沈國平

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多同學(xué)對于計算線段條數(shù)、握手次數(shù)等問題頗感困難，由于數(shù)字過多，所以在計算過程中或者重復(fù)或者遺漏，本文試通過類比進行置換的方法，解決這一類問題.

首先，從課本中的練習(xí)題談起.

例1如圖，在平面內(nèi)有A1，A2，A3，A4，…，An-1，An共n個點（任意三點不在同一條直線上），經(jīng)過這n個點畫直線能畫幾條？

分析固定點A1，它與其他的點組成的直線可以表示為：

直線A1A2，A1A3，A1A4，…，A1An-1，A1An共有直線（n-1）條.

固定點A2，它與其他的點組成的直線可以表示為：

直線A2A1，A2A3，A2A4，…，A2An-1，A2An共有直線（n-1）條.

依次類推，固定點An，它與其他的點組成的直線可以表示為：

直線AnA1，AnA2，AnA3，AnA4，…，AnAn-1，共有直線（n-1）條.

由上可知，“每個點與其他（n-1）個點各組成一條直線”，同時還可知直線總數(shù)為n(n-1)條.但是A1A2與A2A1兩條直線是同一條，所以上面的直線總數(shù)除去一半才是實際直線總數(shù)，即12n(n-1)條.

下面再看課本中另一類似題目：

例2如圖，在∠AOB內(nèi)，以頂點O為端點的射線畫n條，一共可以組成多少個角？

此題可以通過類比，本題中從端點O發(fā)出的射線共有(n+2)條，每條射線類似于例1中的點，所以可以用點來置換此題中的射線，由例1結(jié)論類似可得圖形中共有角12(n+2)(n+1)個.

例3一個凸多邊形共有20條對角線，它是幾邊形？

分析這里設(shè)這個多邊形為n邊形，則頂點分別記為A1，A2，A3，A4，…，An-1，An.

固定點A1與它頂點連接的對角線有（n-3）條，每一條對角線也可以置換成一個點，所以類似例1的結(jié)論可得對角線共有12n(n-3)條.

其實，類似計算比賽場數(shù)、確定線段條數(shù)、聚會時握手總次數(shù)等問題，也可以通過類比置換方法加以解決.

事實上，不光在解題時可以通過類比置換來解決問題，在很多數(shù)學(xué)概念教學(xué)中也可以如此進行.

例如，在學(xué)習(xí)“線段的中點”和“角平分線”這兩個知識點上就有相似之處，對比如下：

知識點定義計算方面的應(yīng)用

線段的中點把一條線段分成相等的兩條線段的點兩條小線段長度相等，分割前的線段是分割后兩條小線段長度的兩倍（或分割后的小線段長度是分割前線段長度的一半）

角的平分線把一個角分成相等的兩個角的射線兩個小角的度數(shù)相等，分割前的角是分割后兩個小角度數(shù)的兩倍（或分割后的小角度數(shù)是分割前大角度數(shù)的一半）

例4如圖（1），①若∠AOC=∠BOD=x，2∠COB=∠DOA，則∠COB=(用含x的代數(shù)式表示)；

②若∠AOC=∠BOD=x，∠AOD=y，分別作∠AOB與∠COD的角平分線OE和OF，則∠EOF=度（用含x和y的代數(shù)式表示）.

如圖（2），①若AC=BD=x，2CB=DA，則CB=(用含x的代數(shù)式表示)；

②若AC=BD=x，AD=y，分別作AB與CD的中點E和F，則EF=（用含x和y的代數(shù)式表示）.

此例中，射線OA，OB，OC，OD類似于點A，B，C，D，∠AOB，∠BOC，∠COD類似AB，BC，CD；可以互相置換，因此圖形（1）和圖形（2）的填空解答是一樣的.

通過上面的分析我們不難看出，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，要充分利用數(shù)學(xué)知識點之間的類似之處，通過相互置換的方法來幫助我們解決數(shù)學(xué)問題，可以達到舉一反三、事半功倍的效果.