毛晨曦，周文松，歐進(jìn)萍 ，3

(1．中國地震局 工程力學(xué)研究所，150080哈爾濱，maochenxi@iem．a(chǎn)c．cn;2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，150090哈爾濱;3．大連理工大學(xué)土木水利學(xué)院，116024遼寧大連)

基于小波能量傳遞函數(shù)譜的結(jié)構(gòu)損傷識別

毛晨曦1，2，周文松2，歐進(jìn)萍2，3

(1．中國地震局 工程力學(xué)研究所，150080哈爾濱，maochenxi@iem．a(chǎn)c．cn;2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，150090哈爾濱;3．大連理工大學(xué)土木水利學(xué)院，116024遼寧大連)

為排除小波識別結(jié)構(gòu)頻率時地震動頻帶的干擾，提出了小波能量傳遞函數(shù)譜方法．該方法首先將地震動輸入和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)小波譜分別沿時間軸積分，得到結(jié)構(gòu)輸入和輸出的小波能量譜;然后將結(jié)構(gòu)反應(yīng)小波能量譜除以地震動輸入小波能量譜，并定義為結(jié)構(gòu)小波能量傳遞函數(shù)譜，該譜的脊線即為結(jié)構(gòu)的時變頻率．分別采用小波變換直接識別法和小波能量傳遞函數(shù)譜方法對一幢6層砌體結(jié)構(gòu)在汶川地震一系列余震中的頻率變化進(jìn)行識別．結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)頻率在較大的余震中明顯降低，說明結(jié)構(gòu)損傷有進(jìn)一步發(fā)展．該方法可有效排除結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)小波譜中地震動頻帶的干擾，準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)在地震作用過程中的時變頻率．

地震;結(jié)構(gòu)余震響應(yīng)監(jiān)測;小波能量傳遞函數(shù)譜;損傷識別

小波變換是識別非線性系統(tǒng)時變頻率的有效工具［1－4］，但在識別建筑結(jié)構(gòu)在地震動作用下發(fā)生損傷過程中的時變頻率時，簡單地對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)進(jìn)行小波變換處理識別結(jié)果很不理想．這主要因為地震動是窄帶隨機過程，其頻帶干擾很難從結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的小波譜中排除掉，因而也就無法準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)時變頻率．為解決這一問題，本文提出了小波能量傳遞函數(shù)譜的概念，并采用這種方法對位于四川省廣元市的一幢6層砌體結(jié)構(gòu)在汶川地震后一系列余震中的地震響應(yīng)進(jìn)行分析，成功排除了結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號小波譜中地震動輸入的頻帶干擾，準(zhǔn)確識別了結(jié)構(gòu)在各次余震中的頻率變化．

1 小波能量傳遞函數(shù)譜

1.1 連續(xù)小波變換

若信號f(t)為能量有限信號，即f(t)滿足

則f(t)的連續(xù)小波變換定義為

式中:u，s分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)，ψ*(t)為小波函數(shù)ψ(t)的復(fù)共軛．

本文中的小波函數(shù)采用Gabor小波，即

其中:η為頻率調(diào)制參數(shù)，g(t)為高斯窗函數(shù)，其傅立葉變換為

對任一實信號f(t)都可以寫成振幅a(t)與時變相位 φ(t)的乘積［5］，即

式中:a(t)≥ 0，ω(t)=φ(t)'≥0.

將式(3)、(5)代入式(2)并利用傅立葉變換的性質(zhì)可得到f(t)的Gabor小波變換為

其中:(ξ= η/s)，ε(u，ξ)為校正項，當(dāng) a(u)、φ'(u)在φu，s的支集內(nèi)有較小的變差，且 φ'(u)≥Δω/s時，可以忽略不計.Δω為(ω)的帶寬，當(dāng)|ω|＞Δω時(ω)?1.為了簡化，記

將上式中的Wf(u，s，ξ)用式(6)代入并忽略校正項 ε(u，ξ)，得

此時相應(yīng)的點 (u，ξ(u))稱之為小波脊．將ξ=η/s代入上式可以進(jìn)一步得到

從式(9)可以看出，在時頻平面內(nèi)信號的小波變換的脊(u，ξ(u))就對應(yīng)著其瞬時頻率的曲線(u，ω(u))，所以對于任一實信號，不管其頻率在整個時域上是恒定的或時變的，總可以根據(jù)此信號的小波脊得到其瞬時頻率曲線．具體的小波脊抽取算法參考文獻(xiàn)［6］．

