王蘇華

【摘要】定積分的元素法關(guān)鍵是正確給出部分量Δ玌的近似表達(dá)式“f(x)玠玿”，然而在用元素法求曲面面積時，很多學(xué)生會忽略“Δ玌-f(x)玠玿應(yīng)為玠玿的高階無窮小”這一條件.本文通過一個典型錯解分析了問題產(chǎn)生的原因，說明驗證該條件的重要性.

【關(guān)鍵詞】元素法；定積分；曲面面積；高階無窮小

【基金項目】江蘇科技大學(xué)引進(jìn)人才科研啟動基金項目資助オ

定積分的元素法（也稱微元法）是解決積分應(yīng)用問題的有用工具，是將定積分理論應(yīng)用到解決幾何、物理、工程以及經(jīng)濟管理等學(xué)科的重要分析方法，對工科學(xué)生有重要意義.另一方面，諸如重積分和曲面積分等一些多元積分利用元素法則可直接轉(zhuǎn)化為定積分，從而簡化了積分計算.因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)多提倡學(xué)生使用元素法解決問題.

在教材［1］“定積分的應(yīng)用”這一章中介紹了定積分的元素法.教材中指出，元素法的理論是建立在如下基礎(chǔ)上的：

（1）所求量U是與一個變量x的變化區(qū)間［a,b］有關(guān)的量；

（2）U對于區(qū)間［a,b］具有可加性，就是說，如果把區(qū)間［a,b］分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量Δ玌璱的近似值可表示為f(ξ璱)Δ玿璱，那么就可以考慮用定積分來表達(dá)這個量U.

從以上敘述可以看出，元素法的關(guān)鍵是正確給出部分量Δ玌璱的近似表達(dá)式“f(ξ璱)Δ玿璱”.通常我們稱這個近似表達(dá)式為所求量U的“元素”或“微元”，記作“f(x)玠玿”.

許多學(xué)生在求解一些曲面的面積時，會嘗試用定積分的元素法，這就需要找到恰當(dāng)?shù)摹懊娣e元素”.筆者在教學(xué)過程中常會碰到學(xué)生因為選擇了錯誤的面積元素而得到錯解.下面我們用一個簡明而典型的例子來說明.

圖 1例 計算半徑為1的上半球體的表面積S.

這個問題利用球體表面積公式立得答案S=1[]2S球=2π.但有學(xué)生嘗試用定積分的元素法求面積時，得到以下錯解：

錯解 所求面積S是與變量z的變化區(qū)間［0,1］有關(guān)的量，且S對于區(qū)間［0,1］具有可加性.將［0,1］分成許多部分區(qū)間，則S相應(yīng)地分成許多部分量，簡記為Δ玈.顯然，通過上述劃分，Δ玈是類似環(huán)形的帶狀曲面面積（如圖1）.用以這個帶狀曲面的下圓周（半徑為1-z2）為底，以玠珃(=Δ珃)為高的圓柱面面積近似代替Δ玈，于是得面積元素玠玈=2π1-z2玠珃.則

S=А要102π1-z2玠珃=2πА要π玔]20И玞os2θ玠θ=π2玔]2.

顯然，這樣的解法是錯誤的，錯的關(guān)鍵在于面積元素找錯了.那么，為什么不能用圓柱面的面積來近似代替原帶狀曲面的面積呢？教材［1］第274頁的腳注告訴我們“部分量Δ玌應(yīng)與近似值f(x)玠玿相差一個比玠玿高階的無窮小”，實際上這個條件也是微分定義中的一個重要條件.但在通常情況下，要檢驗Δ玌-f(x)玠玿是否為玠玿(也就是Δ玿)的高階無窮小往往不是一件容易的事，甚至包括教材在內(nèi)的很多參考書籍的例題中都沒有對這一條件作具體討論.因而學(xué)生在解此類問題時也只注意找一個小的近似量來代替原來的部分量，并認(rèn)為分割越細(xì)，近似程度越高，卻忽略了對這一重要條件進(jìn)行驗證.下面我們對例題中選取的近似表達(dá)式“玠玈=2π1-z2玠珃”的錯誤進(jìn)行驗證.首先要計算出部分量Δ玈的精確表達(dá)式，利用第一類曲面積分來計算Δ玈.設(shè)∑為圖1中的帶狀曲面，D﹛y為其在xOy面的投影.則有

Δ玈=К氌∑И玠玈=К隓﹛y1+z2瓁+z2瓂玠玿玠珁

=К隓﹛y1+x2[]1-x2-y2+y2[]1-x2-y2玠玿玠珁

=К隓﹛y1[]1-x2-y2玠玿玠珁

=А要2π0И玠θА要1-z21-(z+Δ珃)2r[]1-r2玠玶

=2πΔ珃2+4π珃Δ珃.

于是Δ玈-玠玈=2πΔ珃2+4π珃Δ珃-2π1-z2Δ珃，從而有：

┆玪imΔ珃→0Δ玈-玠玈[]Δ珃=4π珃-2π1-z2≠0.

由此看出，玠玈=2π1-z2玠珃與Δ玈相差的不是Δ珃的高階無窮小，所以用圓柱面面積“2π1-z2玠珃”作為Δ玈的近似表達(dá)式是不正確的.實際上，在使用元素法求一些曲面面積時，我們盡量避免選擇類似帶狀曲面作為部分量，并用圓柱面來近似代替.如果選取了此類圖形，則應(yīng)注意考慮是否合理，在必要且可能的情況下，應(yīng)進(jìn)行驗證.

從上述問題可以看出，“Δ玌-f(x)玠玿應(yīng)為玠玿的高階無窮小”這一條件是非常重要的.但因其驗證往往比較繁瑣甚至困難，教師在講授時常常會無意中淡化其重要性，從而導(dǎo)致學(xué)生解題時會忽略這一條件.筆者認(rèn)為，盡管沒有必要也不可能要求學(xué)生解題時去驗證這個條件，但教師在講授元素法時應(yīng)舉一些易驗證的例子以加深學(xué)生對元素法的理解.オ

【參考文獻(xiàn)】オ

同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.