覃學(xué)文

（梧州學(xué)院，廣西 梧州 543002）

在“初等數(shù)論”教學(xué)中實(shí)施研究型教學(xué)的思考與實(shí)踐

覃學(xué)文

（梧州學(xué)院，廣西 梧州 543002）

從大學(xué)課堂教學(xué)的角度出發(fā)，結(jié)合初等數(shù)論學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)科特點(diǎn)及規(guī)律，針對傳統(tǒng)初等數(shù)論教學(xué)存在的問題，探索出初等數(shù)論教學(xué)中以學(xué)生為中心、以能力為本位研究型教學(xué)模式：探究式教學(xué)模式和課題研究教學(xué)模式。

研究型教學(xué)；探究式；課題研究

“初等數(shù)論”是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課程，也是教育專業(yè)數(shù)學(xué)類主修學(xué)科的主干課程，它的教學(xué)必須既要尊重學(xué)科自身的特點(diǎn)和規(guī)律，又要適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的要求，培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力和研究能力的專門人才。培養(yǎng)創(chuàng)新人才的教育目標(biāo)要求“初等數(shù)論”對現(xiàn)有的教學(xué)方法進(jìn)行改革，在教學(xué)中引入研究性學(xué)習(xí)，給學(xué)生提供創(chuàng)造性思維的空間，在自主探索和合作交流中掌握數(shù)論的基礎(chǔ)知識，感悟數(shù)學(xué)的思維方法。本文從課堂教學(xué)的角度，結(jié)合初等數(shù)論學(xué)科的教學(xué)目標(biāo)、學(xué)科特點(diǎn)及規(guī)律，對數(shù)論教學(xué)中實(shí)施研究型教學(xué)進(jìn)行探索。

一、數(shù)論學(xué)科研究型教學(xué)的內(nèi)涵

（一）什么是研究型教學(xué)

研究型教學(xué)是美國耶魯大學(xué)1998年《重建本科教育：美國研究性大學(xué)發(fā)展藍(lán)圖》報(bào)告中提出的，該報(bào)告指出：教學(xué)應(yīng)與研究相結(jié)合，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)基于研究，建立以研究為基礎(chǔ)的教學(xué)模式[1]。這種教學(xué)模式的核心就是把研究的理念引入教學(xué)中，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生用類似于科學(xué)的方式去獲取知識、解決問題、應(yīng)用知識。

研究型教學(xué)摒棄了傳統(tǒng)的以教師為中心、學(xué)生被動(dòng)接受知識的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的主動(dòng)探索、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和對所學(xué)知識意義的主動(dòng)建構(gòu)。研究型教學(xué)作為一種把“教”的過程的關(guān)注，轉(zhuǎn)移到“學(xué)”的過程來的一種形式，作為一種以探究為主要特征的教學(xué)方式，已逐步被各高校引入推廣。

（二）數(shù)論課程研究型教學(xué)的目標(biāo)

教育部“數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)”在《數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告》中，總結(jié)了優(yōu)秀的數(shù)學(xué)本科生應(yīng)具備的八種基本的數(shù)學(xué)能力和五種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，按照《報(bào)告》的提出，數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力、研究能力和實(shí)踐高素質(zhì)人才應(yīng)具備的數(shù)學(xué)能力是：分析能力、歸納能力、抽象能力、空間想象能力、演繹推理能力、準(zhǔn)確計(jì)算能力、運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件的能力、學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識的能力；應(yīng)具備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)是：主動(dòng)尋求并善于抓住數(shù)學(xué)問題背景和本質(zhì)的素養(yǎng)，熟練地用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)，具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神、合理地提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)，對各種問題用“數(shù)學(xué)方式”的理解思維從多角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)，善于對現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化、建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)[2]。數(shù)論作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的一門專業(yè)課，數(shù)論課程研究型教學(xué)既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科教育的總體目標(biāo)，又要體現(xiàn)研究性的特點(diǎn)，因此數(shù)論課程研究型教學(xué)的目標(biāo)總的來講，是培養(yǎng)學(xué)生的問題意識、研究能力和創(chuàng)新精神，具體來說，可分為知識目標(biāo)和能力目標(biāo)兩個(gè)方面。

1.知識目標(biāo)