1.2 小波能量傳遞函數(shù)譜

由于地震動為窄帶隨機過程，單純對結(jié)構(gòu)實測地震響應(yīng)信號進(jìn)行小波變換處理很難排除地震動的頻帶干擾，因而也很難準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)本身的自振頻率，為了解決這一問題，本文提出小波能量傳遞函數(shù)譜的概念，并利用小波能量傳遞函數(shù)譜識別建筑結(jié)構(gòu)在地震動激勵下的時變頻率．所謂結(jié)構(gòu)的小波能量傳遞函數(shù)譜就是結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)在小波域的表達(dá)．如果將建筑結(jié)構(gòu)看做一個線性或非線性的力學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)其遭受地震動激勵時，其地震動激勵和地震響應(yīng)的小波變換可表達(dá)為

其中:y(t)output為結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)時程，x(t)input為地震動激勵時程，Wy(u，s)output、Wx(u，s)input分別表示結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動激勵的小波變換系數(shù)，其時頻展開即為結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動激勵的小波譜．考慮式 (11)、(12)Wy(u，s)output、Wx(u，s)input的位置參數(shù)u與小波譜的時間參數(shù)相對應(yīng)，而尺度參數(shù)s則與信號的頻率存在對應(yīng)關(guān)系，為方便推導(dǎo)，將 Wy(u，s)output、Wx(u，s)input分別表示為 Wy(t，ω)output和 Wx(t，ω)input的形式，ω為信號的頻率．

因為式(11)、(12)中的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動激勵的小波譜中均含有噪聲成分，因而直接將二者相除無法準(zhǔn)確得到結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)在小波域的表達(dá)，為解決這一問題，本文提出在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動激勵的小波譜中對每一頻率成分對應(yīng)的小波系數(shù)分別進(jìn)行沿時間軸的積分，即

其中:積分區(qū)間Ti為信號起始時刻至每一采樣點的持續(xù)時間;i為所分析信號的采樣點序數(shù)，其取值為1≤i≤N，N為信號采樣點數(shù)目;j為進(jìn)行積分處理的小波系數(shù)對應(yīng)的頻率(或稱尺度)參數(shù)序數(shù);積分所得系數(shù) Ei，j(ti，ωj)output反映了結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號小波譜中頻率為ωj的信號成分在截至ti時刻沿時間軸的累積能量，其時頻展開稱為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的小波能量譜，同樣 Ei，j(ti，ωj)input則為結(jié)構(gòu)地震動激勵小波譜中頻率為ωj的信號成分在截至ti時刻沿時間軸的累積能量，其時頻展開稱為地震動激勵的小波能量譜．

參考結(jié)構(gòu)頻域傳遞函數(shù)的概念，定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)輸出小波能量譜除以地震動激勵小波能量譜為結(jié)構(gòu)在小波域的傳遞函數(shù)，即

系數(shù)Hi，j(ti，ωj)沿時頻軸的展開即為結(jié)構(gòu)的小波能量傳遞函數(shù)譜，因為排除了地震動輸入的頻帶干擾，因而小波能量傳遞函數(shù)譜的脊線能較好反映結(jié)構(gòu)的時變頻率．采用與小波譜脊線抽取算法相同的方法抽取小波能量傳遞函數(shù)譜的脊線，即為結(jié)構(gòu)時變頻率．

2 廣元市地震局家屬樓余震響應(yīng)監(jiān)測

2.1 結(jié)構(gòu)概況及地震響應(yīng)監(jiān)測系統(tǒng)

四川省廣元市地震局家屬樓為6層磚砌體結(jié)構(gòu)，建于1991年，該建筑體型規(guī)則簡單，在汶川地震中遭到輕微破壞，廣元市距汶川地震震中240 km，汶川地震后余震一直比較頻繁，圖1為該建筑的平面和立面圖．2008年9月在該建筑上安裝了一套結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)監(jiān)測系統(tǒng)，該系統(tǒng)包括6個單向和2個三向力平衡加速度傳感器，及相應(yīng)的數(shù)據(jù)采集、信號調(diào)理系統(tǒng)和軟件．所采用的力平衡加速度傳感器工作頻率為0.1～120 Hz，量程為 －2g～2g．6個單向加速度傳感器分別放置在結(jié)構(gòu)的1～6層樓板處，因考慮結(jié)構(gòu)短邊方向(圖1中的y方向)抗側(cè)剛度較小，該方向地震動響應(yīng)較大，因此6個單向加速度傳感器全部沿y向布置;2個三向加速度傳感器則分別放置在結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)頂面和結(jié)構(gòu)頂層，用以分別監(jiān)測結(jié)構(gòu)的地震動激勵和結(jié)構(gòu)頂層加速度響應(yīng)，并通過頂層2個方向的加速度響應(yīng)的對比判斷結(jié)構(gòu)振動是否存在扭轉(zhuǎn)分量．

