人教版教材《數學》六年級下冊第95頁介紹了古典數學名題《七橋問題》：
　　18世紀東普魯士的哥尼斯堡城，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯系起來（如圖1）。有人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點？
　　這個問題似乎不難，誰都樂意用它來測試一下自己的智力?？墒牵l也沒有想到，這是一個不可能問題。因為在當時，誰也沒有找到一條這樣的路線，連以博學著稱的大學教授們，也感到一籌莫展。“七橋問題”難住了哥尼斯堡的所有居民，哥尼斯堡城也因“七橋問題”而出了名。
　　哥尼斯堡七橋問題傳開了。1735年，瑞士的大數學家歐拉在俄國彼得堡聽到了這個問題，并引起極大的興趣。歐拉沒有去過哥尼斯堡，他也沒有去親自測試可能的路線。他知道，如果沿著所有可能的路線都走一次的話，一共要走5040次，就算是一天走一次，也需要13年多的時間。實際上，歐拉只用了半天時間就解決了七橋問題。
　　剖析一下歐拉的解法是饒有趣味的。
　　首先，歐拉把七橋問題抽象成一個合適的“數學模型”。他想：兩岸的陸地與河中的小島，都是橋梁的連接點，它們的大小、形狀均與問題本身無關。因此，不妨把它們看做是4個點。7座橋是7條必須經過的路線，它們的長短、曲直，也與問題本身無關。因此，不妨任意畫7條線來表示它們（如圖2）。
　　就這樣，歐拉將七橋問題抽象成了一個“一筆畫”問題。怎樣不重復地通過7座橋，變成了怎樣不重復地畫出一個幾何圖形的問題。
　　原先，人們是要求找出一條不重復的路線。歐拉想，成千上萬的人都失敗了，這樣的路線也許是根本不存在的。如果根本不存在，硬要去尋找它豈不是白費力氣！于是，歐拉接下來著手判斷：這種不重復的路線究竟存在不存在？由于這么改變了一下提問的角度，歐拉抓住了問題的實質。
　　最后，歐拉認真考察了一筆畫圖形的結構特征。
　　歐拉發(fā)現，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個特點：每當你用筆畫一條線進入中間的一個點時，你還必須畫一條線離開這個點。否則，整個圖形就不可能用一筆畫出。也就是說，單獨考察圖中的任何一個點（除起點和終點外），它都應該與偶數條線相連；如果起點與終點重合，那么，連這個點也應該與偶數條線相連。
　　在七橋問題的幾何圖中，B、C、D三點分別與3條線相連，A點與5條線相連。連線都是奇數條。因此，歐拉斷定：一筆畫出這個圖形是不可能的。也就是說，不重復地通過7座橋的路線是根本不存在的！
　　歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了如下有關一筆畫的三條結論：
　?。?）凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。
　?。?）凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點
　?。?）其他情況的圖都不能一筆畫出。
　　歐拉把它們歸納為：如果一個網絡是連通的并且奇點的個數等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則，它不可以一筆畫出。
　　這就是數學上著名的歐拉定理，運用它就可以很方便地判斷一個圖形是否可以一筆畫出。例如，在圖3中，①②③④⑥是連通網絡，②和③沒有奇點，①和⑥只有2個奇點，它們都可以一筆畫出；④有4個奇點，不能一筆畫出；⑤是不連通網絡，也不能一筆畫出（盡管它的奇點個數為0）。
　　由于歐拉研究一筆畫問題的貢獻，一筆畫問題又叫歐拉通路問題，它的應用非常廣泛。例如，郵電通路問題就是一個典型應用。歐拉在研究這類問題時，認為這是一門新的幾何學分支，他稱之為“位置幾何學”。后來，這門數學分支被正式命名為“拓撲學”。歐拉對七橋問題的研究，是拓撲學研究的先聲。到19世紀的最后幾年里，法國數學家龐加萊開始系統(tǒng)地研究拓撲學，正式奠定了這門數學分支的基礎。
　　現在，拓撲學已成為豐富多彩的一門數學分支。
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