馮所偉

本文討論復(fù)合函數(shù)定義中容易引起誤解之處，并從數(shù)學(xué)運(yùn)算的角度給出復(fù)合函數(shù)的一個(gè)更易于理解的定義.

關(guān)于復(fù)合函數(shù)，很多教科書(shū)給的都是類(lèi)似如下定義：

設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域是Df，函數(shù)u=g(x)的值域是Zg，若Zg∩Df不為空集，則將y=f(g(x))稱為由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).y=f(u)稱為外層函數(shù)，u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù)，也稱為中間變量.

對(duì)于上面這個(gè)定義，不少人通過(guò)學(xué)習(xí)之后，都認(rèn)為y=f(u)與y=f(g(x))是相同的函數(shù)，因?yàn)樗鼈兌加脃來(lái)表示.

那么，這兩個(gè)函數(shù)到底是不是相同的呢？

首先，要判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，主要是考慮兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否都相同.看下面的例子，設(shè)f(u)=u2，g(x)=x+lnx，則得復(fù)合函數(shù)為f(g(x))=(x+lnx)2.第一，很顯然f(u)=u2的定義域是R，而f(g(x))=(x+lnx)2的定義域是R+，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域并不相同.第二，f(u)=u2的對(duì)應(yīng)法則是對(duì)自變量進(jìn)行平方，而f(g(x))=(x+lnx)2的對(duì)應(yīng)法則是對(duì)自變量求自然對(duì)數(shù)后再加上自變量本身，最后才平方，所以這兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則也是不相同的.

其次，不妨假設(shè)f(u)與f(g(x))相同，現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)f(u)=u2，g1(x)=x+lnx與g2(x)=lnx，那么f(u)=u2與g1(x)=x+lnx復(fù)合可得f(g1(x))=(x+lnx)2，f(u)=u2與g2(x)=lnx復(fù)合可得f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假設(shè)，這里得到的兩個(gè)復(fù)合函數(shù)都等于f(u)，即f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2，這顯然是錯(cuò)誤的.

最后，函數(shù)的復(fù)合是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，而數(shù)學(xué)運(yùn)算指的是“依照數(shù)學(xué)法則求出算式結(jié)果的過(guò)程”(《現(xiàn)代漢語(yǔ)實(shí)用詞典》南方出版社).可以這么理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算是對(duì)已知量實(shí)施了某些動(dòng)作，產(chǎn)生新的量的過(guò)程.復(fù)合函數(shù)就是幾個(gè)已知函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后得到的新函數(shù)，這個(gè)新函數(shù)怎么會(huì)在任何情況下都等于前面的其中一個(gè)已知函數(shù)呢？如果都等的話，這種運(yùn)算便形同虛設(shè)了.所以，如果認(rèn)為函數(shù)f(u)與f(g(x))是相等的，就如同是“當(dāng)2+3=5時(shí)”，認(rèn)為2和5是相等的一樣.

由上述幾點(diǎn)可知，函數(shù)f(u)與f(g(x))是不相同的函數(shù)，既然是不相同的，在一個(gè)命題里面，就不應(yīng)該用相同的符號(hào)來(lái)表示，要不就會(huì)造成誤解，這正是不少人認(rèn)為它們是相同的最直接的原因.另外，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的定義，再?gòu)臄?shù)學(xué)運(yùn)算這一數(shù)學(xué)基本概念方面進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)其含義，就會(huì)更加清晰一些.因此，下面給出一個(gè)更易于理解的定義：

定義（復(fù)合函數(shù)）已知函數(shù)f(u)和g(x)，把g(x)代入f(u)得到f(g(x))的過(guò)程（代入指把u都換成g(x)），稱為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.若f(g(x))存在，則稱f(g(x))是由f(u)和g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)稱f(u)為外層函數(shù)，g(x)為內(nèi)層函數(shù)，稱u為中間變量，記作u=g(x).若f(g(x))不存在，則稱f(u)和g(x)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算時(shí)沒(méi)有意義.

幾點(diǎn)說(shuō)明

（1）f(g(x))不存在是指自變量x的取值范圍是空集，即定義域?yàn)榭眨?/p>

（2）求函數(shù)時(shí)除了要寫(xiě)出函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則（常表現(xiàn)為表達(dá)式），還要寫(xiě)出函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)也應(yīng)如此；

（3）函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算可以由多個(gè)函數(shù)按一定的先后順序進(jìn)行，如由f(u)，g(v)，h(x)按順序進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算可得f(g(h(x))).

幾個(gè)求復(fù)合函數(shù)的例子：

例1已知函數(shù)f(u)=log2u，g(x)=x2+1，則f(u)和g(x)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算應(yīng)得f(g(x))=log2(x2+1)，其定義域?yàn)镽=(-∞，+∞)非空，所以復(fù)合函數(shù)f(g(x))=log2(x2+1)存在.

例2已知函數(shù)f(u)=log2u，g(x)=x2-x，則f(u)和g(x)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算應(yīng)得f(g(x))=log2(x2-x)，其定義域D=(-∞，0)∪(1，+∞)非空，所以復(fù)合函數(shù)f(g(x))=log2(x2-x)存在.

例3已知函數(shù)f(u)=log2u，g(x)=-x2-1，則f(u)和g(x)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算應(yīng)得f(g(x))=log2(-x2-1)，但此函數(shù)定義域D=粒所以f(g(x))不存在，即f(u)和g(x)進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算時(shí)沒(méi)有意義.

【參考文獻(xiàn)】

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