2.2 結(jié)構(gòu)余震響應(yīng)監(jiān)測結(jié)果

表1為結(jié)構(gòu)余震響應(yīng)監(jiān)測系統(tǒng)自2008年10月至12月間監(jiān)測到的各次余震中比較大的10條記錄．可以看出2008年12月10日和2008年10月24日發(fā)生的震中在青川的2次余震震級較大，在這2次余震中監(jiān)測到的結(jié)構(gòu)基底沿y向的加速度峰值分別為0.057、0.041 m/s2．

圖1 廣元市地震局家屬樓平面及立面圖

表1 記錄余震列表

圖2、3繪出了12月10日和10月24日2次余震中結(jié)構(gòu)基底以及各層y方向加速度響應(yīng)時程．由圖可見，在12月10日的余震中，結(jié)構(gòu)頂層y向加速度峰值達(dá)到了0.296 m/s2，10月24日余震中，結(jié)構(gòu)頂層y向加速度峰值為0.135 m/s2．

3 基于小波能量傳遞函數(shù)譜的結(jié)構(gòu)時變頻率識別

為了識別廣元市地震局家屬樓在表1所列各次余震中的時變頻率，這里首先對該結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)信號進(jìn)行Gabor小波變換，并抽取Gabor小波譜的脊線，觀察地震動輸入信號頻帶對結(jié)構(gòu)時變頻率識別結(jié)果的影響;隨后采用本文提出的小波能量傳遞函數(shù)譜方法對結(jié)構(gòu)各次余震響應(yīng)進(jìn)行處理，識別得到結(jié)構(gòu)時變頻率．

圖2 2008年12月10日余震中結(jié)構(gòu)各層y方向加速度時程

圖3 2008年10月24日余震中結(jié)構(gòu)各層y方向加速度時程

圖4為分別采用上述2種方法識別得到的12月10日余震中該結(jié)構(gòu)頻率變化時程．因為可將結(jié)構(gòu)任一層的地震動響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的地震動激勵看作結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一對輸出和輸入，所以根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)任意一對輸出和輸入均可識別結(jié)構(gòu)頻率．這里給出的是根據(jù)結(jié)構(gòu)頂層地震動輸出和基底地震動激勵識別得到的頻率時程．圖4(a)為僅對結(jié)構(gòu)頂層地震響應(yīng)進(jìn)行Gabor小波變換并抽取小波譜脊線識別得到的結(jié)構(gòu)頻率時程，從圖中雖然可以分辨出結(jié)構(gòu)振動的前兩階頻率，但頻率時程曲線波動較為劇烈，并且Gabor小波時頻譜在結(jié)構(gòu)自振頻率以外的頻帶上也可以看到能量峰值，這些能量峰值與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身的振動頻率無關(guān)，因而可以判斷出是來自于地震動激勵的頻帶干擾．圖4(b)為采用本文提出的小波能量傳遞函數(shù)譜方法識別得到的結(jié)構(gòu)頻率時程，從圖中可以清楚地看到結(jié)構(gòu)的前兩階頻率，其中第一階頻率約為3.27 Hz，第二階頻率約為4.44 Hz，并且在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)幅值比較大的時間段(5～10 s)第一階頻率出現(xiàn)了下降，約下降8.31%，說明在此次余震中結(jié)構(gòu)損傷有進(jìn)一步發(fā)展，在10 s之后由于地震動激勵減小，結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)也相應(yīng)減小，結(jié)構(gòu)第一階頻率由于損傷裂縫的閉合出現(xiàn)回復(fù)．

圖4 2008年12月10日余震中結(jié)構(gòu)頻率變化識別結(jié)果

圖5為上述結(jié)構(gòu)在2008年10月24日余震中的頻率變化時程．其中圖5(a)為僅采用Gabor小波譜方法對結(jié)構(gòu)地震動輸出進(jìn)行處理識別得到的結(jié)構(gòu)前兩階頻率的時程．從圖中可以看出，識別得到的結(jié)構(gòu)第一、二階頻率時程曲線波動十分劇烈，受到地震動激勵的頻率干擾，導(dǎo)致無法準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)頻率．圖5(b)則為采用小波能量傳遞函數(shù)譜方法識別得到的結(jié)構(gòu)頻率變化時程．結(jié)構(gòu)第一、二階頻率識別結(jié)果非常清晰，且同樣在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)幅值較大的時間段(12～17 s)結(jié)構(gòu)第一階頻率出現(xiàn)了下降，下降7.9%，說明在本次余震中結(jié)構(gòu)損傷也出現(xiàn)發(fā)展．

