王其申，汪 楊，何 敏，錢(qián)華峰，劉全金

(1.安慶師范學(xué)院 物理與電氣工程學(xué)院，安徽 安慶 246011;2.安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246011)

1 圓膜軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)方程及其離散模型

考察質(zhì)量軸對(duì)稱(chēng)分布的圓膜，其面密度只與半徑r有關(guān)，即ρ=ρ(r)。這時(shí)圓膜振動(dòng)方程成為:

這里y=y(r，θ，t)是膜的橫向位移函數(shù)。考察最一般的軸對(duì)稱(chēng)邊界條件:

其中:T與σ是正常數(shù)。對(duì)于這類(lèi)軸對(duì)稱(chēng)膜的軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)，膜的位移僅與徑向坐標(biāo)有關(guān)，y=y(r，t)。把方程(1)分離變數(shù):y=u(r)ejωt，相應(yīng)的徑向方程成為:

這里ω是系統(tǒng)固有振動(dòng)的圓頻率。

一般而言，方程(3)已不是Bessel方程，但它顯然仍為斯圖膜-劉維爾型方程。上述方程在由式(2)經(jīng)分離變量所得的邊界條件:下，構(gòu)成了較為特殊的一類(lèi)斯圖膜-劉維爾方程的本征值問(wèn)題［1］。按照斯圖膜-劉維爾方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，這里的p(r)=rT，它在區(qū)間［0，a］的端點(diǎn)r=0處取零值，因而屬于奇異本征值問(wèn)題。相應(yīng)地應(yīng)有u(0)有界。由于這里僅考慮軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)，進(jìn)一步應(yīng)有:

顯然，對(duì)于一般的密度函數(shù)ρ=ρ(r)，特征值問(wèn)題方程(3)～(5)沒(méi)有精確解。為了尋求它的近似解，我們首先建立與方程(3)～(5)相應(yīng)的差分離散系統(tǒng)。

圖1 軸對(duì)稱(chēng)膜的差分格式Fig.1 The difference scheme of the axisymmetric circular membrane

引入差分點(diǎn)0=r0＜r1＜…＜rn=a并記lr=rs-rs-1(s=1，…，n)，這相當(dāng)于把圓r≤a劃分成一個(gè)一個(gè)的圓環(huán)，如圖1所示。記fs、f's與f″s為相應(yīng)函數(shù)在差分點(diǎn)rs(s=0，…，n)處的值，那么利用函數(shù)的精確到二階小量的泰勒公式:

在略去高階小量后，不難解出如下的二階中心差分公式:

記us=u(rs)(s=0，…，n)。對(duì)于s=1，…，n-1 的內(nèi)點(diǎn)，將上面的二階中心差分公式(7)代入式(3b)有:

對(duì)s=n的端點(diǎn)處，直接利用泰勒展式(6)和邊界條件式(4)得到:

以此連同泰勒展式(6)和邊界條件(5)代入方程(3b)可得:

若引入變換:

則上述離散后的方程成為:

這里:

代表邊界力。可以看到，一般情況下這樣導(dǎo)出的方程組并不是彈簧—質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程組.不過(guò)，所得系統(tǒng)仍然屬于文獻(xiàn)［4］中所定義的標(biāo)準(zhǔn)雅可比(Jacobi)系統(tǒng)。特別的，對(duì)于等步長(zhǎng)的差分離散系統(tǒng)，l1=l2=…=ln=a/n，系數(shù)組(11a)簡(jiǎn)化為:

系統(tǒng)歸于彈簧-質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。

2 圓膜離散模型的振動(dòng)定性性質(zhì)

鑒于上述差分離散模型屬于雅可比系統(tǒng)，若記方程組(12)左邊的系數(shù)矩陣為A，則用歸納法不難證明，當(dāng)圓膜周邊固定時(shí)，det A=b1b2…bn，而當(dāng)圓膜周邊彈性支承時(shí)，det A=b1b2…bnqn，從而除周邊自由外，圓膜離散系統(tǒng)屬于雅可比正系統(tǒng)。依據(jù)雅可比矩陣特征值和特征向量的特有性質(zhì)［4］，我們馬上可以得出軸對(duì)稱(chēng)膜的離散系統(tǒng)軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)具有如下定性性質(zhì):

