陳志敏，梁 霞

(曲阜師范大學(xué)管理學(xué)院，山東日照 276826)

1 引言

多屬性決策的實(shí)質(zhì)是在多個(gè)候選方案中，選擇一個(gè)最滿足一組評價(jià)指標(biāo)的方案.在現(xiàn)實(shí)生活中，決策者往往不能提供對決策方案的精確偏好信息，而存在一定的猶豫度或表現(xiàn)出一定程度的知識的缺乏，Atanassov在1983年提出的模糊集［1－2］，可以更細(xì)膩的刻畫客觀事物的模糊性本質(zhì)，利用它所增加的非隸屬度函數(shù)，可以同時(shí)表示出決策者支持和反對的程度，在處理模糊性和不確定性方面更具靈活性和實(shí)用性.因此，研究直覺模糊環(huán)境下的多屬性決策問題在理論和實(shí)際應(yīng)用中都有重要意義.

關(guān)于直覺模糊信息的集結(jié)，徐澤水和Yager提出了直覺模糊加權(quán)幾何(IFWG)算子［3］和直覺模糊有序加權(quán)幾何(IFOWG)算子.2007年徐澤水又把OWA算子拓展到直覺模糊集上，提出了直覺模糊加權(quán)平均(IFWA)算子［4］，直覺模糊有序加權(quán)平均(IFOWA)算子［4］和直覺模糊混合平均(IFHA)算子［4］，并給出了基于這些直覺模糊信息集結(jié)算子的決策方法。利用直覺模糊集結(jié)算子進(jìn)行信息集結(jié)時(shí)，屬性間是公平的，是完全可以補(bǔ)償?shù)?，而?shí)際決策問題中常常存在屬性間不容易補(bǔ)償?shù)那闆r.例如，航空公司在燃料的耗費(fèi)和飛行安全之間做決定時(shí)，顯然不能用節(jié)省燃料的費(fèi)用來彌補(bǔ)飛行的安全上的缺失，安全性的優(yōu)先權(quán)大于燃料費(fèi)用的優(yōu)先權(quán).針對這類屬性間不容易補(bǔ)償?shù)那闆r，2004年Yager研究了屬性間具有優(yōu)先級別關(guān)系的多屬性決策問題［5］，指出具有較低優(yōu)先權(quán)的屬性的重要性應(yīng)建立在方案對較高優(yōu)先權(quán)的屬性的滿足程度的基礎(chǔ)上.2008年，Yager給出了四種屬性間具有優(yōu)先級別關(guān)系的集結(jié)算子［6］，即PS (prioritized scoring)算子，PA(prioritized averaging)算子，PRI－AND算子，PRI－OR算子.2009年，Yager提出了POWA(prioritized ordered weighted averaging)算子［7］.本文針對屬性值為直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題，在IFOWA算子的基礎(chǔ)上，將POWA算子拓展到直覺模糊集的情形，提出屬性間具有優(yōu)先級別關(guān)系的直覺模糊有序加權(quán)平均(PIFOWA)算子，最后給出了實(shí)例分析.

2 直覺模糊集與IFOWA算子

定義1［1－2］設(shè)X是一個(gè)非空集合，則稱A={〈x，μA(x)，vA(x)〉|x∈X}為直覺模糊集，其中μA(x)和vA(x)分別為X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，即

且滿足條件:0≤μA(x)+vA(x)≤1，x∈X.此外，πA(x)=1－μA(x)－vA(x)，x∈X表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度.

定義2［3］稱α=(μα，vα)為直覺模糊數(shù)，其中μα∈［0，1］，vα∈［0，1］，μα+vα≤1.且設(shè)Θ為全體直覺模糊數(shù)的集合，顯然，α+=(1，0)為最大的直覺模糊數(shù)，α－=(0，1)為最小的直覺模糊數(shù).

定義3［3］直覺模糊數(shù)的運(yùn)算法則:

對任一直覺模糊數(shù)α=(μα，vα)，Chen和Tan［8］定義其得分函數(shù)s(α)=μα－vα，s(α)∈［－1，1］.Hong和Choi［9］定義其精確函數(shù)為h(α)=μα+vα，h(α)∈［0，1］.為了比較兩個(gè)直覺模糊數(shù)的大小，基于以上兩個(gè)函數(shù)，徐澤水［4］在2006年提出了比較兩個(gè)直覺模糊數(shù)大小的方法.

