黃成剛

眾所周知，數(shù)學在我們的基礎教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數(shù)學美深深地感染著人們的心靈，激起人們對她的欣賞。下面從幾個方面來欣賞數(shù)學美。

一、簡潔美

愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數(shù)學，才能達到簡單性的美學準則。物理學家愛因期坦的這種美學理論，在數(shù)學界，也被多數(shù)人所認同。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數(shù)Ｖ、棱數(shù)Ｅ、面數(shù)Ｆ，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點數(shù)Ｖ、邊數(shù)Ｅ、區(qū)域數(shù)Ｆ滿足V－Ｅ＋Ｆ＝２，這個公式成了近代數(shù)學兩個重要分支——拓撲學與圖論的基本公式。由這個公式可以得到許多深刻的結論，對拓撲學與圖論的發(fā)展起了很大的作用。

在數(shù)學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：

圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。

平均不等式：對任何正數(shù)

數(shù)學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數(shù)學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。

二、對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現(xiàn)的般配與和諧”。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形——圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形—— 任何一條直徑都是它的對稱軸。

梯形的面積公式：Ｓ＝ ，

其中ａ是上底邊長，ｂ是下底邊長，其中ａ-１是首項，ａｎ是第ｎ項，這兩個等式中，ａ與ａ１是對稱的，ｂ與ａｎ是對稱的。

h與n是對稱的。

對稱不僅美，而且有用。

電磁波的波動方程：

其中，Ｂ為磁場強度，Ｅ為電場強度，Ｃ為光速。這個方程中Ｂ與Ｅ是對稱的，麥克斯韋用純數(shù)學的方法從這些方程中推導出可能存在的電磁波，這種電磁波后來被赫芝發(fā)現(xiàn)，由此可得電場與磁場的統(tǒng)一性。

對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數(shù)學家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的。如格點對稱，十四世紀在西班牙的格拉那達的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點對稱，而１９２４年才證明出格點對稱的種類。此外，還有格度對稱，如我們喜愛的對數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。

三、創(chuàng)新美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”和結論“三角形內角和等于二直角”，這些似乎是天經地義的絕對真理。但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5的結論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內角和小于二直角”，從而創(chuàng)造了羅氏幾何。黎曼幾何學沒有平行線。這些與傳統(tǒng)觀念相違背的理論，并不是虛無飄渺的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數(shù)學計算上的困難。每一個理論都在需要不斷創(chuàng)新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽設想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統(tǒng)一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統(tǒng)一起來。在不斷創(chuàng)新的過程中，數(shù)學得到了發(fā)展。

四、統(tǒng)一美

數(shù)的概念從自然數(shù)、分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)，擴大到復數(shù)，經歷了無數(shù)次坎坷，范圍不斷擴大了，在數(shù)學及其他學科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復數(shù)的概念繼續(xù)推廣。

英國數(shù)學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出妥協(xié)”，犧牲了復數(shù)集中的一條性質，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a1+a2i+a3j+a4k（a1 ，a2i ，a3j，a4k 為實數(shù)）的數(shù)，其中ｉ、ｊ、ｋ如同復數(shù)中的虛數(shù)單位。若a3 ＝a4 ＝０，則四元數(shù)a1+a2i+a3j+a4k 是一般的復數(shù)。四元數(shù)的研究推動了線性代數(shù)的研究，并在此基礎上形成了線性結合代數(shù)理論。物理學家麥克斯韋利用四元數(shù)理論建立了電磁理論。

數(shù)學的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。統(tǒng)一的目的也正如希而伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。

愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統(tǒng)一的藝術品。但他還是沒有完成統(tǒng)一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統(tǒng)一美也需要永遠的追求。

數(shù)學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數(shù)學家們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。