初等數(shù)論課程主要講授整數(shù)的基本概念、方法和技巧。這些知識是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)解析幾何、代數(shù)數(shù)論等相關(guān)理論的基礎(chǔ)，特別是抽象代數(shù)的理論系統(tǒng)和思維方法都可以在數(shù)論中找到源頭。數(shù)論知識還是計(jì)算機(jī)科學(xué)與現(xiàn)代編碼技術(shù)中必不可少的專業(yè)知識。因此，獲得數(shù)論的基本知識、理論和方法，并加以應(yīng)用到其他相關(guān)學(xué)科上，這是數(shù)論研究型教學(xué)的第一個(gè)目標(biāo)。

2.能力目標(biāo)

研究型教學(xué)摒棄傳統(tǒng)的教師向?qū)W生灌輸知識的教學(xué)方式，以學(xué)生為中心，以能力為本位，創(chuàng)設(shè)類似科學(xué)家研究的情境，給學(xué)生提供思考問題、研究問題和應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的空間，強(qiáng)調(diào)知識的探索過程。在這一過程中，使學(xué)生學(xué)會(huì)自己提出問題、分析問題、歸納問題，善于從多角度思考問題，并學(xué)會(huì)批判性思維和求異思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

二、數(shù)論學(xué)科與研究型教學(xué)

（一）初等數(shù)論教學(xué)的現(xiàn)狀

“初等數(shù)論”是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課程，除了要給學(xué)生傳授系統(tǒng)的知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和素質(zhì)。然而，現(xiàn)行的初等數(shù)論教材是從一個(gè)定義到定理、推論的演繹體系，講究嚴(yán)密性、系統(tǒng)性、抽象性和邏輯性，基本上是現(xiàn)成的結(jié)論及證明，其章節(jié)編排、教學(xué)順序、習(xí)題形式都是與傳統(tǒng)教學(xué)方法相適應(yīng)的，就是將知識和盤托出，缺少提出問題和引起思考，更缺乏對知識的探索和思維活動(dòng)，并且教材內(nèi)容很少接觸到數(shù)論前沿的在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，缺乏科學(xué)性、先進(jìn)性和實(shí)踐性?？偟膩碚f就是重經(jīng)典，輕現(xiàn)代，重理論、輕應(yīng)用。而在教法上，則不重視知識形成過程及其中的數(shù)學(xué)思想，更談不上把這一過程中的觀察、分析、綜合、歸納、猜想等豐富的思維訓(xùn)練挖掘出來。教材習(xí)題的形式與內(nèi)容單調(diào)、陳舊，基本上與每節(jié)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)，條件答案固定，解題方法大多與例題的解法相同，缺少變化，缺少新意。教師在解題教學(xué)中，往往只重視習(xí)題的特征分類、解題模式及解題技巧的訓(xùn)練，忽視了將解題思路的分析以及數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練。于是，一個(gè)不爭的事實(shí)是，課堂氣氛沉悶，學(xué)生對這門課程缺乏濃厚的興趣，學(xué)生分析問題和解決問題的能力得不到充分的發(fā)揮，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維能力。

（二）研究型教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的有效途徑

針對數(shù)論的教學(xué)現(xiàn)狀，要改變目前以教師為中心、以知識為本位的狀況，所依據(jù)的教學(xué)方式必須是一種以學(xué)生為中心、以能力為本位的教學(xué)模式，而研究型教學(xué)正是最好的選擇。

研究活動(dòng)對人具有鮮明的發(fā)展功能，這是因?yàn)樵谘芯窟^程中，人們使自己的潛能得到了充分的發(fā)揮[3]。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為：學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)，是一種自己主動(dòng)把信息加工、形成知識的意義建構(gòu)的活動(dòng)，按其實(shí)質(zhì)來說，就是把現(xiàn)象重新組合或轉(zhuǎn)移，進(jìn)而再組合，從而獲得新的“發(fā)現(xiàn)”。研究型教學(xué)的特點(diǎn)，是讓學(xué)生在類似于科學(xué)家研究的過程中，自主提出問題，設(shè)計(jì)課題，從各種信息渠道收集資料，然后分析、綜合、歸納，得出結(jié)論，在分析問題和解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)造性能力?；蛘咴谡n堂教學(xué)上設(shè)計(jì)問題情景，通過激發(fā)聯(lián)想，使學(xué)生利用自己原有的知識、經(jīng)驗(yàn)或表象去“同化”當(dāng)前所學(xué)到的知識，學(xué)生在對知識的縱深探究過程中，獨(dú)立思考能力和創(chuàng)造性思維能力都得到提高，提升學(xué)生的整體素質(zhì)。

