摘 要： 解三角形的問題關(guān)鍵是什么？本文從三個方面進(jìn)行說明：知識體系要清晰；解的個數(shù)判斷及邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；實際問題的模型轉(zhuǎn)化要到位。
　　關(guān)鍵詞： 解三角形 正弦定理 余弦定理 邊角關(guān)系
　　
　　解三角形是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書?數(shù)學(xué)必修5》的一個重要章節(jié)，課本主要從實際問題出發(fā)引出相應(yīng)的正余弦定理，雖然容易入手但上手難，特別是運(yùn)用正余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.那么解三角形的問題關(guān)鍵是什么？以下主要從三個方面進(jìn)行說明.
　　一、知識體系要清晰
　　《標(biāo)準(zhǔn)》要求將解三角形問題作為幾何度量問題來解決，強(qiáng)調(diào)在已有的知識基礎(chǔ)上，通過對邊與角關(guān)系的探究發(fā)現(xiàn)，掌握邊與角之間的關(guān)系，形成清晰的知識體系.常見的三角形問題可分為幾種類型：三邊、兩邊一角、一邊兩角、三角.如何解決這些問題呢?我們可以把它們分成兩大類：正弦定理（兩邊一對角、一邊兩角）；余弦定理（三邊、兩邊一夾角、兩邊一對角）.結(jié)合以上這兩種分法，我們明確對應(yīng)的類型的解決方法，對于解三角形起著事半功倍的作用.對于解三角形的問題我們只需分析好具體給出的條件，就能較快地找到對應(yīng)的處理方式，甚至于只要明確對應(yīng)條件，解題思路就一目了然，以下面的例子進(jìn)行說明。
　　例1：在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊上的中線AD=3.5，求BC的長.
　　本例提供的條件中表面上只有邊的關(guān)系，其實隱含著兩個條件：∠ADC、∠ADB互補(bǔ)，BD=CD，屬于三邊及一角的問題，對應(yīng)運(yùn)用余弦定理解決:cos∠ADB+cos∠ADC=0，又因為BD=CD，可得BD=4.5，則BC=9.由此我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)明確了知識體系及題目已知條件時，解題就水到渠成了.
　　二、幾種常見問題要掌握
　　1.解的個數(shù)判斷
　　在已知三角形的兩邊及一對角解三角形時得到一個角的正弦值，例如a，b，A，由正弦定理我們不難得出其值，但是對于三角形內(nèi)角來講正弦值始終為正數(shù)，此時就可能出現(xiàn)互補(bǔ)的銳角和鈍角，此時就可能存在解的個數(shù)問題.以下主要以實例形式從三個角度來說明如何處理：
　　例2：根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個解的是:
　　A.b=10，A=45°，C=70°；
　　B.a=60，c=48，B=60°；
　　C.a=5，b=4，A=60°；
　　D.a=14，b=16，A=45°.
　　分析：選項A是一邊和兩角的問題，只有一解；選項B是兩邊一夾角問題，只有一解.
　　方法一：利用大角對大邊（前提是要注意先求出sina=m，只有當(dāng)-1＜m＜1，此時才有意義）.選項C：由正弦定理可知sinB＜1且a＞b，此時只有一解.選項D：由正弦定理可知sinB＜1且a＜b，此時兩解.
　　方法二：利用圖像判斷。選項C：如圖所示可知CD=bsin60°，而BC=5，BC＞AC，所以B點(diǎn)在AA′的延長線上，故只有一解.選項D：同理可知CD＜BC＜AC，所以B點(diǎn)在DA′或AD上，故有兩解.
　　方法三：利用余弦定理。選項C：由余弦定理，即得c-4c+9=0，此時△＞0，方程有兩不等實根，且兩根之積為-9，只有一正根，所以方程只有一解；選項D：同理此時△＞0，方程有兩不等實根，且兩根之積為15，兩根之和為8，方程有兩不等正根，所以有兩解.
　　2.邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化
　　解三角形的本質(zhì)就是：把“未知的邊角”轉(zhuǎn)化為“已知”，這就是求解過程.那么如何轉(zhuǎn)化角與邊呢？由正弦定理可知此時邊的比可以轉(zhuǎn)化為角的正弦比，由余弦定理可知角的余弦值可以轉(zhuǎn)化為邊的比值，同時從邊的關(guān)系如a=b+c-bc我們也能得出對應(yīng)角的余弦值.
　　例3：△ABC中，若（2a+c）cosB=-bcosC，求B的大小.
　　法一：由正弦定理可得（2sinA+sinC）cosB=-bsinAcosC，即2cosBsinA+cosBsincC+sinBcosC=0，
　　2cosBsinA+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0，cosB=0.5，所以B=120°.
　　法二：由余弦定理可知（2a+c）=-b，代入整理得2a（a+c-b+ac）=0，即b=a+c+ac，由余弦定理可得B=120°.
　　通過例4我們可以得出已知三角形中的邊角關(guān)系式，要轉(zhuǎn)化為已知條件或者判斷形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換求出三個角之間的關(guān)系式；其二化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式.兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.這兩種解法，都是通過兩種不同的轉(zhuǎn)化來實現(xiàn)的.
　　三、實際問題的模型轉(zhuǎn)化要到位
　　如何建立三角模型，這是我們解決實際問題的關(guān)鍵.特別是方位角的轉(zhuǎn)化，要轉(zhuǎn)化到位才能明確模型的解決方法.在模型建立之后，就是解一個或者多個有關(guān)聯(lián)的三角形，這些三角形或者有相同的邊，又或者有相關(guān)的角.以課本一道題為例：課本習(xí)題1.2中A組第10題：如圖一架飛機(jī)以326km/h的速度，沿北偏東75°的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行，18min以后，飛機(jī)由于天氣原因按命令改飛另一城市C，問收到命令時飛機(jī)應(yīng)沿什么航向飛行，此時離城市C的距離是多少？
　　分析：不妨設(shè)在18min后到達(dá)E點(diǎn)，則AE=97.8km，要求的是CE及E到C的方位角.分四步：第（1）步：△ACD中已知AD、CD及∠ADC，解三角形即可知AC、∠ACD；第（2）步：在△ABC中，已知∠ACB=133°-∠ACD，AC，BC，解三角形可知∠BAC;第（3）步：在△ACE中，∠CAE=∠BAC，AC，AE，即可知CE，∠AEC;第（4）步由飛機(jī)沿北偏東75°的航向從城市A出發(fā)向城市B飛行，可知飛機(jī)應(yīng)沿南偏西75°-∠AEC（如果為負(fù)數(shù)則為南偏東方向航行）.
　　本題如果只求CE的距離只要通過解三角形就可以得出，但是如果要求航向就要借助于方位角，如果方位角轉(zhuǎn)化不到位就很難找到。在上述例題中我們主要通過建立直角坐標(biāo)系，來明確方位角與三角形內(nèi)角的關(guān)系，由此可以看到方位角“北偏東75°”轉(zhuǎn)化為它與∠AEC的關(guān)系，這為我們最后求方向奠定了基礎(chǔ).
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書?數(shù)學(xué)必修5.
　　［2］劉云.構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)教學(xué).數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（教師版），2010.3.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”