摘 要： 在學(xué)時較緊，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱的情況下，如何有效地對高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適度取舍、增刪，優(yōu)化教學(xué)過程以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和質(zhì)量呢？文章以行列式一章的教學(xué)為例展開討論，給出了一套行之有效的改進(jìn)方案。
　　關(guān)鍵詞： 高等代數(shù) 行列式 教學(xué)
　　
　　在普通高師數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課中，高等代數(shù)是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高。但大一學(xué)生在學(xué)習(xí)中都普遍反映高等代數(shù)“難學(xué)”、“聽課容易解題難”。分析問題的成因，客觀上是中學(xué)代數(shù)主要以形象、通俗的語言方式進(jìn)行概念的表述，并且學(xué)生也有較多的感性認(rèn)識作基礎(chǔ)，而高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的抽象化、形式化程度較高，對學(xué)生思維水平要求也更高。從主觀上來講，學(xué)生長期在中學(xué)形成的思維方式及學(xué)習(xí)習(xí)慣與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容不相適應(yīng)，已有的知識結(jié)構(gòu)、思維方式不易得以正向遷移。因而學(xué)生對學(xué)好高等代數(shù)的信心不足，學(xué)習(xí)質(zhì)量不高，甚至對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)也會造成一定的負(fù)面影響。
　　為改善這種狀況，提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣和質(zhì)量，我們有必要在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上進(jìn)行改革。由于普通高師的教育目標(biāo)主要是培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，因此課程內(nèi)容在堅持夠用、實用與可接受原則基礎(chǔ)上進(jìn)行適度取舍、增刪；優(yōu)化教學(xué)過程，沿著激疑、設(shè)疑和釋疑這一線索開展課堂探索；在教學(xué)中要返璞歸真，從源頭講起，講清問題的來龍去脈，將豐富的數(shù)學(xué)思想過程暴露出來，再講推理，最后抽象化和形式化。我將以行列式一章的教學(xué)為例談點認(rèn)識。
　　一、概念的引入
　　行列式是在尋求線性方程組公式解的過程中產(chǎn)生的，是從大量的具體問題中抽象出來的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的由特殊到一般的辯證思想。本章的教學(xué)從二、三元線性方程組的公式解入手，激發(fā)學(xué)生探求元線性方程組的公式解的好奇心。
　　首先，用中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的消元法求解二元線性方程組為例引進(jìn)二階行列式的定義， 并明確地告訴學(xué)生：行列式只不過是一個為簡化書寫而用的符號，并引導(dǎo)學(xué)生探求三元線性方程組的公式解，給出三階行列式的定義。其次，組織課堂討論，分析出二、三階行列式的特點，以三階為例：①三階共6項，即3！項，其中都是一半帶正號，一半帶負(fù)號；②每項都是位于不同行不同列的3個元素之積；③每項的行下標(biāo)依123自然排列，列下標(biāo)恰是1~3的全排列。提出問題：哪些項帶正號？哪些帶負(fù)號？與列下標(biāo)的排列是否有關(guān)？由此引出排列的反序數(shù)與奇偶排列的概念及相關(guān)結(jié)論。
　　利用排列的奇偶性回頭分析二、三階行列式的各項符號與列下標(biāo)排列的奇偶性之間的關(guān)系，并由它們的結(jié)構(gòu)規(guī)律來定義n階行列式。
　　利用行列式定義計算幾個特殊行列式，既鞏固對定義的理解與掌握，又為學(xué)習(xí)行列式計算技巧打好基礎(chǔ)：①對角形行列式；②上（下）三角形行列式。
　　二、行列式的性質(zhì)研究
　　行列式作為一種數(shù)學(xué)工具，具有哪些“性能”、特點？引導(dǎo)學(xué)生一起探索行列式的基本性質(zhì)：①轉(zhuǎn)置運算；②換法運算；③倍法運算；④和分解法運算；⑤消法運算。