三、數(shù)論研究型教學(xué)的兩個(gè)模式

（一）探究式教學(xué)模式

根據(jù)傳統(tǒng)教材所進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)往往是數(shù)論知識真實(shí)發(fā)現(xiàn)過程的反思維的活動(dòng)，因?yàn)閭鹘y(tǒng)數(shù)論教材中的知識體系是嚴(yán)格的邏輯體系，展示的是數(shù)學(xué)家在數(shù)論知識發(fā)現(xiàn)過程中各種思維的結(jié)果，卻看不到科學(xué)探索過程中豐富的研究性活動(dòng)。若把數(shù)論課程教學(xué)按數(shù)學(xué)推理方式進(jìn)行，其結(jié)果是把數(shù)論知識發(fā)現(xiàn)過程中的創(chuàng)造性思維活動(dòng)掩蓋起來。因此，教師應(yīng)改變現(xiàn)有教材那種從定義到定理的羅列以及不加分析地給出證明的嚴(yán)格邏輯局面，把教材內(nèi)容中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練元素挖掘出來，把數(shù)論教學(xué)作為思維活動(dòng)來進(jìn)行，給學(xué)生提供探究活動(dòng)與交流互動(dòng)的情境與空間，使學(xué)生在概念的形成與同化的思維過程中，在對數(shù)論定理、公式的發(fā)現(xiàn)過程中，培養(yǎng)尋找真理與發(fā)現(xiàn)真理的創(chuàng)新能力?；谝陨险J(rèn)識，筆者總結(jié)了探究式教學(xué)模式的框架。

這個(gè)教學(xué)模式可采用“創(chuàng)設(shè)問題情境→提出問題→探索發(fā)現(xiàn)→證明猜想”的程序進(jìn)行。

下面是《孫子定理》的教學(xué)設(shè)計(jì)：

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境。舉《孫子算經(jīng)》中一個(gè)例子：韓信點(diǎn)兵：有兵一隊(duì)，若列成五行縱隊(duì)，則末行一人，成六行縱隊(duì)，則末行五人；成七行縱隊(duì)，則末行四人；成十一行縱隊(duì)，則末行十人，求兵數(shù)。這個(gè)例子比較容易引起學(xué)生興趣，學(xué)生完全可以根據(jù)題目條件把四個(gè)同余式x＝1（mod5），x＝5（mod6）， x＝4（mod7）， x＝10（mod11）例 出 來 ，但不會(huì)求解。這時(shí)可以讓學(xué)生計(jì)算2111分別除以5，6，7，11，分別求出商和余數(shù)，再讓學(xué)生找出兩個(gè)題目之間的聯(lián)系。在這個(gè)過程中學(xué)生知道2111應(yīng)該就是同余方程的其中一個(gè)解，但是如何求出來的？還有沒有其他解？如何找出這個(gè)同余方程組的通解？這一系列問題的提出讓學(xué)生已經(jīng)開始進(jìn)入積極的思考當(dāng)中。

（2）提出問題。教師給出一系列《孫子算經(jīng)》同一形式的問題，如“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”和“十一數(shù)之余三，七二數(shù)之余二，十三數(shù)之余一，問本數(shù)”等等。讓學(xué)生找出這一類問題的共同特點(diǎn)，這個(gè)時(shí)候?qū)W生完全可以自己寫出孫子定理的內(nèi)容，這跟數(shù)學(xué)家的思維過程一樣。

（3）探索發(fā)現(xiàn)。對于問題“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”的求解，師生可以共同研究古代對此問題的解答，“三人同行七十稀，五樹梅花二十一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知”。這一解答也可以通過列表給出，這樣更能容易地讓學(xué)生把問題推廣到一般情形。這個(gè)一般情形的得出過程已經(jīng)是孫子定理的證明過程中的部分思考內(nèi)容，這時(shí)就可以進(jìn)行猜想。

