摘 要： 逆向思維法是指為實現(xiàn)某一創(chuàng)新或解決某一因常規(guī)思路難以解決的問題，而采取反向思維尋求解決問題的方法。逆向思維是數(shù)學思維的一個重要組成部分，是進行思維訓練的載體。在初中數(shù)學課堂教學中注重并加強學生從正向思維轉向逆向思維的培養(yǎng)，能有效地提高學生思維能力和創(chuàng)新意識。本文作者從數(shù)學命題（概念、公式、定理）的教學中不斷發(fā)展學生的逆向思維，在“逆向變式”習題訓練中強化學生的逆向思維，在數(shù)學運算教學中促進學生的逆向思維，在幾何命題證明的教學中教會學生逆向思維等方面，闡述了課堂教學中如何加強數(shù)學逆向思維能力的培養(yǎng)。
　　關鍵詞: 初中數(shù)學 課堂教學 逆向思維 培養(yǎng)
　　
　　數(shù)學是思維的科學，其中逆向思維又是數(shù)學思維的一個重要組成部分，也是進行思維訓練的載體.培養(yǎng)學生逆向思維過程也是培養(yǎng)學生思維敏捷性的過程.初中數(shù)學課堂教學結果表明：許多學生之所以處于低層次的學習水平，有一個重要因素，即逆向思維能力薄弱，習慣于順向學習公式、定理等并加以死板套用，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開拓精神.因此，在課堂教學中有意識地加強逆向思維的訓練，可改變學生思維結構，培養(yǎng)學生思維的敏捷性、深刻性，從而提高分析問題和解決問題的能力.我從以下幾個方面淺談初中數(shù)學課堂教學中如何加強逆向思維的培養(yǎng).
　　一、在課堂數(shù)學命題教學中不斷發(fā)展學生的逆向思維
　　數(shù)學命題是數(shù)學知識的主體，數(shù)學命題的教學是數(shù)學教學的一個重要組成部分。數(shù)學命題包括定義、公式、公理、定理、法則等，數(shù)學命題教學的基本任務是使學生認清命題的題設與結論.如果把命題的題設與結論交換，那么所得到的命題就是它的逆命題，但一個正確命題的逆命題不一定正確，在課堂教學中可根據(jù)具體的教學內(nèi)容進行正逆向思維訓練，幫助學生正確地理解與運用命題來解決問題。
　?。ㄒ唬┻\用定義來進行逆向思維訓練.
　　作為定義的數(shù)學命題，其條件與結論是等價的，可互相推出，即定義可以正用，也可以逆用.
　　例：“互為余角”的定義教學中，可采用以下形式：
　　∵∠A+∠B=90°
　　∴∠A、∠B互為余角（正向思維）
　　∵∠A、∠B互為余角
　　∴∠A+∠B＝90°（逆向思維）
　　如“方程的解”這一概念，它就包含了以下兩方面的特征：“凡使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，就是方程的解”與“方程的解就是使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值”.
　　例：（1）a、b是方程x+3x-7=0的兩個根，求a+b的值.
　　（2）已知a≠b，且a+3a-7=0，b+3b-7=0，求a+b的值.
　　解：（1）∵a+b=-3，ab=-7，∴a+b=（a+b）-2ab=23
　?。?）由方程根的定義知，a、b是方程x+3x-7=0的兩根，∴a+b=-3，ab=7，∴a+b=（a+b）-2ab=23.
　　這兩題運用一元二次方程根與系數(shù)的關系不難求得，但就其思維過程來說:（1）是逆用定義，（2）是正用定義.
　?。ǘ┻\用公式進行逆向思維訓練.
　　數(shù)學中的許多公式、法則都可以用等式表示，等式具有雙向性，既可以用左邊的式子替換右邊的式子，又可以用右邊的式子替換左邊的式子。在代數(shù)中公式的逆向應用比比皆是，但大多學生只會從左到右順用公式，對于逆用，尤其是利用變形的公式不習慣.因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整、立體的印象，開拓思維空間.事實上，如果能夠靈活地逆用這些公式，解題時就能得心應手，左右逢源.
　　例：冪的運算性質(zhì)a?a=a，（a）=a，（ab）=ab，a÷a=a這幾個公式，如果能夠反向運用它們，就能達到簡化運算的目的.
　?。?）若a=2，a=7，則a?a=2×7=14
　　（2）已知3=6，9=2，則3=（3）÷（3）=6÷2=9
　?。?）（）?（1.5）=（）×（）×（）=（）×（×）=
　　這樣不但培養(yǎng)了學生的逆向思維，而且使學生對所學知識有一個完整的印象，避免學生所學知識的呆板和單一化.
　　例：平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b從左到右屬于整式的乘法，從右到左屬于因式分解.
　　計算：2010-2009
　　解：2010-2009=（2010+2009）（2010-2009）=4019
　　逆向運用平方差公式（因式分解），不僅提高了運算的速度，而且準確率高，使問題簡單化.
　?。ㄈ┻\用定理進行逆向思維訓練.
　　數(shù)學中的定理有的不可逆，如“對頂角相等”，其逆命題“相等的兩個角是對頂角”就是假命題.但許多定理的逆定理也是成立的.例如，平行線的性質(zhì)定理與判定定理，勾股定理及其逆定理，平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，等腰三角形的性質(zhì)及判定定理，等等.在教學中，對某些重要定理的可逆性進行探討，有利于加深對知識的理解，也有助于逆向思維能力的提高.
