趙波

【摘要】直覺思維是以“非邏輯”為主要特征的一種思維方式.數(shù)學雖以嚴謹?shù)倪壿嬎季S著稱，但在人腦中進行的思維活動，“非邏輯”的直覺思維卻占有很大的比例.所以說，直覺思維是數(shù)學思維的不可或缺的重要組成部分.在概念或是解題教學中，培養(yǎng)學生的直覺思維能力是數(shù)學教育義不容辭的職責.

【關鍵詞】直覺思維；數(shù)學悟性；直觀領悟；合情推理；類比聯(lián)想；頓悟靈感；嚴格證明

培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力無疑是數(shù)學教育的“重頭戲”，但我們絕對不能因此而忽視“非邏輯”的直覺思維能力的培養(yǎng).在以前歷次頒布的《高中數(shù)學教學大綱》中提到的均是“數(shù)學邏輯推理能力”的培養(yǎng)，可在《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》中，其中的“邏輯”兩字已被去掉，而是說成“培養(yǎng)學生的思維能力”，意味著已經將“非邏輯”的直覺思維能力的培養(yǎng)納入數(shù)學教育的目標之中，大大拓展了數(shù)學思維的外延，標志的是數(shù)學教育理念的發(fā)展和進步.

何謂“非邏輯”的直覺思維？著名特級教師黃安成先生在文［2］中將此種思維統(tǒng)稱為“數(shù)學悟性”，并指出其主要特征：“所謂數(shù)學悟性，就是指對數(shù)學對象及解決問題時的‘直觀領悟、合情推理、類比聯(lián)想、靈感頓悟.”

1敝憊哿煳

數(shù)學主題通常都是由邏輯推理得到的，彰顯的是數(shù)學理性精神的光輝，理論上的嚴謹通達才能使人心理和諧順暢，且記憶牢固.但我們也發(fā)現(xiàn)，也有一些數(shù)學主題的獲得依靠的是直觀領悟，而不是嚴謹?shù)倪壿嬐评?正如德國數(shù)學家克萊因說：“一個數(shù)學主題，只有達到直觀上的顯然才能說理解到家了.”這種理念在數(shù)學新課程、新教材中已得到充分的體現(xiàn).

如兩個計數(shù)原理、排列組合公式、各種概率公式的推得，都是不嚴密的，但利用生活中獲得的數(shù)學經驗，從特殊到一般，從具體到抽象，學生都能達到直觀的理解.

《立體幾何》中的公理的出臺也都是基于“直觀上的顯然”.一些概念與定理，如直線和平面垂直的定義，只能利用具體的事物來導引學生形成和樹立.即便是定理，如直線和平面垂直的判定定理，過去的教材給出了嚴格的證明，但由于圖形復雜、方法生澀、推理繁冗，初學者很難達到透徹的理解和熟練的駕馭，屬于“吃力不討好”之舉，故新課程、新教材已將其刪去.在現(xiàn)在的教學中，充分運用直觀能力可使學生達到實質性的領悟.一條直線如果與平面內的一條直線垂直，當然不能判斷這條直線與這個平面垂直；但即使一條直線與平面內無數(shù)條直線垂直，也不能判斷這條直線與這個平面垂直，因為這無數(shù)條直線如果互相平行，那么它們只代表著一個方向，則只能“相當于一條直線”；但如果一條直線與平面內兩條相交直線都垂直，則可以判斷這條直線與這個平面垂直，這就叫做“線不在多，相交就行”.在“純理性”論持有者看來，這段話與邏輯思維毫不沾邊，“什么叫‘相當于？不通！”可是學生絕對能懂，而且非常歡迎這種說法.

還有一個更典型的案例，即“導數(shù)”的教學.從直線的斜率到函數(shù)的平均變化率、函數(shù)的瞬時變化率，再到導數(shù)概念的最終出臺，我們何曾見到一點邏輯思維的痕跡？下面的教學片段頗具說服力：

圖1

教者首先帶領學生回顧“平均變化率”的概念，函數(shù)y=x2在區(qū)間［1，1+a］上的平均變化率，即對應的曲線割線的斜率.如圖1(多媒體課件配合)，當a的值依次為0.1，0.01，0.001，…時，割線的斜率依次為2.1，2.01，2.001，…我們發(fā)現(xiàn)了一種奇妙的規(guī)律，即當a的值越來越接近于0時，割線的斜率就越來越接近于切線的斜率2.這不應是偶然的吧？需對一般情形進行探討：

設曲線C：f(x)=x2上的點P(1，f(1))，Q(1+a，f(1+a))，則割線PQ的斜率為

k割=f(1+a)-f(1)(1+a)-1=(1+a)2-1a=2+a.

