摘 要： 本文作者結(jié)合往屆的高等數(shù)學競賽試題，分析了與絕對值有關的最值問題的三種類型，就每種情形歸納了解決絕對值問題的方法，對于參加高等數(shù)學競賽和拓展高等數(shù)學知識與技能具有指導意義。
　　關鍵詞： 高等數(shù)學競賽試題 絕對值 導數(shù) 最值
　　
　　絕對值函數(shù)是中學數(shù)學中重要的一元函數(shù)，它的連續(xù)性，最值，單調(diào)性等都有非常直觀的幾何解釋.高等數(shù)學是中學數(shù)學的直接后繼課程，運用高等數(shù)學解決實際問題往往要處理一些包含絕對值的問題.所以，必須熟練掌握解決絕對值問題的方法.
　　高等數(shù)學競賽旨在提高學生運用數(shù)學知識解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，推動大學數(shù)學教學體系、教學內(nèi)容和方法的改革［１］.各?。ㄊ校└叩葦?shù)學競賽往屆試題中有大量關于絕對值的問題，下面結(jié)合高等數(shù)學競賽試題歸納絕對值與最值的類型和解決問題的方法.
　　1.用絕對值定義函數(shù)的最值問題
　　第一類問題，用絕對值定義函數(shù).通常做法是對定義域進行分割，去掉絕對值，將函數(shù)盡量簡化.
　　例1.2005年浙江省高等數(shù)學競賽（文專類）題：求函數(shù)f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值.
　　評注：這事實上是中學數(shù)學問題.由于函數(shù)x，x-1，x-3分別在x=0，1，3的兩側(cè)變號，因此需要將實直線分割為4個子區(qū)間，然后化簡函數(shù).在多元函數(shù)中也存在絕對值定義函數(shù)的最值問題.
　　例2.陜西省第七次大學生高等數(shù)學競賽復賽試題：求函數(shù)f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［２］.
　　評注：將多元函數(shù)中絕對值去掉要麻煩得多.這個問題中x-y，x+y，x-2分別在直線y=x的上下兩側(cè)變號，在直線y=-x的上下兩側(cè)變號，以及在直線x=2左右兩側(cè)變號，因此用這三條直線可以將xoy平面分割為7部分，然后在每個區(qū)域上化簡函數(shù)f（x，y）.在每個區(qū)域中f（x，y）都是關于x和y的一次函數(shù)，于是兩個偏導數(shù)都是0，因此在區(qū)域內(nèi)部f（x，y）不可能取到最小值，最值點只可能位于區(qū)域的邊界上.比較邊界線y=x，y=-x和x=2上點的函數(shù)值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R.
　　第二類方法是使用最優(yōu)化理論方法.此種問題事實上就是凸規(guī)劃問題，根據(jù)最優(yōu)化理論可知：凸函數(shù)在凸區(qū)域的最值只在區(qū)域的邊界上取到［３］.在例2中，用三條線將平面分割為7部分，每個部分都是平面上的凸集，而化簡后的f（x，y）是線性函數(shù)因此也是凸函數(shù)，f（x，y）只能在這7部分的邊界上取到最值.
　　2.已知最值求參數(shù)問題
　　第二類問題，已知最值（或極值），計算其中所含參數(shù)的值.通常的辦法是先計算不含有絕對值函數(shù)的最值（或極值），然后取絕對值后比較這些點處函數(shù)值的大小，得出參數(shù)的值.
　　例3.2008年浙江省高等數(shù)學競賽題［４］：求常數(shù)的值使得|cosx+x-t|=π.
　　評注：首先計算函數(shù)g（x）=cosx+x-t在區(qū)間［0，2π］的極值問題.由于g（x）單調(diào)增加，所以|g（x）|的最大值一定在區(qū)間端點處取到，比較|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1.
　　例4.2011年浙江省高等數(shù)學競賽題（文專類）［５］：求a的值，使得函數(shù)f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值為2.
　　評注：作變量代換y=x后問題等價于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值為2.先計算絕對值之內(nèi)的函數(shù)的極值點，因為是拋物線，因此最大值一定在對稱軸或區(qū)間端點處取到，比較這些點的函數(shù)值即可得到a=-2.也可以直接計算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的極值，再比較這些點和區(qū)間端點處函數(shù)值的大小可得結(jié)果.
　　3.絕對值積分的最值問題
　　第三類問題，定積分中被積函數(shù)包含絕對值，求其最值問題.
　　例5.2011年浙江省高等數(shù)學競賽（文專類）題：計算?蘩|x-t|dx.
　　評注：解決此類問題的通常方法是根據(jù)積分變量的取值范圍，將積分區(qū)間進行分割，使每個區(qū)間中被積函數(shù)不含有絕對值，積分后再利用積分區(qū)間可加性計算積分.本例中將積分區(qū)間分割成［0，］和［，1］兩個區(qū)間后分別積分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后計算在［0，1］上的最大值即可得結(jié)果2/3.
　　例6.2009年浙江省高等數(shù)學競賽題：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值.
　　評注：類似于例5，根據(jù)參數(shù)不同取值劃分區(qū)間，去掉絕對值.因為研究的是最值，所以不必要（有時候是不能）將積分先計算出來然后討論最值.第二種處理方法是直接研究這些積分表示函數(shù)的單調(diào)性，從而得出最值.令A=?蘩edt＞0（這個積分無法用牛頓——萊布尼茨公式計算出來），則x＜1當時，g′（x）=-A；當x＞1時，g′（x）=A；當-1≤x≤1時，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值.
　　4.結(jié)語
　　高等數(shù)學（微積分）中絕對值和其他問題結(jié)合往往會增加問題的難度，如何選擇合適的方法去掉絕對值是解決此類問題的關鍵.一般方法是比較絕對值內(nèi)部變量值的大小劃分區(qū)間（或者區(qū)域）去掉絕對值后分段討論.
　　參考文獻：
　　［1］浙江省高校高等數(shù)學教學研究會.浙江省大學生高等數(shù)學（微積分）競賽章程［EB/OL］.http：//www.zufe.edu.cn/document.asp?docid=5520.
　?。?］陜西省第七次大學生高等數(shù)學競賽復賽試題［J］.高等數(shù)學研究，2009，（02）：封面三.
　?。?］袁亞湘等.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學出版社，1997.
　?。?］盧興江，金蒙偉主編.高等數(shù)學競賽教程（第四版）［M］.杭州：浙江大學出版社，2011.
　　［5］田增鋒.浙江省高等數(shù)學競賽題的幾何思考［J］.考試周刊，2011，（40）：13-14.
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文