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探索高中概率論中隨機(jī)事件的關(guān)系

2011-12-29 00:00:00陳思盛
考試周刊 2011年35期


  在高中概率論中,獨(dú)立事件、對(duì)立事件、互斥事件是一些最基本的事件,很好地掌握它們能夠?yàn)槲覀冞M(jìn)一步學(xué)習(xí)概率相關(guān)知識(shí)做很好的鋪墊.為避免在以后的學(xué)習(xí)中產(chǎn)生混淆,下文就對(duì)相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件關(guān)系進(jìn)行詳細(xì)概述.
  一、隨機(jī)事件的相互獨(dú)立
  1.兩個(gè)事件的相互獨(dú)立:對(duì)任意的兩個(gè)事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),則事件A與B相互獨(dú)立.
  2.n個(gè)事件的相互獨(dú)立:一般地,對(duì)于事件A,A,…,A,若有
  P(AA)=P(A)P(A)
  P(AAA)=P(A)P(A)P(A)
  P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A)
  其中1≤i<j<k<…≤n,則稱A,A,…,A相互獨(dú)立.
  3.兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.
  例⒈設(shè)樣本空間{ω,ω,ω,ω}含有等可能的四個(gè)基本事件,又A={ω,ω},B={ω,ω},C={ω,ω},顯然有P(A)=P(B)=P(C)=,并且P(AB)=P(A)×P(B),P(BC)=P(B)×P(C),P(CA)=P(A)×P(C)但ABC={1},所以P(ABC)=≠P(A)×P(B)×P(C).
  二、互斥事件
  1.兩個(gè)事件的互斥:如果A與B不能同時(shí)發(fā)生,也就是說AB是一個(gè)不可能事件,即AB=?準(zhǔn),則P(A∪B)=P(A)+P(B).
  2.n個(gè)事件互斥:事件A,A,…,A互不相容是指它們中任意兩個(gè)事件都互斥,即:AA=?準(zhǔn),i≠j,i、j=1,2,…,n,
  則P(A+A+…+A)=P(A)+P(A)+…+P(A).
  三、對(duì)立事件
  1.兩個(gè)事件的對(duì)立:設(shè)A是一個(gè)事件,令=Ω-A,稱是A的對(duì)立事件.
  2.對(duì)立不適用于多個(gè)事件.
  四、互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別
  1.互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件,對(duì)立的概念適用于兩個(gè)事件.
  2.從集合角度看,事件A,B互斥,就是它們相應(yīng)集合的交集是空集,A不包含B,B也不包含A,空集與任何集合都不互斥;幾個(gè)事件彼此互斥,是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合是彼此交集是空集,事件A,B對(duì)立,就是事件A包含的結(jié)果的集合是其對(duì)立B包含的結(jié)果的補(bǔ)集.
  3.兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生,即至多只能發(fā)生其中一個(gè),但可以都不發(fā)生;而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生.
  4.兩事件對(duì)立是兩事件互斥的充分必要條件,兩事件對(duì)立,必定互斥,但互斥未必對(duì)立.
  例:擲一顆骰子,其樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6},若令A(yù)為出現(xiàn)1點(diǎn)之事件:A={1},B為出現(xiàn)5點(diǎn)之事件:B={5},這兩個(gè)事件A與B是互斥事件,但卻不是對(duì)立的,因?yàn)閧1}+{2}≠Ω,相應(yīng)事件C={2,3,4,5,6}是事件A的對(duì)立事件,A+C={1}+{2,3,4,5,6}=Ω,AC=?準(zhǔn).
  五、相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別
  1.互斥是在同一事件下,相互獨(dú)立是在不同事件下.
  2.單純?cè)诟怕实幕A(chǔ)上,只要P(AB)=P(A)P(B),就是獨(dú)立.互斥指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生,即:AB=?準(zhǔn),則P(A∪B)=P(A)+P(B).
  3.在使用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)時(shí),若A,B互斥,P(A∪B)=P(A)+P(B);若A,B相互獨(dú)立,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).
  4.一般情況下,相互獨(dú)立與互斥不能同時(shí)存在,若A,B中有一個(gè)概率為零,則A與B相互獨(dú)立和互斥可同時(shí)存在.
  5.互斥未必相互獨(dú)立.
  例:52張撲克牌平均分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人,A表示甲得3張K,B表示乙得2張K;則A與B互斥但不相互獨(dú)立.
  解:當(dāng)P(A)>0,P(B)>0時(shí),若A,B互斥,則A∩B=?準(zhǔn),從而P(AB)=0,但P(A)P(B)>0,因而等式P(AB)=P(A)P(B)不成立,即互斥未必相互獨(dú)立.
  6.相互獨(dú)立未必互斥.
  例:盒子里裝有m只白球,k只黑球,做有放回的摸球試驗(yàn),A表示“第一次摸到黑球”,B表示“第二次摸到白球”;則A和B是相互獨(dú)立但不是互斥的.
  解:若A,B獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)>0,從而A,B不互斥(否則,P(AB)=0,導(dǎo)致矛盾).
  7.兩事件A,B相互獨(dú)立是指事件A出現(xiàn)的概率與事件B是否出現(xiàn)沒有關(guān)系,并不是說A,B間沒有關(guān)系.相反若A,B獨(dú)立,則常有AB≠?準(zhǔn),即A與B不互斥.A,B互斥是指A的出現(xiàn)必導(dǎo)致B的不出現(xiàn),并沒有說出現(xiàn)A的概率與B是否出現(xiàn)有關(guān)系.
  例:甲投籃命中率為0.8,乙投籃命中率為0.7,每人投3次,兩人恰好都命中2次的概率是多少?
  有同學(xué)這樣解答:設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,則兩人都恰好投中兩次為事件A+B,
  P(A+B)=P(A)+P(B)=C0.8×0.2+C0.7×0.3=0.825.
  錯(cuò)誤的原因:把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮,將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和.
  正確的解答:本題為“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率”,設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A,“乙恰好投中兩次”為事件B,且A,B相互獨(dú)立,則兩人都恰好投中兩次為事件AB,于是
  P(AB)=P(A)P(B)=C0.8×0.2×C0.7×0.3≈0.169.
  事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,則A、B叫做相互獨(dú)立事件,它們同時(shí)發(fā)生的事件為AB.用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計(jì)算.
   注:“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”