（4）證明猜想結(jié)論。由古代解答方法的推理進(jìn)一步給出定理的證明，這個(gè)地方教師要注意類比思想的滲透。

（二）課題研究教學(xué)模式

課題研究是指學(xué)生根據(jù)自己的興趣選擇課題，以專題研究為導(dǎo)向，以自主學(xué)習(xí)和小組協(xié)作學(xué)習(xí)為主要學(xué)習(xí)方式，在類比科學(xué)家研究的過程中進(jìn)行學(xué)習(xí)，以全面掌握和運(yùn)用數(shù)論知識解決問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一種教學(xué)方法。

課題研究教學(xué)模式可以按照“課題的確立與選擇→組建小組→教師” 的程序進(jìn)行。

1.課題的確立與選擇

研究課題的確立是研究性學(xué)習(xí)的開始，首先由教師根據(jù)教學(xué)與研究內(nèi)容確立一系列課題，并向?qū)W生公布，然后由學(xué)生根據(jù)自己的興趣、學(xué)識和思維特點(diǎn)去選擇自己要研究的課題。課題的確立應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

（1）課題研究的內(nèi)容應(yīng)與數(shù)論教材知識相關(guān)，體現(xiàn)數(shù)論知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用。

（2）課題內(nèi)容要符合學(xué)生的興趣。興趣是學(xué)習(xí)最持久的動(dòng)力，當(dāng)學(xué)生對研究的內(nèi)容產(chǎn)生興趣，其才有努力的方向，才會(huì)不斷地思考與探索，尋找問題解決的途徑。一般來說，課題內(nèi)容有兩類：一類是純數(shù)論問題，即是數(shù)論教學(xué)內(nèi)容的延伸與拓寬，如：中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)論的貢獻(xiàn)；另一類是數(shù)論在其他學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，如：數(shù)論與中小學(xué)數(shù)學(xué)競賽。

（3）課題內(nèi)容難度要適中，以適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平和對各方面知識的積累程度。難度過低，則課題對學(xué)生失去吸引力；若難度過高或涉及面太廣，學(xué)生難以用他們所掌握的知識和能力去探究，則研究活動(dòng)難以進(jìn)一步展開。

2.組建小組

教師在集中講授了課題研究的方向及要點(diǎn)后，為了培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和協(xié)作精神，讓學(xué)生按照他們所選的專題組建小組，每一個(gè)小組進(jìn)行同一個(gè)課題研究。在小組的學(xué)習(xí)中，學(xué)生分工負(fù)責(zé)搜集資料、整理信息，最后合作完成課題論文，這是自主學(xué)習(xí)與合作相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式。

3.教師指導(dǎo)

在研究性學(xué)習(xí)中，學(xué)生是主體，但并不意味著教師是旁觀者，只是教師的地位改變了，從以往的居高臨下變成合作關(guān)系與學(xué)生共同討論。教師以指導(dǎo)者和合作者的身份介入學(xué)生的課題研究，主要體現(xiàn)在下面兩個(gè)方面。

⑴在課題開講時(shí)，教師向全班學(xué)生介紹各種課題研究的基本框架、重要結(jié)論、研究方向等；給學(xué)生介紹如何搜集資料和研究資料，具體做法是：提供研究資源信息，指導(dǎo)學(xué)生利用圖書、期刊、網(wǎng)上資源、互聯(lián)網(wǎng)搜索引擎等手段找尋自己所需的資料。為了規(guī)范學(xué)生寫作論文的方式，必須給學(xué)生介紹一些與他們水平相近的研究范文和論文精選，以及如何設(shè)計(jì)論文章節(jié)結(jié)構(gòu)、如何引用文獻(xiàn)等方法。

⑵在小組活動(dòng)階段，教師的作用是跟蹤進(jìn)度、反饋修正、思路點(diǎn)拔、疑難解答。具體來說，就是充當(dāng)學(xué)生的“顧問”，在與學(xué)生平等交流的方式下，指導(dǎo)學(xué)生對獲取的各種信息進(jìn)行分類、加工、整理，并提供學(xué)生利用信息進(jìn)行研究的建議。

對于“勾股數(shù)”的教學(xué)筆者實(shí)施的是課題研究教學(xué)模式，進(jìn)行的課題是：找勾股數(shù)，從找特殊勾股數(shù)到一般勾股數(shù)的過程中其實(shí)就是解決了從構(gòu)造不定方程到解不定方程的學(xué)習(xí)問題，其中學(xué)生還可以從整理資料到寫論文的過程了解到更多的相關(guān)知識，這讓學(xué)生的視野更廣闊，求知欲更強(qiáng)烈。