那么當a的值無限趨近于0時，2+a無限趨近于2，即k割就無限趨近于k切，可概括為a→0，則1+a→1，2+a→2，Q→P，k割→k切.

更一般地，設曲線C：y=f(x)上的點P(x0，f(x0))，Q(x0+Δx0，f(x)+Δx0)，那么割線PQ的斜率為

k割=f(x0+Δx0)-f(x0)(x0+Δx0)-x0=f(x0+Δx0)-f(x0)Δx0.

則當Δx0→0時，k割→k切，就將k切叫做函數(shù)y=f(x)在x=x0時的導數(shù).

這里的“越來越逼近”“無限逼近”“最逼近”等規(guī)律都不是通過嚴謹?shù)倪壿嬐评淼玫降模墙柚谏鷦?、具體、形象的畫面，使學生的大腦產生“內化”效應，漸漸地領悟其實質，這種“內化”就是直觀領悟的反映.

再說一個反面的教學案例，某教師在“數(shù)學歸納法”的教學中，試圖用“高觀點”來統(tǒng)領教學，即用極嚴謹?shù)耐评矸绞絹黻U釋數(shù)學歸納法的理論基礎與淵源，甚至將最小正整數(shù)、無窮大等高深理論引進課堂，結果弄巧成拙、事與愿違，學生只能是一頭霧水.這節(jié)課名副其實地歸入“廢品”之列.

正面的經驗和反面的教訓使我們深刻地體會到嚴謹?shù)倪壿嬎季S不是萬能的，也不是隨時和隨處可見的，學生的思維能力中絕對地包含直覺思維能力.

2焙锨橥評

合情推理與直觀領悟有一定的內在聯(lián)系，但也有自身的特征，那就是雖具有一定的推理成分，但卻沒有完整的邏輯推理鏈條，而具有簡約、跳躍、猜測等特點.如前所述，在建構知識和技能的過程中需要合情推理，在解答填空、選擇題中更需要合情推理.對于解答題，雖然最后的表述需要的是一絲不茍、滴水不漏的推理過程，但在形成思路、確定目標的探索、嘗試、構思、檢索、猜想、突破、檢驗、辨誤等過程中卻離不開合情推理.英國哲學家、數(shù)學家休厄爾說：“若無大膽放肆的猜測，一般是作不出知識的進展的.”將合情推理提升到“大膽放肆”的層面，可見合情推理的不可低估的作用.

圖2

如在“補集”的教學中，通過教師的引導，學生在深刻領悟圖2含義的基礎上，很快順理成章地理解知識的本質并得到“補集”的所有性質：

這類通過合情推理實現(xiàn)知識的順應與同化的例子比比皆是，因此充分利用合情推理的強大功能是在數(shù)學教學中實現(xiàn)節(jié)時高效不可或缺的良策.

圖3

例1如圖3，過點P(0，3)的動直線l交橢圓x29+y24=1于不同的兩點A，B，若A位于P和B兩點之間(不含P，B)，設|PA|∶|PB|=λ，求λ的取值范圍.

此題原有的解法極其繁冗，可在課堂上竟有學生給出令人驚愕的簡捷解法：

當直線l與x軸垂直時，|PA|=1，|PB|=5，則λ=15.

如果直線l與橢圓相切，設切點為M，此時A，B兩點重合于M點，|PA|=|PB|，λ=1.而A，B為不同的兩點，所以λ≠1.

綜上所述，λ的取值范圍是15，1.

上述解法雖不能說盡善盡美，但閃耀著智慧火花的合情推理應得到充分的肯定和褒獎.

