在小學數(shù)學幾何學習中為學生提供更多的操作機會，固然是基于適應(yīng)兒童好奇愛動的天性，但更重要的是由數(shù)學幾何知識本身的特性所決定的。實踐證明，在小學幾何教學中，吸引和指導學生介入操作過程，可以為幾何知識的內(nèi)化尋找到一條較佳的渠道。當然，由從操作到內(nèi)化并不存在一條簡單的線性因果關(guān)系。我認為，為學生設(shè)置的操作活動必須經(jīng)過以下幾個方面的優(yōu)化，才能有效地促進幾何知識的內(nèi)化。
　　一、通過操作引起認知矛盾，激活學習內(nèi)驅(qū)力
　　小學生通過操作來學習幾何知識，往往能激發(fā)他們極大的好奇心和興趣。但是兒童的好奇心和興趣帶有很大的自我中心成分，對它的利用應(yīng)當是有限度的、有指向的。通過操作激發(fā)學生的學習動機，關(guān)鍵在于引起學生新舊知識的矛盾沖突，產(chǎn)生認知不協(xié)調(diào)。新知識的獲得在某種意義上講，是已有知識結(jié)構(gòu)的一種發(fā)展。當已有的知識不適合新問題的解決時，學生就會產(chǎn)生認知矛盾或認知不協(xié)調(diào)。這種矛盾是推動認識發(fā)展的內(nèi)在動力，由它激起的學習動機最為持久，因而也最有助于知識的內(nèi)化。例如，教學“圓的周長”時，讓學生通過把鐵絲圍成的圓圈截斷拉直，或用繩子甩動旋轉(zhuǎn)成圈，或測量自行車輪沿地上直線行駛一圈的長度等模擬操作，逐步引發(fā)學生的認識困惑，使他們感到用這些方法測量圓周長的不便和繁瑣，產(chǎn)生學習更簡單的方法的求知欲。又如，教學“圓的面積”時，需要辯證地認識曲線與直線的關(guān)系，視圓為方，化曲為直。它與學生的日常觀念是矛盾的，單靠教師講述或直觀演示，學生并不能體會和解決這種矛盾，可讓學生親自動手操作，把圓逐漸細分，使各個小扇形的弧逐漸變“直”（如下圖）。
　　學生在連續(xù)的操作過程中，隨著圖形的變化產(chǎn)生巨大的驚奇和大膽的想象，如繼續(xù)細分“弧”越變越直（如下圖）。
　　認知的矛盾驅(qū)使學生渴望得到最終的正確解答，這就為知識的內(nèi)化奠定了動力基礎(chǔ)。
　　需要指出的是，在操作基礎(chǔ)上形成的認知矛盾不僅是為內(nèi)化提供非認知條件（即機動條件），而且在很多情況下還為內(nèi)化提供認知條件。也就是說，認知矛盾的轉(zhuǎn)化直接導致新知的內(nèi)化。在幾何教學中，大量新知識都是以操作為基礎(chǔ)，并由舊知轉(zhuǎn)化或遷移而來的。像圓面積的計算公式可以通過拼三角形、長方形、平行四邊形、梯形等操作活動，借助已有的面積計算知識進行推導。如下圖：
　　由此可知，通過操作引發(fā)認知矛盾對于幾何知識的內(nèi)化具有雙重功效，它是那些只引起一般興趣、好奇的操作活動所無法比擬的。
　　二、通過操作引導反身抽象，構(gòu)建活動原理
　　“反身抽象”（也叫反省抽象或反思抽象）是對主體動作自身的協(xié)調(diào)、重組、再建，是由一系列操作構(gòu)成的。研究和實踐都表明，反身抽象一般要經(jīng)歷實物操作、表象操作和符號操作這幾個階段或環(huán)節(jié)。實物（或?qū)嵨镄裕┎僮髦饕峭獠楷F(xiàn)實動作的擺弄、觸摸、割補、拼接等。表象操作主要是具體形象的邏輯思考和語言的表達，它由低級到高級、由具體到概括、由外部到內(nèi)部逐步轉(zhuǎn)化。我們在幾何教學中可以建立一種“動手——動眼——動腦（包括動口）”有機連動的操作教學模式，引導學生逐步完成幾何知識的內(nèi)化。