(1)系統(tǒng)的頻率是實(shí)的和單的，可按從小到大次序排列為:

這里等號(hào)只在σ=0時(shí)成立。當(dāng)0≤σ＜+∞時(shí)N=n+1而當(dāng)σ=+∞時(shí)N=n。

(2)相應(yīng)于ωk的第k個(gè)特征向量即第k個(gè)位移振型 u(k)=(u0k，u1k，…uN-1，k)T恰有k-1(k=1，2，…，N)個(gè)變號(hào)數(shù)。

(3)兩個(gè)相鄰振型 u(k)和u(k+1)(k=2，…，N-1)的節(jié)點(diǎn)相間。

(4)鑒于當(dāng)σ=+∞時(shí)，膜的周邊固定，un≡0。方程組(12)中的最后一個(gè)方程化為平衡方程。就是說(shuō)，周邊固定膜的離散系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是周邊彈性支承膜的相應(yīng)矩陣的截?cái)嗑仃嚒Ｓ裳趴杀染仃嚺c其截?cái)嗑仃嚨奶卣髦档南嚅g性推出，周邊固定膜的離散系統(tǒng)頻譜(k=1，2，…，n)和周邊彈性支承膜的頻譜(k=1，2，…，n+1)相間，即:

完全類(lèi)似的也有:

(5)在式(13)中，注意到邊界力Qn或邊界力系數(shù)qn隨表征邊界支承彈簧常數(shù)σ的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，且qn≥0。若記=an+qn，顯然有≥an且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)σ=0時(shí)成立。就是說(shuō)，周邊自由膜的離散系統(tǒng)的剛度矩陣和周邊彈性支承膜的相應(yīng)矩陣的差別僅在于其右下角元素，而二者的質(zhì)量矩陣是相同的，依據(jù)雅可比矩陣特征值與其元素之間的關(guān)系［4］可知，周邊自由膜的離散系統(tǒng)頻譜和周邊彈性支承膜的頻譜(k=1，2，…，n+1)也相間，即:

綜上所述，更有

(6)導(dǎo)出周邊固定膜的離散系統(tǒng)頻譜和周邊彈性支承膜的頻譜相間關(guān)系的另一方法如下:

研究周邊彈性支承膜的離散系統(tǒng)在其周邊受一外力密度為q的簡(jiǎn)諧力作用時(shí)的強(qiáng)迫響應(yīng)問(wèn)題。這種情況下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程是:

上述方程組寫(xiě)成矢量形式就是:

這里 λ = ω2，M=diag(m0，m1，…，mn)，e(n+1)=(0，…，0，1)T是n+1維列向量。

采用按固有振型展開(kāi)的方法求解上述強(qiáng)迫響應(yīng)問(wèn)題，即設(shè):

這里u(k)(k=1，…，n+1)是周邊彈性支承膜的離散系統(tǒng)相應(yīng)于固有圓頻率的振型，

已經(jīng)關(guān)于M歸一化，即:

為了確定常數(shù)ck(k=1，…，n+1)，把級(jí)數(shù)展開(kāi)式代入式(16)后兩邊再左乘矢量(u(k))T，即可解得:

于是，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅向量可以表示為:

特別地，有:

從這里，我們得到周邊固定膜的離散系統(tǒng)(un=0)的如下頻率方程:

從這里，同樣可以得出周邊固定膜的離散系統(tǒng)頻譜和周邊彈性支承膜的頻譜相間關(guān)系式(14)。

3 圓膜離散模型的模態(tài)反問(wèn)題

與桿的縱振動(dòng)的離散模型的模態(tài)反問(wèn)題類(lèi)似［5］，對(duì)圓膜的軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)離散模型可以提出如下模態(tài)反問(wèn)題:

給定周邊固定或周邊彈性支承膜的離散系統(tǒng)的兩個(gè)模態(tài)(ωi，u(i))和(ωt，u(t))，這里 ωi＜ ωt，試確定系統(tǒng)的質(zhì)量系數(shù)和剛度系數(shù)。