3崩啾攘想

從表面上看來，甲乙兩種事物似乎沒有什么內在聯(lián)系，但由甲事物的結構、形態(tài)、特征聯(lián)想到乙事物.基于此，將解決與甲事物有關問題的技能、技巧遷移到與乙事物有關的問題中來，就叫做類比聯(lián)想，屬于“非邏輯思維”范疇的一種直覺思維.

比如，設三角形的周長為C，內切圓半徑為r，則三角形的面積S=12Cr，由此可得r=2SC或C=2Sr.那么在立體幾何中，若多面體有一內切球，內切球的半徑為r，多面體的表面積為S，體積為V，則V=13Sr，r=3VS，S=3Vr.從三角形到多面體，從面積到體積，從內切圓到內切球，跨度不可謂不大，但運用類比聯(lián)想，瞬間實現(xiàn)了溝通，可解決的問題多多.

例2在1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中任取五個組成數(shù)字不重復的五位數(shù)，求所有五位數(shù)的和.

此題的原本解法非常繁瑣，經過改進，雖有所簡化，但仍有學生感到不滿意，他們給出了如下令人慨嘆的更加簡捷的解法：

五位數(shù)共有A56=720(個)，其中最小的是12345，最大的是65432，

所以所求和為12345+654322×720=27999720.

道理如下：

將這720個數(shù)按從小到大的次序排列，得a1，a2，a3，a4，…，a717，a718，a719，a720，它們雖然不能構成等差數(shù)列，卻具有類似于等差數(shù)列的性質：a1+a720=a2+a719=…=12345+65432=77777，故得解.

類比聯(lián)想創(chuàng)造了奇跡！

4繃楦卸儻

一位哲人曾說過：“創(chuàng)造是思維的‘短路，通常是‘不大講道理的，若過分囿于邏輯推理，則很難作出創(chuàng)造.”這與上面休厄爾的名言有著異曲同工之妙.著名數(shù)學家、數(shù)學教育家波利亞也說：“無論如何，你應該感謝所有的新念頭，哪怕是模糊的念頭，甚至是感謝那些把你引入歧途的念頭.因為錯誤的念頭往往是正確的先驅，導致有價值的新發(fā)現(xiàn).”

例3設集合A={0，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C同時滿足：①若將C的各元素均減去2，則所得新集合是A的一個子集；②若將C的各元素均加上3，則所得新集合是B的一個子集，那么滿足這兩個條件，且元素最多的集合C=.

若循規(guī)蹈矩地進行邏輯推理，此題的解答必將陷入困境，必須來個“靈機一動”：題目說“減去2”與“加上3”，我們就來個“加上2”與“減去3”.那么將集合A的各元素分別加上2，得集合D={2，4，5，7，10}，將集合B的各元素分別減去3，得集合E={-2，0，2，4，7}，則所求集合C=D∩E={2，4，7}.

不起眼的一個“金點子”閃耀的卻是創(chuàng)造靈感的思想光輝.

圖4

例4如圖4，平行六面體AC1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，當CD∶CC1為何值時，A1C⊥平面C1BD？請給出證明.

這是一道著名的高考試題，有相當?shù)碾y度，常規(guī)解法為：設CD∶CC1=x，設法列出關于x的方程，但構建和解方程談何容易！在這種困境之中一個大膽的頓悟使題解出現(xiàn)了根本性的轉機，所求比值會不會是1呢？試試，還真的試成功了：

事實上，當CD=CC1時，C-BDC1是正三棱錐，很容易證得A1C⊥平面C1BD，與列方程的解法相比，簡直有天壤之別！

行文至此，我們一方面感慨于直覺思維的巨大功能和培養(yǎng)學生直覺思維能力的重要性，但在本文末，還必須說以下兩點：

(1)直覺思維的功能絕對掩蓋不了數(shù)學理性精神的光輝，絕對不能因為強調了直覺思維能力的培養(yǎng)而削弱了邏輯思維能力的培養(yǎng).

(2)絕不能滿足于利用直覺思維對于問題的解決，不能停留在“感情用事”的層面上.利用直覺思維解決問題，即使再漂亮、再簡捷、再優(yōu)美，最后還須做到理性回歸，要知其然，還要知其所以然.

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準(實驗).北京：人民教育出版社，2003.

［2］黃安成.談數(shù)學悟性.上海：數(shù)學教學，2000（3）.