四、提升教師科研素養(yǎng)是實(shí)施研究型教學(xué)的前提

研究性教學(xué)以學(xué)生為中心，要求學(xué)生擺脫對教師的依賴，獨(dú)立利用網(wǎng)絡(luò)收集資料、閱讀參考文獻(xiàn)、自行完成實(shí)驗(yàn)和設(shè)計(jì)，在課堂上，則通過學(xué)生討論、互動(dòng)等形式，經(jīng)過一系列的質(zhì)疑、判斷、分析、推理等思維活動(dòng)，從而得出新的結(jié)論。這一系列的活動(dòng)，都離不開教師的策劃與指導(dǎo)。在研究性教學(xué)中教師起組織者、指導(dǎo)者的作用。教師要為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的外因和誘導(dǎo)的內(nèi)因。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，首先要設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)環(huán)境（也就是外因），比如情境創(chuàng)設(shè)、信息資源的提供、組織協(xié)作學(xué)習(xí)的方式等，以達(dá)到學(xué)生有效地實(shí)現(xiàn)對知識的建構(gòu)。然而采用怎樣形式的情境與主題相關(guān)？哪些信息資源是必要的？即使在協(xié)作學(xué)習(xí)中，以哪種方式提出問題？怎樣展開討論？如何把討論逐層引向深入？這些都離不開教師的精心設(shè)計(jì)。其次，要求教師設(shè)計(jì)自主學(xué)習(xí)的策略，包括情境式、支架式、啟發(fā)式、討論式和自我反饋式等，然而不管采取哪一種策略，都要適合學(xué)生的認(rèn)知水平和適應(yīng)教材內(nèi)容特點(diǎn)，這些更離不開教師的指導(dǎo)。因此，研究性教學(xué)對教師提出了更高的要求。

1.教師必須樹立“以我為本”的教學(xué)理念

傳統(tǒng)的教學(xué)方式是填鴨式、滿堂灌，教師講、學(xué)生聽，然后利用剛講完的知識去完成作業(yè)的教學(xué)程式。在這種課程教學(xué)模式中，傳授知識就是全部，缺少知識的遷移和拓展，至于探索未知領(lǐng)域就更談不上了。而作為研究性教學(xué)的教師，必須摒棄這種陳舊的教學(xué)觀念，立足“以人為本”，“授人以漁”而不是“授人以魚”。要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，鼓勵(lì)他們大膽猜想、嚴(yán)謹(jǐn)求證，引導(dǎo)他們聯(lián)想、分析，師生共同“碰壁”。也就是說，教學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)方法[3]。

2.提升教師自身的科研能力

在本學(xué)科專業(yè)領(lǐng)域、科研能力等方面，研究性教學(xué)對教師提出了更高的要求。教師除了對教材內(nèi)容作更廣泛、更深刻的鉆研之外，還要有強(qiáng)烈的科學(xué)精神，時(shí)刻關(guān)注數(shù)論學(xué)科的前沿和發(fā)展，一方面提升自己的科研水平，另一方面要把數(shù)論發(fā)展中一些未解決的問題選擇性地滲入教學(xué)之中，激發(fā)學(xué)生對數(shù)論的興趣和求知欲望。

總之，經(jīng)過不斷地實(shí)踐與總結(jié)，學(xué)生在研究型教學(xué)模式下學(xué)習(xí)初等數(shù)論的興趣和積極性有了很大的提高，他們的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了更好的培養(yǎng)，特別是學(xué)生的問題意識、研究能力和創(chuàng)新精神這三個(gè)方面尤為突出。

[1]劉寶存.美國研究型大學(xué)基于問題的學(xué)習(xí)模式[J].中國高等教育研究,2004（10）.

[2]教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)課題組.數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告[J].中國大學(xué)教學(xué),2005（3）.

[3]劉智運(yùn).論高校研究性教學(xué)與研究性學(xué)習(xí)的關(guān)系[J].中國大學(xué)教學(xué),2007（10）.

G420

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1673-8535（2011）02-0100-05

2010-10-26

梧州學(xué)院2008年度教育教學(xué)改革項(xiàng)目（wyjg2008c011）

覃學(xué)文（1975-），女，廣西橫縣人，梧州學(xué)院數(shù)理系教師，研究生學(xué)歷，研究方向：微分方程，數(shù)學(xué)教育。

高 堅(jiān)）