夏良娟

1.前 言

尋求非線性發(fā)展方程的精確解在有關(guān)非線性方程的研究中占著重要的地位，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了許多有效的方法，如獼acobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法［1］、Backlund變換法［2］、齊次平衡法［3~5］等.本文將根據(jù)齊次平衡原則,并利用F-展開(kāi)法［6,7］,在F-展開(kāi)法中添加了F的負(fù)冪項(xiàng),這里F是Riccati方程的解，用這種方法求出了（2+1）-維Burgers方程［8］的精確周期波解：(u璽+uu瓁-u﹛x)瓁+u﹜y=0.（1）

2.獸-展開(kāi)法

考慮如下形式的非線性發(fā)展方程：

P(u,u璽,u瓁,u瓂,u﹖t,u﹖x,u﹜t,u﹛x,u﹜y,…)=0.（2）

作變換u(x,y,t)=u(ξ),ξ=kx+ly-ωt+ξ0.（3）

其中k,l,ω為待定常數(shù)，k≠0,ξ0為任意常數(shù).

將（3）代入（2）得到玂DE：

P(u,-ωu′,ku′,lu′,ω2u″,-ωku″,-lωu″，k2u″,l2u″,…)=0.（4）

設(shè)u(ξ)可表示為F(ξ)的有限冪級(jí)數(shù)：

u(ξ)=А芅[]i=-Na璱F琲(ξ).（5）

其中a-N,…,a璑為待定常數(shù)，且a璑≠0，F(xiàn)(ξ)滿足玆iccati方程：F′=P+F2.（6）

其中P是常數(shù)，正整數(shù)N可由（4）中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)之間的齊次平衡［9,10］來(lái)確定.將（5）代入方程（4）并利用玆iccati方程（6），可將方程（4）左邊化為F(ξ)的多項(xiàng)式.令F(ξ)的各次冪項(xiàng)的系數(shù)為零，得到關(guān)于a-N,…,a0,…,a璑,ω（可能含k）的代數(shù)方程組，借助玀athematic和吳文俊消元法，解上述方程組，可得參數(shù)a-N,…,a0,…,a璑,ω（可能含k）的值（由P，Q，R表示），將上述結(jié)果代入（5）便得到方程（2）的一般形式的行波解.

玆iccati方程（6）有如下解：

（1）當(dāng)P>0時(shí)，F(xiàn)(ξ)=±P玹anh(Pξ+c)；F(ξ)=±P玞oth(Pξ+猚).（7）

(2)當(dāng)P<0時(shí)，F(xiàn)(ξ)=±-P玹anh(-Pξ+c)；〧(ξ)=±-P玞oth(-Pξ+c).（8）

（3）當(dāng)P=0時(shí)，F(xiàn)(ξ)=1[]ξ+c.（9）

3.（2+1）-維獴urgers方程的精確周期波解

將（3）式代入方程（1）得：

(l2-kω)u″+k2(u′)2+k2uu″-k3u=0.

所以，l2[]k3-ω[]ku″+1[]k(u′)2+1[]kuu″-u=0.（10）

令l2[]k3-ω[]k=a,1[]k=b，代入（10），得

au″+b(u′)2+buu″-u=0.（11）

故設(shè)：u(ξ)=А芅[]i=-Na璱F琲(ξ)=a-1狥-1+a0+a1F.（12）

F′=P+F2.（13）

其中a-1,a0,a1為待定常數(shù)，將（12）代入（11）并反復(fù)利用（13），則（11）的左邊化為F(ξ)的多項(xiàng)式，令系數(shù)為零，得一代數(shù)方程組,解得：

a0=-a[]b,a-1=0,a1=2[]b.（14）

a0=-a[]b,a-1=-2P[]b,a1=0.（15）

a0=-a[]b,a-1=-2P[]b,a1=2[]b.（16）

顯然，最后一組解是前兩組解的疊加.

將式（14）,（15）,（16）分別代入式（12），得方程（1）的三個(gè)行波解的濃縮公式：

u(ξ)=-a[]b+2[]bF(ξ).（17）

u(ξ)=-2P[]bF-1(ξ)-a[]b.（18）

u(ξ)=-2P[]bF-1(ξ)-a[]b+2[]bF(ξ).（19）

其中ξ=kx+ly-ωt+ξ0，a=l2[]k3-ω[]k，b=1[]k.

利用玆iccati方程的解（7）~（9）可從濃縮公式（17）~（19）中解出精確解：

①P>0，將式（7）分別代入（17）~（19）可得周期波解：

u11=-a[]b±2[]bP玹anh(Pξ+c)；u21=-a[]b±2[]bP玞oth(Pξ+c);

u12(ξ)=±2P[]b玞oth(Pξ+c)-a[]b；

u22(ξ)=±2P[]b玹anh(Pξ+c)-a[]b；

u13(ξ)=±2P[]b玞oth(Pξ+c)-a[]b±2[]bP玹anh(Pξ+c);

u23(ξ)=±2P[]b玹anh(Pξ+c)-a[]b±2[]bP玞oth(Pξ+c).

②P<0，將式（8）分別代入（17）~（19）可得周期波解：

u31=-a[]b±2[]b-P玹anh(-Pξ+c)；

u41=-a[]b±2[]b-P玞oth(-Pξ+c)；

u32(ξ)=±2P[]b玞oth(-Pξ+c)-a[]b；

u42(ξ)=±2P[]b玹anh(-Pξ+c)-a[]b；

u33(ξ)=±2P[]b玞oth(-Pξ+c)-a[]b±2[]b-P?玹anh(-Pξ+c)；

u43(ξ)=±2P[]b玹anh(-Pξ+c)-a[]b±2[]b-P?┆玞oth(-Pξ+猚).

③P=0，將式（9）分別代入（17）~（19）可得周期波解：

u51=-a[]b+2[]b(ξ+c);u52=-2p[]b(ξ+c)-a[]b;

u53=-2P[]b(ξ+c)-a[]b+2[]b(ξ+c).