摘 要： 本文主要通過運(yùn)用本科數(shù)學(xué)分析中三重積分的知識，引入球缺和橢球缺的定義，并用于解決實(shí)際生活中兩種常見的油罐儲油體積計(jì)算的問題，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的實(shí)用性功能，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。
　　關(guān)鍵詞： 球缺 橢球缺 數(shù)學(xué)教育 實(shí)際應(yīng)用
　　
　　數(shù)學(xué)教育的基本功能有：實(shí)用性功能、思維訓(xùn)練功能、選拔性功能.其中最重要的是實(shí)用性功能，數(shù)學(xué)在日常生活中有用，在今后就業(yè)中有用，在科學(xué)技術(shù)活動中有用.數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，數(shù)學(xué)模型是描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象的工具，數(shù)學(xué)是能夠產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)效益的技術(shù).
　　下面我僅就如何通過學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程，運(yùn)用其中的知識解決實(shí)際生活中的難題，談?wù)剛€人的體會和建議，供研究者參考.
　　在本科二年級的數(shù)學(xué)分析課程中，我學(xué)習(xí)了三重積分，其中聯(lián)系到如何解決實(shí)際生活中計(jì)算油罐儲油體積計(jì)算的問題.首先給出以下預(yù)備知識：
　　在空間幾何學(xué)中，球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球冠也可以看作一段圓弧繞經(jīng)過它的一個端點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)所成的曲面.
　　而用一個平面去截一個球所得的部分叫球缺.根據(jù)它們的定義，可以發(fā)現(xiàn)：球缺屬于幾何體，是“體”的概念，而球冠只是個“面”的概念.因此，球缺可以計(jì)算體積，而球冠只能計(jì)算面積.推而廣之，用一個平面去截一個橢球所得的部分叫橢球缺，其表面積稱為橢球冠.
　　結(jié)合以上預(yù)備知識，本文重點(diǎn)介紹球缺及橢球缺的體積計(jì)算公式，并應(yīng)用于解決實(shí)際生活中的計(jì)算油罐儲油容量計(jì)算問題.
　　一、球缺
　　由前面的預(yù)備知識可知：用一個平面去截一個球所得的部分叫球缺，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.球缺的體積計(jì)算公式為：
　　若球半徑r，球缺高h(yuǎn)，則球缺的體積為：π（rh-h）.
　　證明：考慮到體積計(jì)算可以用三重積分積分出來，而且這里用切片法更加容易計(jì)算，于是可以如下計(jì)算：
　　設(shè)球體的半徑為r，球缺高度為h，液體的體積為V，則此時球體的方程為：
　　x+y+（z-r）≤r，則有：
　　Case 1：h　　其中，D={（x，y）|x+y≤r-（z-r），z≤h}
　　上式?蘩π（r-（z-r））dz=π?蘩（2rz-z）dz=π（rh-h）
　　Case 2：h≥r時，球體下半部分體積為V，從中部到液面部分體積是V，則：
　　V=V+V
　　而V=×πr=πr
　　V=dxdydz=?蘩dzdxdy
　　其中D={（x，y）|x+y≤r-（z-r），r≤z≤h}
　　上式V=?蘩π（r-（z-r））dz=π?蘩（2zr-z）dz=π（rh-h-r）
　　因此V=V+V=πr+π（rh-h-r）=π（rh-h）
　　綜上所述，液面高度為h時，對應(yīng)的體積為π（rh-h）.
　　二、橢球缺
　　上述內(nèi)容研究的是三維空間中球缺體積的計(jì)算，對于球缺的相關(guān)問題在三維空間中研究得比較多，這些都可以在很多資料和教科書上查到，在了解了三維空間球冠的相關(guān)定義、體積公式后，在此基礎(chǔ)之上能否將其相關(guān)的問題平行或者相似地推廣到三維空間中橢球上呢?
　　先給出橢球缺的定義：用一個平面去截一個橢球所得的部分叫橢球缺，其表面積稱為橢球冠.
　　下面給出由一個平行于坐標(biāo)軸的平面截一個橢球所得的橢球缺的體積計(jì)算公式：
　　設(shè)橢球體的標(biāo)準(zhǔn)方程為++≤1，在某一軸上取與軸垂直的平面d，則其體積計(jì)算公式為：
　　若平面d平行于x軸，則體積為：V=（1-）
　　若平面d平行于y軸，則體積為：V=（1-）
　　若平面d平行于z軸，則體積為：V=（1-）
　　證明：
　　設(shè)任意一個橢球體為++≤1，在軸z上取與軸z垂直的平面z=d，（d∈［0，c］）和平面z=c，求這兩個平面之間的那部分橢球體的體積.
　　采用切片法，有V=dxdydz=?蘩dzdxdy，
　　其中，Dz是平行于xoy平面的橢圓形切片，
　　Dz=（x，y）|+≤1-，d≤z≤c，
　　即：Dz=（x，y）|+≤1，d≤z≤c
　　它的面積為：
　　S=π（a）（b）=πab（1-）
　　于是橢球缺的體積為：
　　V=?蘩πab（1-）dz
　　=πab?蘩（1-）dz
　　=πab·（z-）cd
　　=πab·（-d+）
　　若設(shè)該橢球冠的高度為h，則有d=c-h，代入上式得
　　V=（1-）（1）
　　同理可得，
　　在平面x=d，（d∈［0，a］）和平面x=a之間的那部分橢球體的體積為
　　V=（1-）（2）
　　在平面y=d，（d∈［0，b］）和平面y=b之間的那部分橢球體的體積為
　　V=（1-）（3）
　　注：因?yàn)榍蝮w是橢球體當(dāng)a=b=c時的特殊情況，若令（1）（2）（3）式中a=b=c=r，則有
　　V=πh（r-）.
　　這跟上面所求的球缺的體積是相對應(yīng)的.
　　三、球缺、橢球缺在實(shí)際生活中的應(yīng)用
　　一般來說，從油田開采出來的石油需裝入油罐運(yùn)送到煉油廠，其產(chǎn)量一般靠流量計(jì)估測.而由于液態(tài)石油的特殊性，測量過程往往誤差較大，導(dǎo)致產(chǎn)油量與輸出量嚴(yán)重不符.這是各中小型油田一直沒有解決的生產(chǎn)實(shí)際問題.
　　考慮到在液化石油氣的儲運(yùn)過程中，用到的儲油罐容器以球形和橢球形最為常見.為解決小型油田的問題，可事先在各類油罐安裝上測定石油頁面高度的容器，然后根據(jù)油罐的種類，對照其計(jì)算體積的公式，便可以通過計(jì)算機(jī)，直接由液面高度測出石油的體積.這就解決了采油廠的產(chǎn)油量與輸出量之間較大誤差的難題.
　　下面是實(shí)例：
　　先以球缺型油罐為例，油罐半徑為3.5m，編入Excel中，計(jì)算結(jié)果如下表：（高度單位：米，體積單位：立方米）
　　因此油罐計(jì)量人員可以根據(jù)此類的表格來計(jì)算液體體積，在石油儲運(yùn)行業(yè)中此表也被稱為倉容表.工作人員測量出液面的高度，就可以對照此表得出所儲存的液體體積.
　　再若是橢球缺型油罐，若橢球型油罐的三個參數(shù)分別為5m、4m、3m，則同理可以得出其倉容表：（高度單位：米，體積單位：立方米）
　　這樣可以很精確地得出儲油的體積數(shù)值，再由密度可以求出儲油的質(zhì)量大小，也可以考慮溫度的影響，因而更加精確地測量出了油罐儲油量，從而解決了小型油庫的問題.
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”