定義4［3］設(shè)α1=(μα1，vα1)，α2=(μα2，vα2)為直覺模糊數(shù)，s(α1)=μα1－vα1和s(α2)=μα2－vα2分別為α1和α2的得分值，h(α1)=μα1+vα1和h(α2)=μα2+vα2分別為α1和α2的精確度，則

若s(α1)＜s(α2)，則α1小于α2，記為α1＜α2;

若s(α1)=s(α2)，則

1)若h(α1)=h(α2)，則α1和α2相等，即μα1=μα2，vα1=vα2，記為α1=α2;

2)若h(α1)＜h(α2)，則α1小于α2，記為α1＜α2;

3)若h(α1)＞h(α2)，則α1大于α2，記為α1＞α2.

定義5［4］設(shè)αj=(μaj，vaj)(j=1，2，…，n)為一組直覺模糊數(shù)，直覺模糊有序加權(quán)平均(IFOWA)算子是一個(gè)映射:IFOWA:Θn→Θ:

3 PIFOWA算子

對于某一多屬性決策問題，設(shè)屬性集C={c1，c2，…，cn}，屬性權(quán)重未知且屬性間具有優(yōu)先級別關(guān)系c1＞c2＞…＞cn，即當(dāng)i＜k時(shí)，有ci的優(yōu)先權(quán)大于ck的優(yōu)先權(quán)，設(shè)方案x在屬性cj下的屬性值cj(x)為一組直覺模糊數(shù)cj(x)=αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n).

定義6 設(shè){α1，α2，…，αn}為一組直覺模糊數(shù)，則屬性間具有優(yōu)先級別的直覺模糊OWA(PIFOWA)算子是一個(gè)映射:PIFOWA:Θn→Θ，使得

其中αind(j)為(α1，α2，…，αn)中第j大的元素，w=(w1，w2，…，wn)T是與PIFOWA算子相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，滿足

下面我們給出與PIFOWA算子相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量的具體求法:

3)應(yīng)用確定OWA算子權(quán)重的BUM函數(shù)來確定PIFOWA算子的權(quán)重w=(w1，w2，…，wn)T.設(shè)αind(k)為屬性值(α1，α2，…，αn)中第k大的元素，rind(k)為αind(k)對應(yīng)的屬性權(quán)重，令R0=0，Rj=kΣ=

j1rind(k)，j =1，2，…，n，則:

其中f:［0，1］→［0，1］是一個(gè)BUM函數(shù).

4)若IFOWA算子權(quán)重w=(w1，w2，…，wn)T已知，此權(quán)重向量只對集結(jié)屬性值的位置加權(quán)，并沒有考慮屬性間的優(yōu)先級別關(guān)系，為使集結(jié)更合理，我們用Torra給出的方法對該權(quán)重向量進(jìn)行了修正.

Torra(1997)［10］、Torra和Narukawa(2007)［11］給出了一個(gè)分段線性函數(shù)，令:

則修正后的權(quán)重為:

然后再利用PIFOWA算子進(jìn)行集結(jié):

PIFOWA算子具有的性質(zhì)有:

性質(zhì)1 設(shè)αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n)為一組直覺模糊數(shù)，若所有直覺模糊數(shù)αj(j=1，2，…，n)是相等的，即αj=α(j=1，2，…，3)，則:

性質(zhì)2 設(shè)αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n)為一組直覺模糊數(shù)，且α－=(mjin{μαj}，mjin{vαj})，α+= (mjin{μαj}，mjin {vαj})，則:

例3.1 設(shè)屬性集為c={c1，c2，c3，c4}，屬性間有優(yōu)先關(guān)系:c1＞c2＞c3＞c4，方案x在各屬性下的屬性值為直覺模糊數(shù):α1=(0.5，0.3)，α2=(0.1，0.4)，α3=(0.8，0.1)，α4=(0.3，0.4).

先求與PIFOWA算子相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，根據(jù)步驟1)可得:

取β=0.5，根據(jù)步驟2)得由優(yōu)先關(guān)系確定的屬性權(quán)重向量r=(r1，r2，r3，r4)T，其中

由此可得歸一化的屬性權(quán)重

r1=0.4892;r2=0.2935;r3=0.1150;r4=0.1023.

由得分函數(shù)得:s(α1)=0.3，s(α2)=－0.3，s(α3)=0.7，s(α4)=－0.1，由此可得:α3＞α1＞α4＞α2.因此，ind(1)=3，ind(2)=1，ind(3)=4，ind(4)=2;αind(1)=(0.8，0.1)，αind(2)=(0.5，0.3)，αind(3)=(0.3，0.4)，αind(4)=(0.1，0.4);rind(1)=0.115，rind(2)=0.7892，rind(3)=0.1023，rind(4)=0.2935.

取BUM函數(shù)為f(x)=x2，由R0=0，R1=rind(1)=0.115，R2=rind(1)+rind(2)=0.6042，R3=rind(1)+ rind(2)+rind(3)=0.7065，R4=rind(1)+rind(2)+rind(3)+rind(4)=1及公式(1)得與PIFOWA算子相關(guān)聯(lián)的權(quán)重:w1=0.0132，w2=0.3519，w3=0.1342，w4=0.5009.