　　例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°.求四邊形ABCD的面積.
　　解：聯(lián)結BD
　　在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=5cm
　　∵BD=5cm，CD=12cm，BC=13cm
　　∴BD+CD=25+144=169=BC
　　∴△BDC為直角三角形
　　∴S=S+S=6+30=36
　　本題運用了勾股定理與它的逆定理，這兩個互逆的定理體現(xiàn)了數(shù)形之間的聯(lián)系，在課堂教學中應作為典型例題進行分析講解.
　　二、在課堂中利用“逆向變式”訓練強化學生的逆向思維
　　“逆向變式”即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目似曾相識的新題型．
　　例：不解方程，請判斷方程2x-6x+3=0的根的情況.可變式為：已知關于x的方程2x-6x+k=0，當k取何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？經(jīng)常進行這些有針對性的“逆向變式”訓練，創(chuàng)設問題情境，對逆向思維的形成起著很大作用．
　　例：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求證：AC=AD?AB.
　　對于此題，我們可以反過來，在△ABC中，CD⊥AB于D，且AC=AD?AB，求證：∠ACB=90°.
　　三、教學中通過各種數(shù)學運算的訓練不斷地促進學生的逆向思維
　　數(shù)學中的各種運算總是正逆交替成對出現(xiàn)的，而且可以相互轉化．如加法與減法、乘法與除法、乘方與開方，等等．加強正逆運算的轉化訓練，不但可以簡化思維過程，準確理解各種運算的實質(zhì)，還可培養(yǎng)學生的逆向思維.
　　例：計算+++…+
　　分析：由結構特征發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)可逆用分數(shù)的加、減運算法則分裂為兩個分數(shù)的差.
　　=-，=-，…，=-
　　解：原式=1-+-+-+…+-
　　 =1-=
　　四、在幾何命題的證明教學中教會學生逆向思維
　　數(shù)學的基本方法是教學的重點內(nèi)容，其中的幾個重要方法：如逆推分析法、反證法等都可看做是培養(yǎng)學生逆向思維的主要途徑.
　　（一）加強分析法教學，培養(yǎng)學生的逆向思維.
　　分析法是一種執(zhí)果索因的逆向思維方法，其推理方向是由結論到題設，論證中步步尋求使其成立的充分條件，如此逐步歸結到已知或已成立的事實，命題便獲證.該方法分析問題時要求學生養(yǎng)成“要證什么，需證什么”的思維方向，用它可以縮短已知和未知間的距離，便于尋找解題的途徑.在數(shù)學證明中，按邏輯推理順序和要求來說，應從題設條件出發(fā)，根據(jù)已知的定理和事實逐步推得要證明的結論.但從解題策略的角度來看，除了簡單的情形，這種方法并非上策.因為在一定的已知條件下，由已知的概念、定理和法則出發(fā)，可以推出的結論往往很多，要從中找到我們所需要的結論，往往很難，而且還易節(jié)外生枝，誤入歧路。若反其道行之，從要證明的結論出發(fā)，往回追溯題設條件，一般情況下，都比較容易找到通往題設條件的途徑，再反過來依此途徑便可完成一個由條件到結論的相應證明.這就是建立在逆向思維原則上的分析法的精神實質(zhì).
　　例：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的圓O交BC于D.求證：BD=CD.
　　分析：本題可由結論來尋找條件，由于AB=AC，若BD=CD，由等腰三角形的性質(zhì)（等腰三角形的三線合一），可知道AD就是△ABC底邊上的高或頂角的平分線，從而考慮聯(lián)結AD，由條件AC為⊙O直徑即可證明.
　　例:已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于O點，過點B作BE∥CD交CA的延長線于點E.求證：OC=OA?OE.
　　分析：OC=OA?OE?坩=?坩=，=?坩△BOC∽△DOA，△BOE∽△DOC?坩AD∥BC，CD∥BE.
　　（二）加強反證法教學，培養(yǎng)學生的逆向思維.
　　反證法是一種假設結論的反面成立，在已知條件和“否定結論”這個新條件下，通過推理得出與題設、公理、定理矛盾的結論，從而斷定假設不成立，原命題的結論一定正確的證明方法.很多直接證明很困難的題目，用反證法可以得到很好的解決.適當?shù)剡\用反證法，既能提高解題的靈活性，又能培養(yǎng)思維的活躍性，促進思維的發(fā)展.
　　例：求證：兩條直線相交只有一個交點.
　　已知：兩條相交直線L與L，求證：L與L只有一個交點.
　　分析：想從已知條件“兩條相交直線L與L”出發(fā)，經(jīng)過推理，得出結論“它們只有一個交點”是很困難的，因此可以考慮用反證法.
　　證明：假設L與L不止一個交點，不妨設L與L有兩個交點A和B，因為兩點確定一條直線，即經(jīng)過點A和B的直線只有一條，與已知兩條直線相矛盾.所以兩條直線相交只有一個交點.
　　綜上所述，在初中數(shù)學教學中，根據(jù)不同的教學內(nèi)容有目的、有計劃地對學生實施逆向思維訓練，逐步培養(yǎng)和發(fā)展學生的逆向思維能力，掌握解題的技巧，能使學生輕松應對數(shù)學學習，學習能力也會逐步提高.
　　
　　參考文獻：
　?。?］羅吉爾，馮奧赫.創(chuàng)造學思想錄.
　?。?］顧繼玲，章飛.初中數(shù)學新課程教學法.開明出版社，2003.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文