此式給出:

記:

則有:

不同于文獻(xiàn)［5］的是，需要進(jìn)一步計(jì)算周邊彈性支承膜的離散模型的幾何、物理參數(shù).在給定ln、圓膜半徑a和張力T的條件下，它們可按以下步驟計(jì)算:

(4)由于b1=πT是常數(shù)，由式(21)可得

至于周邊固定膜，其模態(tài)反問(wèn)題的提法和解法與周邊彈性支承膜完全相似，只是減少一個(gè)自由度。

4 圓膜離散模型的頻率反問(wèn)題

提出并求解圓膜離散模型的如下頻率反問(wèn)題:

頻率反問(wèn)題的求解過(guò)程如下:

(1)由給定頻率數(shù)據(jù)和式(18)可以解出周邊彈性支承圓膜離散系統(tǒng)各振型的最后一個(gè)分量unk(k=1，…，n+1)。

(2)式(17)的第一式給出:

此式的對(duì)角元素給出:

由此可以解出mn。

(3) 令 q=M1/2u=(q0，…，qn)T，改寫(xiě)方程(12)為:

其中:

由此按照:

即可依次解出ci/mi和bi+1/mi(i=1，2，…，n)，這里bn+1=qn。繼而仿照模態(tài)反問(wèn)題算出差分步長(zhǎng)lk(k=n-1，…，1)、彈性支承參數(shù) σ 以及結(jié)點(diǎn)密度 ρk(k=n，n-1，…，0)。

5 反問(wèn)題的計(jì)算實(shí)例

例1 周邊固定的均勻膜，取n=10，ρ=1，T=1，a=1，采用等步長(zhǎng)的差分格式。以相應(yīng)的正問(wèn)題的1、2階模態(tài)為反問(wèn)題的原始數(shù)據(jù)，計(jì)算相應(yīng)的差分步長(zhǎng)和結(jié)點(diǎn)線密度.計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 周邊固定膜的模態(tài)反問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算結(jié)果Tab.1 The numerical calculated result on the inverse modes problem of membrane with the fixed boundary

表2 周邊彈性支承膜的模態(tài)反問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算結(jié)果Tab.2 The numerical calculated result on the inverse modes problem of the membrane with the spring supported boundary

表3 周邊彈性支承膜的頻率反問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算結(jié)果Tab.3 The numerical calculated result on the inverse frequencies problem of the membrane with the spring supported boundary

例2 周邊彈性支承的變厚度膜，取n=10，ρ(r)=r+1，T=1，a=1，σ=10，采用等步長(zhǎng)的差分格式。以相應(yīng)的正問(wèn)題的2、3階模態(tài)為反問(wèn)題的原始數(shù)據(jù)，計(jì)算相應(yīng)的差分步長(zhǎng)和結(jié)點(diǎn)線密度。計(jì)算結(jié)果列于表2。

例3 周邊彈性支承的變厚度膜，取n=10，ρ(r)=r+1，T=1，a=1，σ=10，采用等步長(zhǎng)的差分格式。以相應(yīng)的正問(wèn)題的頻譜和周邊改為固定時(shí)的頻譜作為反問(wèn)題的原始數(shù)據(jù)，計(jì)算相應(yīng)的差分步長(zhǎng)和結(jié)點(diǎn)線密度。計(jì)算結(jié)果列于表3。

6 結(jié)論

以上我們導(dǎo)出了軸對(duì)稱(chēng)圓膜做軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng)時(shí)所對(duì)應(yīng)的差分離散模型，進(jìn)而討論了它的定性性質(zhì)并求解了相應(yīng)離散系統(tǒng)的振動(dòng)反問(wèn)題。以上算例表明，上述反問(wèn)題的提法是合理的，反問(wèn)題的解法是正確的。而且與文獻(xiàn)［5-7］中的結(jié)論一樣，頻率反問(wèn)題對(duì)原始數(shù)據(jù)的精度要求較之模態(tài)反問(wèn)題要高得多。

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