圖5 2008年10月24日余震中結(jié)構(gòu)頻率變化識別結(jié)果

圖6為監(jiān)測得到的廣元市地震局家屬樓結(jié)構(gòu)在表1所列的部分余震中結(jié)構(gòu)頂層的加速度響應(yīng)，以及采用小波能量傳遞函數(shù)譜方法識別得到的該建筑在各次余震中的頻率變化時程．在各次余震中，只有2008年12月10日和2008年10月24日2次余震中結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)較大，其他各次余震中結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)均較?。畯念l率變化時程上看，也只有12月10日和10月24日2次余震中結(jié)構(gòu)一階頻率出現(xiàn)了下降，其他各次余震中結(jié)構(gòu)頻率基本沒有變化，說明結(jié)構(gòu)在上述2次余震中損傷有進(jìn)一步的發(fā)展．

圖6 部分余震中的頂層加速度響應(yīng)和時變頻率

4 結(jié)論

1)提出了采用小波能量傳遞函數(shù)譜方法排除地震動頻帶干擾，識別結(jié)構(gòu)在地震動激勵下時變頻率的新方法．

2)地震動激勵屬于窄帶隨機過程，采用傳統(tǒng)小波變換方法單純對建筑結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)信號進(jìn)行處理無法排除地震動激勵的頻帶干擾，因而也無法準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)在地震作用過程中的頻率變化．小波能量傳遞函數(shù)譜方法能成功排除地震動激勵的頻帶干擾，準(zhǔn)確識別出結(jié)構(gòu)頻率在地震作用過程中的變化時程，從而為進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)損傷識別和評估提供依據(jù)．

3)通過安裝的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)監(jiān)測系統(tǒng)成功監(jiān)測到了余震響應(yīng)，采用小波能量函數(shù)譜方法識別得到該結(jié)構(gòu)余震中的頻率變化時程．結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)只在震級比較大的余震中損傷出現(xiàn)了進(jìn)一步發(fā)展，在震級比較小的余震中由于地震動激勵幅值較小結(jié)構(gòu)損傷沒有發(fā)展．

［1］ GURLEY K，KAREEM A．Applications of wavelet transform in earthquake，wind and ocean engineering［J］．Engineering Structures， 1999，21:149－167．

［2］KAREEM A，KIJEWSKI T．Time-frequency analysis of wind effects on structures［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2002，90:1435－1452．

［3］KIJEWSKI T，KAREEM A．Wavelet transform for system identification in civil engineering［J］．Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2003，18:339－355．

［4］YANG J N，LEI Y，LIN S，et al.Identification of natural frequencies and damping of in site tall buildings using ambient wind vibration data［J］．Journal of Engineering Mechanics， 2004，130(5):570 －577．

［5］RUZZENE M，F(xiàn)ASANA A，GARIBALDI L，et al.Natural frequencys and dampings identification using wavelet transform:application to real data［J］．Mechanical Systems and Signal Processing， 1997，11(2):207 －218．

［6］TCHAMITCHIAN P，TORRESANI B．Ridge and skeleton extraction from the wavelet transform［C］//RUSDAI M B．Wavelets and Their Applications［M］．Boston:Jones and Bartlett，1992:123 －151．

Damage assessment based on wavelet energy transfer function spectrum

MAO Chen-xi1，2，ZHOU Wen-song2，OU Jin-ping2，3

(1．Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration，150080 Harbin，China，maochenxi@iem．a(chǎn)c．cn;2．School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China;3．School of Civil and Hydraulic Engineering，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China)

A new wavelet energy transfer function spectrum(WETFS)method was proposed in this study to remove frequency contamination of earthquakes from wavelet spectrum of structural responses in identifying frequency variation of structures．First，wavelet spectrums of earthquake excitation and structural response were integrated along time respectively to get wavelet energy spectrum of earthquakes and seismic responses．Then the WETFS was defined by dividing wavelet energy spectrum of earthquake excitation by that of structural response．The ridge on WETFS just represented the variation of structural frequencies．This method and the traditional wavelet method were both applied on frequency identification of one 6-story masonry apartment building．The seismic responses of this building during series of aftershocks of Wenchuan earthquake were measured and structural frequencies were identified to decrease remarkably during two aftershocks．The results of the two methods indicate that the WETFS method can identify variation of structural frequency accurately without contamination of earthquake excitation．

earthquake;structural seismic response monitoring;wavelet energy transfer function spectrum;damage identification

TU362;TN911.6

A

0367－6234(2011)08－0130－05

2010－05－21．

中國地震局中央級公益性研究所基本科研業(yè)務(wù)費資助項目(2007B15);國家自然科學(xué)基金資助項目( 50808165，90915003)．

毛晨曦(1974—)，女，副研究員;

歐進(jìn)萍(1959—)，男，博士生導(dǎo)師，中國工程院院士．

(編輯 魏希柱)