田文婧，類淑河，管長龍，馬海燕，薛 川

(1.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)系，山東青島 266100;2.中國海洋大學(xué)物理海洋實驗室，山東青島 266100)

破碎波群間隔統(tǒng)計分布

田文婧1，類淑河1，管長龍2，馬海燕1，薛 川1

(1.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)系，山東青島 266100;2.中國海洋大學(xué)物理海洋實驗室，山東青島 266100)

基于一系列實驗室風(fēng)浪破碎實驗，討論破碎波群間隔的統(tǒng)計分布。實驗時風(fēng)速分別設(shè)定在6～9 m/s間幾個不同的風(fēng)速水平，破碎波群間隔定義為兩個相繼發(fā)生破碎的波群中破碎首發(fā)時刻之間的時間間隔，破碎依據(jù)波面信號和實驗者同步記錄的破碎標(biāo)記信號判別，分布擬合檢驗采用Kolmogorov-Smirnov檢驗。數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明:1)所有實驗信號的破碎波群間隔都服從Gamma分布;2)低風(fēng)速情形的破碎波群間隔大多服從指數(shù)分布——Gamma分布的一種特殊情形;3)相同實驗條件下的破碎波群間隔具有相同的分布。這意味著破碎波群的發(fā)生可以視為一種更新過程。

風(fēng)浪破碎;波群;破碎波群間隔;Gamma分布;更新過程

風(fēng)浪的群發(fā)性是風(fēng)浪場的重要特性。波群的形成以及它的特征與許多海洋問題有關(guān)，特別是與海岸和海洋工程有著密切的關(guān)系，波群的出現(xiàn)有時會對海上船只、建筑物、海岸防護(hù)堤以及近岸建筑等造成嚴(yán)重的損害［1-4］。

關(guān)注波群的另一個重要原因是它與破碎波的發(fā)生也密切相關(guān)。Donelan［5］等人最早討論海上白冠破碎的群發(fā)性;Holthuijsen and Herbers［6］指出破碎明顯受波群影響，他們的觀測中有1/3的波群中包含破碎波，70%的破碎發(fā)生在波群中。

破碎波群的發(fā)生率是衡量波群破碎狀況的一個基本指標(biāo)，它定義為單位時間內(nèi)發(fā)生的破碎波群的個數(shù)。目前關(guān)于這一指標(biāo)的研究很少，破碎發(fā)生的頻繁程度更多地基于單個波定義，比如常用的破碎頻率、破碎概率［7-9］。Babanin［10］指出破碎應(yīng)該視為波群的行為，一個波群內(nèi)相繼發(fā)生的破碎可以看作是一次破碎事件，給出了波群破碎概率的定義。類淑河［11］提出以隨機(jī)點過程的理論模型刻畫風(fēng)浪破碎的間歇性和隨機(jī)性，在這一理論框架下，破碎波群發(fā)生率正對應(yīng)點過程的平均強(qiáng)度，概率意義更清晰。

無論是破碎波群發(fā)生率還是波群破碎概率，都只是平均意義下的統(tǒng)計量，要完整刻畫破碎發(fā)生的間歇性，破碎波群間隔及其統(tǒng)計分布才是更合適的研究對象。根據(jù)更新過程的理論，只要觀測時間足夠長，平均破碎間隔的倒數(shù)漸近于破碎波群發(fā)生率。從而它也可以通過破碎波群間隔估計。

這里主要目標(biāo)是討論破碎波群間隔的統(tǒng)計分布。目前還沒有見到關(guān)于破碎波群間隔的深入研究。而關(guān)于波群間隔的研究，則可以追溯到Rice在半個世紀(jì)以前的工作。Rice［12-13］討論作為Gaussian過程的噪聲中跨零點之間和噪聲流最大值之間的間隔分布;Longuet-Higgins［14-15］分別研究了窄譜的Gaussian過程和平穩(wěn)隨機(jī)函數(shù)的任意跨任意水平點之間的間隔分布。后來，Ochi and Sahinoglou［2-3］分別討論了隨機(jī)海浪的波群持續(xù)時間與波群間隔的概率分布，得出的分布更接近于Gamma分布，而不是一般認(rèn)為的指數(shù)分布，提到用更新過程理論計算波群發(fā)生概率;Dawson，Kriebel and Wallendorf［4］在實驗室設(shè)計了一系列海浪實驗，驗證關(guān)于波群特征量的理論結(jié)果與實驗結(jié)果的一致性。

基于一系列風(fēng)浪破碎實驗，研究破碎波群間隔的統(tǒng)計分布。介紹實驗和破碎波群間隔的定義;給出了實際破碎波群間隔序列的直方圖及其分布擬合，并利用Kolmogorov-Smirnov檢驗對間隔序列進(jìn)行了分布擬合檢驗，討論了破碎波群發(fā)生率與平均破碎波群間隔的關(guān)系。

