摘 要： 本文通過對一道習題的研究，引出雙曲線的中點弦的存在性的探討。經過演算，分類討論，推理得出判斷中點弦是否存在的判定方法。
　　關鍵詞： 雙曲線 中點弦 存在性 斜率 平面區(qū)域
　　
　　在雙曲線中，經常遇到求中點弦的問題，首先來看一個例子.
　　例題：在雙曲線-=1中被點P（2，1）平分的弦所在的直線方程是（）。
　　A.8x-9y=7 B.8x+9y=25 C.4x-9y=6 D.不存在
　　學生易用下面的方法解決：
　　解：設所求弦與雙曲線的交點為A（x，y），B（x，y），則有
　　-=1，-=1
　　兩式相減得：-=0
　　當弦AB被點P（2，1）平分時，有x+x=4，y+y=2.代入上式可得：=，即得弦AB所在直線的斜率為.由點斜式方程可得弦AB所在的直線方程為：
　　y-1=（x-2），化簡得：8x-9y=7，故選A.
　　仔細研究發(fā)現(xiàn)直線8x-9y=7與雙曲線-=1不可能相交，（聯(lián)立兩方程消去y可得：28x-112x+373=0.易求其判別式Δ=112-4×28×373=-112×261方程無實數(shù)解）學生的做法看似合理，實際上所要求的弦根本不存在.這樣就需要探討一下雙曲線的中點弦的存在性.
　　問題：雙曲線C：-=1中是否存在以P（x，y）為中點的弦？
　　解：假設AB是以P（x，y）為中點的弦，A（x，y），B（x，y）.則有
　　-=1，-=1
　　兩式相減得：-=0
　　若AB被P（x，y）平分，則有x+x=2x，y+y=2y代入上式得：
　　-=0
　　1．當x≠x，y≠0時，可得AB所在直線的斜率k==，
　　AB所在的直線方程可寫成：y-y=（x-x）.
　　下面需驗證直線AB與雙曲線C：-=1能否有兩個交點.故聯(lián)立方程組消去y可得：
　　bx-a（x-x）+y=ab
　　化簡得：
　　b（ay-bx）x-2bx（ay-bx）x-（ay-bx）-aby=0
　?。?）當ay-bx=0時，即（bx+ay）（bx-ay）=0且k==±，此時，P（x，y）在雙曲線的漸近線上且斜率與漸近線的斜率相同.那么所求的中點弦就與漸近線重合，而漸近線與雙曲線沒有公共點，故所要求的中點弦不存在.
　?。?）當ay-bx≠0時，考查二次方程的判別式
　　Δ=［2bx（ay-bx）］+4b（ay-bx）］［（ay-bx）+aby］
　?。剑碽x（ay-bx）+4b（ay-bx）+4b（ay-bx）aby
　　=4b（ay-bx）［（ay-bx）+bx（ay-bx）+aby］
　　=4b（ay-bx）（ay+bx-2abxy+abxy-bx+aby）
　　=4b（ay-bx）（ay-abxy+aby）
　　=4aby（ay-bx）（ay-bx+ab）
　　=4aby（bx-ay）（bx-ay-ab）
　　令Δ＞0得：bx-ay＜0或bx-ay＞ab.
　　即當P（x，y）滿足bx-ay＜0或bx-ay＞ab時，以P為中點的弦存在.
　　2．當y=0時，則x=0或x=x，
　?。?）若x=0時，即P在原點，由雙曲線的對稱性（關于原點對稱）可知以原點為中點的弦存在且有無數(shù)條;
　?。?）若x=x時，斜率不存在，方程為x=x，首先保證直線與雙曲線有兩個交點，即|x|＞a.
　　此時也滿足bx-ay＞ab.
　　綜合可得雙曲線的中點弦存在的判定定理.
　　定理：雙曲線C：-=1中，若P（x，y）滿足P在原點或滿足bx-ay＜0或bx-ay＞ab時，以P為中點的弦是存在的，否則不存在.
　　為了直觀判斷，還可上述不等式條件可仿照線性規(guī)劃畫平面區(qū)域的方法畫出對應的平面區(qū)域.
　　1.bx-ay＜0即（bx+ay）（bx-ay）＜0，其對應的平面區(qū)域（不包括邊界）如圖1所示.
　　2．bx-ay＞ab，其對應的平面區(qū)域（不包括邊界）如圖2所示，加上P在原點的情形，綜合可得平面區(qū)域如圖3所示.
　　對于文章開頭的例題中：a=9，b=4，x=4，y=1，可驗證得：bx-ay=4×4-9×1=7＞0且7＜9×4=ab，不滿足定理中的不等式條件.也可畫平面區(qū)域如圖4中P的位置來判斷.兩種方法都能說明以P為中點的弦不存在.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”