(wèn)題，其切口也要把握牢，讓學(xué)生易懂、易操作，不超出學(xué)生的能力范圍，不設(shè)計(jì)偏題、怪題．

3.2.2 言簡(jiǎn)意賅，形式優(yōu)美

在內(nèi)容正確、表述完整、要求明確的前提下，應(yīng)力求用語(yǔ)的簡(jiǎn)練、形式的美觀，讓學(xué)生容易看懂，增強(qiáng)解題興趣，方便摘抄．

3.2.3 合理選擇，不走過(guò)場(chǎng)

在等效情況下，還是盡可能選擇3種最熟悉的題型，便于學(xué)生入手．判斷題、多選題、連線題常?？梢愿某蓡芜x題，糾錯(cuò)題、例舉題、辯論題也可以轉(zhuǎn)換成解答題，一切以服務(wù)教學(xué)、服務(wù)學(xué)生為宗旨．例舉題、辯論題在課堂使用中的時(shí)間掌控、師生配合上難度較大.若采用了一言堂的處理方法，就無(wú)法收到應(yīng)有的效果，因此要因地制宜，視學(xué)生水平和課時(shí)數(shù)而定,謹(jǐn)慎選用．

3.3 開(kāi)創(chuàng)發(fā)掘更多題型

除上述7種題型外，還可以編寫(xiě)列表題、補(bǔ)圖題、多解題、模仿改編題等等．讓我們一同努力，豐富課例形式，提高例題與練習(xí)的效果．

[1] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]．西安:陜西師范大學(xué)出版社，2001.

[2] 孔德宏，馬紹文．美國(guó)ACT大學(xué)入學(xué)考試數(shù)學(xué)部分介紹及樣題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2006(5):1-6.

[3] 謝紹義．略論數(shù)學(xué)糾錯(cuò)的教學(xué)原則[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2003(10):17-18.

[4] 黃麗生，孫中會(huì)．高考《算法初步》的命題趨向與教學(xué)建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2008(7):12-17.