　　例如，教學“長方形面積的計算”時，可以先讓學生連續(xù)進行實物性操作：用面積單位擺滿一個長方形。通過數(shù)出所擺面積單位的個數(shù)知道面積的平方數(shù)，或根據(jù)長方形已知的長和寬只擺一行與一列的面積單位，或根據(jù)每排所擺的個數(shù)和所擺的排數(shù)通過乘法計算求得面積的平方數(shù)，并說出每個長方形每排面積單位的個數(shù)及排數(shù)與長方形的長和寬之間有什么關(guān)系。接著讓學生擺脫實物性的擺弄，進行表象操作，觀察幻燈顯示的幾個大小不同的長方形，根據(jù)圖形已知的長與寬，在感知與想象中完成操作：沿長擺幾個面積單位，沿寬擺幾排，一共擺多少個面積單位，面積是多少。如下圖：
　　最后，水到渠成地進入符號操作階段，讓學生思考、討論“長方形的面積與什么有關(guān)”“面積的平方數(shù)與長和寬的長度有什么關(guān)系”“求長方形的面積需要知道哪些條件”等問題。學生在充分感知、觀察和想象的基礎(chǔ)上，通過分析比較、歸納總結(jié)出長方形面積計算公式，實現(xiàn)了由感性認識到理性認識的飛躍，知識的內(nèi)化也逐漸完成。
　　反身抽象源于實物或?qū)嵨镄圆僮?，這種操作是內(nèi)化的基礎(chǔ)。沒有它，難以產(chǎn)生抽象思維形式，如概念的判斷、推理等。這種思維形式是不能從外部客體中獲得的。因此，在小學幾何教學中，應(yīng)盡可能多地組織學生進行實物或?qū)嵨镄圆僮鳎惠p易以教師的演示來取代學生的感知。但是，這種操作只是內(nèi)化的起點，它所體現(xiàn)的思維還是運作性的。由此而產(chǎn)生的“概念”“判斷”乃至“推理”完全離不開特定的具體動作，因而遠不能揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系與法則。所以，應(yīng)在充分體驗的基礎(chǔ)上，引導學生擺脫實際動作，進入較高級的表象操作階段，或者在體驗的同時就引導學生進行表象操作。表象操作階段應(yīng)特別注意兩點：1.加強觀察的指導。學生的觀察是與教師的直觀演示相關(guān)的一種活動，教師無論是進行實物性操作演示，還是運用幻燈片等手段進行演示，都應(yīng)當輔以語言的說明和指導，以規(guī)范調(diào)控學生的感知，使之與思維初步融合，培養(yǎng)學生的觀察力和直覺思維能力。2.進行必要的聯(lián)想和想象練習。小學幾何教學的一項重要任務(wù)是培養(yǎng)學生的空間觀念。它不僅離不開實物操作、觀察，同樣也離不開聯(lián)想和想象，而且聯(lián)想和想象由于擺脫了眼前實在的形象，對具有某種概括性的表象進行操作，抽象程度已大大提高，因此更有利于學生幾何知識的內(nèi)化。如對圖形進行割補、填缺、移位、轉(zhuǎn)化、作輔助線等等，啟發(fā)學生進行想象，既獲得最佳的效果，又發(fā)展了空間想象力。
　　表象操作雖然具有一定的概括水平，但它仍然離不開具體形象的支撐，而內(nèi)化最終是在符號操作的層次上完成的。因此，教師要善于抓住契機，引導學生對表象進行加工、整理，通過分析綜合、分類比較、抽象概括、判斷推理等思維活動，在符號操作的水平上理解、內(nèi)化新知。為了檢驗學生思維的抽象化、符號化程度，通常還必須為學生提供具有無關(guān)特性干擾的例證（包括肯定例證和否定例證）讓他們判斷。例如，教學“平行線”時，可以通過操作、演示使學生從總體上了解兩條直線的幾種位置關(guān)系，并從中分離出“平行”這一種情況。在分類的背景中初步引入概念，為思維活動的深入發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。而后，教師出示鐵軌、雙杠、練習本等圖形的兩條長邊和兩條寬邊，讓學生在觀察的基礎(chǔ)上進行歸納推理，找出平行線的共同特征，從而揭示平行線的概念。與此同時，還可以讓學生深入地思考并用語言表達出垂線和平行線的不同，以強化概念的內(nèi)涵。在學生建立平行線的概念后，讓學生舉出生活中平行線的實例，并提供各種肯定例證的變式和否定例證讓學生辨別，并說明理由，進一步完善平行線的概念，檢查學生在概念、符號水平上對知識的內(nèi)化情況。