1 實驗及破碎波群間隔的定義

1.1 實驗

實驗在大型風(fēng)浪流水槽中進(jìn)行。實驗水槽尺寸65.0 m×1.2 m×1.5 m(長×寬×高)，實驗時水深0.70 m。波面位移采用實驗室自主研發(fā)的OUC-2型通道鉭絲測波儀測量，采樣頻率為25 Hz。實驗風(fēng)區(qū)選擇離出風(fēng)口 30.0 m 和 34.2 m 兩個位置，在每一位置，設(shè)計 6.35 m/s、7.0 m/s、7.5 m/s、8.0 m/s和 9.0 m/s等不同風(fēng)速，共進(jìn)行了30次風(fēng)浪破碎實驗。實驗時實驗者借助連接于測波儀的電容器標(biāo)記通過觀測點的破碎事件，破碎標(biāo)記信號與波面信號同步。現(xiàn)場有一臺Sony錄像機(jī)對著觀測點波面連續(xù)錄像，以備事后校核破碎標(biāo)記。

1.2 破碎波群間隔的定義

根據(jù)Ochi and Sahinoglo［2-3］中提到的波群定義方法，對波峰點利用三次樣條插值獲得包絡(luò)，超過某一閾值水平的包絡(luò)中所包含的一組相鄰的波稱為一個波群，如圖1所示，其中PQ兩點之間包含的4個波，可視為波群;而MN兩點間只包含一個波峰，因此不能稱為波群。在此之前先利用RWR(riding wave removal method)方法濾掉了原始波面信號中的畸行波。包含現(xiàn)場破碎標(biāo)記信號的波群稱為破碎波群，這種方法的判定結(jié)果與采用其它破碎判據(jù)方法判定的破碎波群有很好的一致性。破碎波群間隔定義為兩個相鄰破碎波群中第一個破碎標(biāo)記之間的時間間隔。

圖1 波群的定義Fig.1 Definition of intervals between breaking wave groups

關(guān)于波群的閾值水平，Dawson，Kriebel and Wallendorf［4］曾使用過0.2～0.6倍的有效波高。通過分析發(fā)現(xiàn)，如果閾值水平過低，波群內(nèi)包含非接連破碎波的波群數(shù)目就增多;反之，如果閾值水平過高，包含破碎波的波群數(shù)目就過少。經(jīng)反復(fù)比較，選定波群閾值水平為0.4倍的有效波高。

2 結(jié)果與分析

2.1 破碎波群間隔的分布擬合檢驗

為便于比較不同海浪狀態(tài)下破碎波群間隔的統(tǒng)計分布，先將破碎波群間隔無因次化，即將每個破碎波群間隔(TBG)除以相應(yīng)波面信號的譜峰頻率對應(yīng)的周期(Tp)。圖2顯示了四個實驗信號無因次破碎波群間隔序列的直方圖及擬合曲線，實線和虛線分別代表擬合的指數(shù)分布和Gamma分布的密度函數(shù)曲線。指數(shù)分布在大部分情形下能較好的擬合實際分布，但有些情形則偏離較大;而Gamma分布似乎能擬合所有情形的實際分布。眾所周知，指數(shù)分布是Gamma分布的一種特殊情形，Gamma分布可視為指數(shù)分布的一種推廣。

圖2 無因次破碎波群間隔的實際分布與擬合分布Fig.2 Densities of dimensionless intervals between breaking wave groups and their fitted distributions

更嚴(yán)格的結(jié)論需要借助分布擬合檢驗給出。Kolmogorov-Smirnov檢驗(以下簡稱K-S檢驗)是一種有效的分布擬合檢驗方法。借助Matlab提供的kstest函數(shù)，對每個實驗信號的破碎波群間隔序列分別進(jìn)行了指數(shù)分布和Gamma分布的K-S檢驗。圖3(a)、(b)分別給出了30個實驗信號破碎間隔序列的指數(shù)分布擬合檢驗和Gamma分布擬合檢驗的結(jié)果。每個星號代表一個檢驗的P-value值，如果P-value值小于給定的顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)，否則不拒絕，圖中水平線都表示α=0.05顯著性水平。不同信號的檢驗結(jié)果按照風(fēng)速大小自左向右排列，相同風(fēng)速的縱向排列。圖3(a)中除了3個信號的P-value值小于0.05外，其余27個信號都大于0.05，意味著只有3個信號拒絕了破碎波群間隔服從指數(shù)分布的原假設(shè)。圖3(b)中所有P-value值均在0.05顯著性水平之上，即對所有信號都不能拒絕破碎波群間隔服從Gamma分布的假設(shè)。

2.2 平均破碎波群間隔與破碎波群率的關(guān)系

如前所述，波群破碎率(bgb)為單位時間內(nèi)破碎波群發(fā)生的個數(shù)，即bgb=ngroup/T，其中ngroup為一段長度為T的時間段上發(fā)生破碎的波群數(shù)。從圖4中可以看出:破碎波群發(fā)生率與平均破碎波群間隔Tmean近乎呈倒數(shù)關(guān)系。