故方案x的綜合屬性值為:

若已知IFOWA算子的權(quán)重為w=(0.155，0.345，0.345，0.155)T，利用(2)式得分段函數(shù):

由R0=0，R1=0.2642，R2=0.6645，R3=0.6805，R4=1得:

由公式(3)式得修正后的權(quán)重為:w1=0.1746，w2=0.5524，w3=0.0221，w4=0.2509.

故方案x的綜合屬性值為:

4 基于PIFOWA算子的直覺模糊多屬性決策方法

研究的直覺模糊多屬性決策問題描述為:設(shè)屬性集C={c1，c2，…，cn}，屬性權(quán)重未知且屬性間具有優(yōu)先級別關(guān)系c1＞c2＞…＞cn，即當(dāng)i＜k時(shí)，有ci的優(yōu)先權(quán)大于ck的優(yōu)先權(quán)，設(shè)方案x在屬性cj下的屬性值cj(x)為一組直覺模糊數(shù)cj(x)=αj=(μαj，vαj)(j=1，2，…，n).

基于PIFOWA算子的直覺模糊多屬性決策方法與步驟可歸納如下:

第一步:結(jié)合所給的數(shù)據(jù)信息，根據(jù)實(shí)際情況預(yù)先選定參數(shù)β，根據(jù)第3節(jié)中的步驟1)、2)、3)，計(jì)算與集結(jié)算子PIFOWA相關(guān)的權(quán)重向量w.若PIFOWA算子權(quán)重已知，則利用步驟4)進(jìn)行修正.

第二步:根據(jù)PIFOWA算子定義計(jì)算方案xi(i=1，2，…，n)的綜合評價(jià)值c(xi)(i=1，2，…，n)，得到的綜合評價(jià)值仍為一個(gè)直覺模糊數(shù).

第三步:利用得分函數(shù)計(jì)算方案xi(i=1，2，3，…，n)的綜合評價(jià)值的得分值s(xi)，對方案xi(i=1，2，3，…，n)進(jìn)行排序并擇優(yōu)(如果有兩個(gè)方案xi和xj的得分值相等，即s(xi)=s(xj)，則需要根據(jù)精確函數(shù)計(jì)算其精確度h(xi)和h(xj)，然后利用h(xi)和h(xj)對方案xi和xj進(jìn)行排序).

5 結(jié)論

本文解決了在直覺模糊環(huán)境下，屬性間有優(yōu)先關(guān)系的多屬性決策問題.給出了PIFOWA算子的定義，并給出了確定該算子權(quán)重的方法，在計(jì)算屬性權(quán)重rj時(shí)可發(fā)現(xiàn)r1≥r2≥…≥rn，符合屬性間的優(yōu)先級別關(guān)系.利用該算子集結(jié)直覺模糊數(shù)的基本思想是:具有較低優(yōu)先級別的屬性其權(quán)重由方案在較高優(yōu)先級別屬性下的屬性值來確定，這樣可使方案的集結(jié)結(jié)果充分考慮屬性間的優(yōu)先級別關(guān)系，使集結(jié)結(jié)果更合理.

［1］Atanassov K T.Intuitionistic fuzzy sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20:87－96.

［2］Atanassov.K.Intuitionistic fuzzy sets:theory and applications［M］.Heidelberg:Physica－VerLag，1999.

［3］Xu Z S，Yager R R.Some geometric aggregation operators based on intuitionistic fuzzy sets［J］.International Journal of General Systems，2006，35:417－433.

［4］Xu Z S.Intuitionistic fuzzy aggregation operators［J］.IEEE Transaction on Fuzzy Systems，2007，15:1179－1187.

［5］Yager R.R.Modeling prioritizedmulticriteria decisionmaking［J］.IEEE Transactionson Systems，Man，and Cybernetics－Part B:Cybernetics，2004，34(6)，2396－2404.

［6］Yager R.R.Prioritized aggregation operators［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2008，48(1):263－274.

［7］Yager R.R.Prioritized OWA aggregation［J］.Fuzzy Optimal Decision Making，2009，8(3):245－262.

［8］Chen SM，Tan JM.Handling multicriteria fuzzy decision－making problems based on vague set theory［J］.Fuzzy Sets and Systems，1994，67:163－172.

［9］Hong D H，Choi C H.Multicriteria fuzzy decision－making problems based on vague set theory［J］.Fuzzy Sets and Systems，2000，114:103－113.

［10］Torra V.The weighted OWA operator［J］.International Journal of Intelligent Systems，1997，12，153－166.

［11］Torra V.，Narukawa Y.Modeling decisions:Information fusion and aggregation operators［M］.Berlin:Springer，2007.