　　三、通過操作引發(fā)主體意識，培養(yǎng)能動品格
　　操作活動本質(zhì)上是主體性的，因為它的施動者是學生本人。它誘發(fā)學生的興趣，尤其是激活了推動學習活動的最重要的主觀因素和認知矛盾，特別有助于建立學生主體的認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展其思維能力。所有這些，都決定組織操作活動對培養(yǎng)學生的主體性具有最重要的意義和作用，而主體性又是實現(xiàn)知識內(nèi)化的必不可少的條件。
　　當然，學生的操作活動畢竟處于教師的指導之下，它是否真正體現(xiàn)出學生的主體性，在很大意義上取決于教師的指導藝術(shù)。在教學過程中，教師可從以下幾方面培養(yǎng)學生學習幾何知識的主體性：1.鼓勵學生獨立操作，主動發(fā)現(xiàn)。這樣可以使學生獨立提出假設(shè)、操作驗證、推導演算等，從中經(jīng)歷獲取知識的動態(tài)過程，從而提高內(nèi)化的質(zhì)量。如教學“圓錐的體積”時，可以讓學生先進行大膽地猜測，然后動手操作和驗證。2.鼓勵學生發(fā)散思維，標新立異。這不僅可以發(fā)展學生的主動性，而且有助于發(fā)展其認知的風格和個性，推動創(chuàng)造性思維的發(fā)展。例如，教學“三角形面積公式”時，有的學生用割補法把三角形拼成長方形，有的則用折紙法把三角形折成兩個重疊的長方形，從而殊途同歸地利用舊知推導出三角形的面積計算公式。這些獨立發(fā)現(xiàn)的見解，都可以視為創(chuàng)造而加以熱情的鼓勵和肯定。這對培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)，加速學生幾何知識的構(gòu)建和內(nèi)化無疑具有莫大的益處。3.鼓勵學生交流思想，糾誤自正。學生的獨立操作與思考，難免會出現(xiàn)疏漏、片面、混沌不清乃至錯誤。對此，教師應(yīng)從保護學生探索的積極性、發(fā)揮學生群體自我教育的立場出發(fā)，因勢利導地組織學生展開討論與爭辯，切忌輕率否定。例如，教學“環(huán)形面積的計算”時，有學生提出把環(huán)形從中間拉開，可以拉成梯形，再利用梯形的面積公式來計算環(huán)形面積。這一想法并不恰當，但其中也有合理成分。教師就此組織學生討論，有的學生認為環(huán)形拉不成梯形；有的學生認為可以想象成梯形，因為環(huán)形的內(nèi)外圓都可以拉直，面積沒變。教師充分肯定這一想象的合理性，但同時也指出這種想象在實際操作中的困難，并不失時機地引導學生用割補法進行探究，使學生在互相啟發(fā)、討論中找到解決問題的方法。
　　當然，鼓勵不等于放任；相反，它深刻地體現(xiàn)了教師主導作用的發(fā)揮。它要求教師在鼓勵學生進行獨立主動的操作過程中，于學生認知活動的關(guān)鍵處（即前面所說的認知矛盾、認知困惑處等）進行點撥、啟發(fā)、指導。事實證明，這種點撥、啟發(fā)和指導最有助于引發(fā)學生主動探究的意向，從而加快知識內(nèi)化的進程。例如，教學“三角形內(nèi)角和”時，可首先利用學生錯誤的日常直覺印象設(shè)疑，讓學生比較三個面積、周長差異較顯著的三角形，說出哪個三角形內(nèi)角和最大、最小。在學生眾說紛紜、相持不下的情況下，教師適時引導，組織學生開展量、折、剪、拼等操作活動，使學生恍然大悟，在驗證的愉悅中了解了三角形內(nèi)角和的大小與邊的長短、面積的大小無關(guān)，進而掌握知識的內(nèi)涵。
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