2.3 相同實驗條件下破碎間隔的同分布檢驗

K-S檢驗不僅可以檢驗單樣本是否服從某種指定分布，還可以檢驗兩樣本是否來自同一分布。由此猜測，相同實驗條件下不同信號的破碎波群間隔序列應(yīng)該是同分布的。為此，對它們進(jìn)行了兩兩的K-S同分布檢驗，同風(fēng)區(qū)、同風(fēng)速下的實驗信號共61對，其中只有3對K-S檢驗的P-value值小于0.05，其余58對都大于0.05。這意味著，在大多數(shù)情形下，不能拒絕相同實驗條件下的破碎波群間隔同分布的假設(shè)。圖5顯示的即為在相同實驗條件下兩兩信號對應(yīng)的破碎波群間隔序列的同分布檢驗的P-value值。

圖3 指數(shù)分布和Gamma分布K-S檢驗的P-value值Fig.3 The P-values of the K-S tests on exponential distribution and Gamma distribution

圖4 波群破碎率與平均破碎波群間隔關(guān)系Fig.4 The correlation of group breaking rate and average time intervals between breaking groups

圖5 同風(fēng)區(qū)同風(fēng)速下的同分布檢驗的P-value值Fig.5 The P-values of the K-S tests on the same distribution

3 結(jié)語

基于一系列實驗室風(fēng)浪破碎實驗，討論了破碎波群間隔的統(tǒng)計分布。數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明所有實驗信號的破碎波群間隔都服從Gamma分布，相同實驗條件下的破碎波群間隔服從相同的分布。這意味著破碎波群的發(fā)生過程極可能是一種更新過程。而低風(fēng)速情形的大部分破碎波群間隔服從指數(shù)分布，這時的更新過程簡化為齊次Possion過程，一段時間內(nèi)發(fā)生破碎的波群數(shù)服從Poisson分布，從而單位時間內(nèi)破碎波群發(fā)生的個數(shù)，即波群破碎率，與平均破碎波群間隔呈倒數(shù)關(guān)系，實驗結(jié)果也驗證了這一點。

Ochi and Sahinoglo曾提到波群的出現(xiàn)可視為一更新過程，而波群以一定的概率發(fā)生破碎，因而破碎波群形成的過程即可以看作是波群過程的一種隨機(jī)稀疏。從這個角度看，本結(jié)果是自然的。

也討論過波群閾值水平取0.5倍的有效波高的情形，嘗試過其它判據(jù)判別破碎的結(jié)果，所得結(jié)論與上述結(jié)論類似，不再贅述。

有兩方面需要說明一下，一是討論的間隔，僅是破碎波群的間隔。實際觀測中，還經(jīng)常有不在波群中的破碎，破碎波群的發(fā)生又可以看作是破碎過程的一種隨機(jī)稀疏，將另文討論實際破碎間隔的分布。二是K-S檢驗要求所擬合的分布參數(shù)已知，這里使用的檢驗中，指數(shù)分布和Gamma分布的參數(shù)都是借助樣本利用極大似然估計獲得，這樣結(jié)果可能更傾向于接受原假設(shè)。

［1］Longuet-Higgins M S.Stochastic properties of wave groups in a random sea state［J］.Philos.Trans.Roy.Sco.，London，1984，312(A):219-250.

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［3］Ochi M K，Iorandnis I Sahinoglou.Stochastic characteristics of wave groups in random seas，Part2:Frequency of occurrence of wave groups［J］.Applied Ocean Research，1989，11(2):89-99.

［4］Dawson，Kriebel，Wallendorf.Experimental study of wave groups in deep-water random waves［J］.Applied Ocean Research，1991，13(3):116-131.

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Statistical distribution for time intervals between breaking wave groups

TIAN Wen-jing1，LEI Shu-he1，GUAN Chang-long2，MA Hai-yan1，XUE Chuan1
(1.Department of Mathematics，Ocean University of China，Qingdao 266100，China;2.Physical Oceanography Laboratory，Ocean University of China，Qingdao 266100，China)

Based on a series of laboratory experiments on wind wave breaking，the distribution of time intervals between successive breaking wave groups is discussed.The wind speeds are different between 6 and 9 m/s.Here，breaking intervals are defined as the time intervals between the moment of the first breaker in the two successive breaking groups.Breaking waves are identified by wave surface displacement and breaking marks record.Kolmogorov-Smirnov test is applied for distribution fitting test.The results from a series of hypothesis tests suggest that:1)it is accepted that the distribution of time intervals between successive breaking wave groups is Gamma distribution，which is true for all the experiments;and 2)under low wind speed，it would be exponential distribution，a special case of Gamma distribution;3)distributions for time intervals between successive breaking wave groups under the same experimental conditions are identical.These results imply that the wind wave breaking observed at a fixed position can be viewed as a renewal process.

wind wave breaking;wave group;time intervals between breaking wave groups;Gamma distribution;renewal process

P731.2

A

1005-9865(2012)04-0149-05

2011-10-19

國家自然科學(xué)基金重點資助項目(40830959)

田文婧(1986－)，女，山東莒縣人，碩士生，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計的研究。E-mail:tian2008fly@163.com