　　由于教材中要運用引理3.3.1［１］去證明轉(zhuǎn)置運算和換法運算，而引理3.3.1［１］的證明對多數(shù)學(xué)生而言顯得較為抽象，講解下來花較多時間影響進(jìn)度，且效果也往往不太理想，所以，我們放棄了引理3.3.1［１］（讓學(xué)生作為課后自習(xí)材料），而是運用以上兩個定義與換元法給出了轉(zhuǎn)置運算和換法運算性質(zhì)的證明。以轉(zhuǎn)置運算性質(zhì)的證明為例：
　　三、補充行列式的一個重要性質(zhì)
　　在行列式的計算中，三角形法是最基本的方法，學(xué)生善不善于將一個行列式化為三角形，不僅影響本章書的學(xué)習(xí)，而且影響到后面矩陣，以及利用矩陣討論方程組這些理論的學(xué)習(xí)。因此，我們補充了如下性質(zhì)。
　　性質(zhì)：行（列）的消法運算可化行列式為三角形行列式。
　　性質(zhì)的證明過程實際上也給出了化行列式（包括矩陣）為三角形的一種最基本的方法，為后面的繼續(xù)學(xué)習(xí)打點基礎(chǔ)，減輕后邊相關(guān)章節(jié)的教學(xué)負(fù)擔(dān)。應(yīng)用上述性質(zhì)證明：
　　例1 A 0B C=|A||C|.（實際課堂教學(xué)中不采用分塊寫法）
　　例1既鞏固了對補充性質(zhì)的學(xué)習(xí)，又為論證依行依列展開定理奠定基礎(chǔ)。
　　四、依行依列展開定理的證明
　　教材中定理3.4.1［1］的證明篇幅太長，在乘積項的符號的確定上，學(xué)生在課堂上須花較多的時間思考與想象，講解花時過多，但如果應(yīng)用上述例1則能較輕松解決，學(xué)生接受也快，效果較好。
　　五、幾種計算技巧的介紹
　　行列式有許多種計算技巧，課堂教學(xué)上不可能介紹很多，但有幾種卻是必須作為教學(xué)任務(wù)去努力完成的：①化為三角形等熟知型法；②遞推法與歸納法；③分離因子法；④降階法與升階法。
　　其中，前兩種是基本的，后兩種則各有其應(yīng)用與教育意義。分離因子法不僅對簡化文字行列式的計算與討論有實際意義，而且對中學(xué)因式分解有應(yīng)用價值，更能直接運用到后面矩陣特征根的計算上去；另外，學(xué)生學(xué)習(xí)了依行依列展開定理之后，常常是看到一個行列式動不動就降階展開計算，通過介紹升階法讓學(xué)生接受一次辯證唯物主義教育，同時，也能與線性變換一章中線性變換與矩陣的轉(zhuǎn)換，抽象與具體的辯證轉(zhuǎn)換形成呼應(yīng)。
　　六、應(yīng)用與現(xiàn)實背景
　　研究行列式的一點應(yīng)用，通過學(xué)習(xí)克拉默法則呼應(yīng)開始激疑的“元線性方程組是否也如二、三元線性方程組一樣有公式解呢？”，克拉默法則的證明可在課時較緊情況下安排學(xué)生課外自習(xí)，在第五章學(xué)習(xí)完可逆矩陣后，也可用矩陣方法回頭給予證明。另外，課堂上引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識：二階行列式就是平行四邊形的面積，且其值可以通過代表它的一組鄰邊的向量按乘法法則展開得來；三階行列式是平行六面體的體積；已知頂點坐標(biāo)或三邊方程，就可以用行列式來表示三角形面積等。
　　高等代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)不是兩個相互斷裂的層面。在教學(xué)上，要使學(xué)生在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，體會到高等代數(shù)之于中學(xué)數(shù)學(xué)的居高臨下指導(dǎo)意義。
　　故有a-2b+c=0，從而a，b，c成等差數(shù)列．
　　對于中學(xué)數(shù)學(xué)的一些典型問題比如求函數(shù)的解析式，多項式的因式分解等問題，如果能構(gòu)造適當(dāng)?shù)男辛惺剑材芷鸬绞掳牍Ρ兜男Ч?。這就要我們在習(xí)題課上通過一些例子讓學(xué)生多了解。
　　在高等代數(shù)教學(xué)中，我們要重視講清楚數(shù)學(xué)事實的“來龍去脈”，要善于把相關(guān)問題“返璞歸真”，對教材要有“整局觀念”，重視“瞻前顧后”。如行列式這章書的教學(xué)，我們要講清楚其來源與應(yīng)用背景；既瞻前——中學(xué)數(shù)學(xué)，又顧后——矩陣、線性變換等各章的聯(lián)系，注意利用教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義思想教育。整章書的教學(xué)循著激疑、設(shè)疑和釋疑、解疑這一線索開展課堂探索，學(xué)生的科學(xué)探索的素養(yǎng)也能得到培養(yǎng)。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”