楊志榮，秦春云，饒柱石，塔 娜

螺旋槳推進(jìn)是船舶和水下航行器的主要推進(jìn)方式。船舶在水中運(yùn)動(dòng)，不可避免地在艉部形成不均勻的伴流場;螺旋槳在不均勻伴流場中工作會(huì)產(chǎn)生脈動(dòng)推力，經(jīng)推進(jìn)軸系、推力軸承及其基座傳遞到殼體，引起殼體產(chǎn)生振動(dòng)，進(jìn)而形成水下聲輻射［1－2］。在減小軸系縱向振動(dòng)的一系列措施［3］中，加裝動(dòng)力吸振器是有效且可行的方法。

Goodwin［4］首先分析使用共振改變器(Resonance Changer)控制螺旋槳軸承力對(duì)船體激勵(lì)的可行性。澳大利亞學(xué)者Dylejko［5］基于四端參數(shù)法和傳遞功率流研究了安裝軸系共振改變器(Resonance Changer)的降噪效果，其共振改變器串聯(lián)安裝在推力軸承與基座之間，并進(jìn)一步研究了共振改變器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。劉耀宗［2］的研究建立在Dylejko的基礎(chǔ)上，并以Dylejko的算例參數(shù)為對(duì)象，分析了動(dòng)力吸振器的吸振效果，但未涉及到動(dòng)力吸振器的實(shí)際布置方案。李良偉［6］在Goodwin的船舶軸系縱向振動(dòng)模型上進(jìn)行簡化，對(duì)軸系采用集中質(zhì)量和彈簧剛度進(jìn)行等效替換，運(yùn)用動(dòng)力諧調(diào)消振理論，對(duì)兩自由度集中質(zhì)量主從系統(tǒng)的動(dòng)力減振器進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，但未能考慮到實(shí)際情況下軸系是彈性連續(xù)體，同時(shí)未能涉及到動(dòng)力減振器的結(jié)構(gòu)形式及安裝布置方案。

由于實(shí)際工作情況下往往希望既要實(shí)現(xiàn)對(duì)船舶軸系的減振同時(shí)又要求對(duì)軸系的結(jié)構(gòu)改動(dòng)最小，本文提出一種并聯(lián)安裝在船舶軸系上的動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)方法，其中船舶軸系與動(dòng)力吸振器構(gòu)成主從系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能量在主系統(tǒng)上發(fā)生轉(zhuǎn)移，實(shí)現(xiàn)抑制主系統(tǒng)共振的目的;考慮了船舶軸系作為彈性連續(xù)體的情況下，采用模態(tài)截取和模態(tài)綜合法建立其軸系－動(dòng)力吸振器混合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型，對(duì)動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行分析。

1 船舶軸系－動(dòng)力吸振器混合動(dòng)力學(xué)建模

如圖1所示，動(dòng)力吸振器在船舶軸系中的安裝布置，其中船舶軸系主要由螺旋槳、槳軸、中間軸、法蘭、推力軸、推力軸承及其基座組成，這里將螺旋槳及其附連水簡化為集中質(zhì)量M，推進(jìn)軸等效為一根具有分布質(zhì)量和彈性的勻質(zhì)軸，推力軸承和基座的縱向總剛度用等效線性彈簧剛度K代替，動(dòng)力吸振器簡化為質(zhì)量為ma，縱向剛度為ka，阻尼為ca的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)，簡化后的船舶軸系－動(dòng)力吸振器混合動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示。

1.1 船舶軸系縱向振動(dòng)固有頻率及模態(tài)分析

由圖2可知，當(dāng)未安裝動(dòng)力吸振器時(shí)其船舶軸系的縱向振動(dòng)響應(yīng)解為［7］:

為各階振型函數(shù)，

由式(2)可得:

由式(3)可得:

將式(4)代入式(5)得:

由式(6)求解出各階固有頻率后，再代入到式(1)中的振型函數(shù)Xn(x)表達(dá)式就可求得各階振函數(shù)的精確解。

這里取各計(jì)算參數(shù)為:軸材料密度:ρ=7 850 kg/m3，軸材料彈性模量:E=1.96×1011Pa，軸系長度 l=13.5 m，軸外徑 D=0.29 m，軸內(nèi)徑 d=0.165 m，螺旋槳及附連水質(zhì)量M=7 760 kg，推力軸承及基座縱向總剛度K=1×1010N/m。根據(jù)式(6)的固有頻率方程在MATLAB中進(jìn)行編程求解，求得的各階固有頻率的解析解如表1所示。

為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)的準(zhǔn)確性，在有限元軟件ANSYS中，采用BEAM188/MASS21/CONBIN14等單元建立其相應(yīng)參數(shù)的船舶軸系有限元模型，計(jì)算出船舶軸系縱向振動(dòng)前6階固有頻率值與由MATLAB編程求解式(6)固有頻率方程的解，兩者的比較如表1所示;由表1可知，兩者的求解結(jié)果基本一致，特別是在前四階中低頻段吻合得較好，在高頻段誤差在3%以內(nèi)，這是由于式(6)為超越方程，采用迭代方法求根，在高頻段求解精度有影響，同時(shí)ANSYS中由于單元網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)的限制，其數(shù)值解本身的精度也受到影響。由此可以驗(yàn)證本文推導(dǎo)的船舶軸系縱向振動(dòng)的固有頻率方程及振型函數(shù)求解是正確的。

表1 前6階固有頻率解析解與ANSYS數(shù)值解結(jié)果比較(單位:Hz)Tab.1 The calculation of nature frequencies by analytic method and FEM

振型函數(shù)的正交性［7］:

各階主質(zhì)量:

各階主剛度:

各階固有頻率:

1.2 模態(tài)截取及模態(tài)綜合

彈性連續(xù)體的模態(tài)截取主要根據(jù)與激勵(lì)頻率相近的彈性體模態(tài)振型為主要振型，一般截取1階主振型與動(dòng)力吸振器子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)綜合都能較好地給出動(dòng)力吸振的近似解［8］。一般情況下船舶軸系正常工作轉(zhuǎn)速為50～400 r/min之間，假定螺旋槳的槳葉為7葉，其螺旋槳脈動(dòng)推力激勵(lì)頻率主要為葉頻，范圍為6～47 Hz之間，主要激起船舶軸系的第一階模態(tài)，因此，這里截取船舶軸系的第一階模態(tài)振型函數(shù)與動(dòng)力吸振器進(jìn)行模態(tài)綜合，構(gòu)建船舶軸系－動(dòng)力吸振器混合動(dòng)力學(xué)模型。

安裝動(dòng)力吸振器后的力學(xué)模型表示于圖2。動(dòng)力吸振器的安裝部位在x=a點(diǎn)，船舶軸系在螺旋槳處(x=0)承受的縱向集中力為 F0eiωt，是頻率為ω的簡諧力。耦合動(dòng)力吸振器后全系統(tǒng)的動(dòng)能和彈性勢(shì)能分別為T和U，其解析式為:

由拉格朗日方程推導(dǎo)出全系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，將其寫成矩陣形式:

式中:ε表示作用在螺旋槳處(x=0)縱向集中力強(qiáng)度的常數(shù)，其大小為:

由式(15)可知，對(duì)于均質(zhì)直彈性軸而言，如果只考慮它的第一階主振型，那么，它的動(dòng)力吸振問題就相當(dāng)于主質(zhì)量為m1的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)受到集中力εeiωt激勵(lì)時(shí)的動(dòng)力吸振問題。

將式(15)拉氏變換后，用iω代替s，可以導(dǎo)出廣義坐標(biāo) Y(t)對(duì)廣義力 εeiωt的傳遞函數(shù) R(ω):

定義以下的無量綱參數(shù)［8］:

式中:g為頻率比，f為固有頻率比，μ為質(zhì)量比，ξ為阻尼比。由此可以寫出船舶軸系任意截面第一振型的振幅的近似解析式:

進(jìn)一步可以求得傳遞到推力軸承基座上的力與激勵(lì)力之間的力傳遞率(動(dòng)力放大系數(shù)):

由式(20)可知，動(dòng)力放大系數(shù) A(g，f，μ，ξ，a)是頻率比g，固有頻率比f，質(zhì)量比μ，阻尼比ξ，動(dòng)力吸振器安裝位置a的函數(shù)。

2 動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)參數(shù)影響規(guī)律分析

2.1 質(zhì)量比μ對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響

取動(dòng)力吸振器在軸上的安裝位置a=2 m，固有頻率比 f=1，阻尼比 ξ=0.1，討論質(zhì)量比 μ =0.01，0.05，0.1，0.2這4組取值時(shí)對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響。相應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)A(g)曲線如圖3所示。由圖可知，隨著質(zhì)量比的增大，在吸振頻率附近兩個(gè)共振峰向相反方向偏移，使得動(dòng)力吸振器的吸振頻帶變寬，且在吸振頻率附近傳遞到基座上的縱振激振力進(jìn)一步降低，吸振效果越好。實(shí)際設(shè)計(jì)動(dòng)力吸振器的質(zhì)量時(shí)要綜合考慮動(dòng)力吸振器重力對(duì)軸系彎曲應(yīng)力的影響，一般情況下取質(zhì)量比 μ=0.03～0.05即可。

2.2 固有頻率比f對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響

取動(dòng)力吸振器在軸上的安裝位置a=2 m，質(zhì)量比μ =0.05，阻尼比 ξ=0.1，討論固有頻率比 f=0.6，0.8，1，1.2這4組取值時(shí)對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響。相應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)A(g)曲線如圖4所示。由圖可知，在這組數(shù)據(jù)中，動(dòng)力吸振器的固有頻率比取f=1時(shí)，吸振效果最好。且隨著固有頻率比在f=1附近變化時(shí)，在吸振頻率處的動(dòng)力放大系數(shù)急劇變化，因此，必然在f=1附近存在一個(gè)最優(yōu)固有頻率比使得動(dòng)力吸振器在吸振頻率附近效果最好，吸振頻帶最寬。

圖3 質(zhì)量比對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響Fig.3 The effect of dynamic amplification by mass ratio

圖4 固有頻率比對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響Fig.4 The effect of dynamic amplification by nature frequency ratio

圖5 阻尼比對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響Fig.5 The effect of dynamic amplification by damp ratio

2.3 阻尼比ξ對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響

取動(dòng)力吸振器在軸上的安裝位置a=2 m，質(zhì)量比μ =0.05，固有頻率比 f=1，討論阻尼比 ξ=0.01，0.05，0.1，1這4組取值時(shí)對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響。相應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)A(g)曲線如圖5所示。由圖可知，在阻尼比ξ=0.01時(shí)，由螺旋槳傳遞到基座上的縱振激振力得到較大降低，但在吸振頻率兩側(cè)出現(xiàn)個(gè)較大的峰值，這將影響結(jié)構(gòu)整個(gè)頻段力傳遞率的降低效果;隨著阻尼比的增加，曲線變得圓滑，分布在吸振頻率兩側(cè)的共振峰幅值有較大程度的降低，吸振頻帶變寬，但是在共振吸振頻率處效果變差，因此頻寬的增加是以犧牲共振吸振頻率處的吸振效果為代價(jià)的，存在一個(gè)兼顧雙方的最優(yōu)阻尼比。當(dāng)阻尼比為大阻尼時(shí)，在共振吸振頻率附近，沒有吸振效果，相當(dāng)于動(dòng)力吸振器與軸系固連在一起又變成單自由度系統(tǒng)。

2.4 動(dòng)力吸振器安裝位置對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響

取動(dòng)力吸振器的固有頻率比 f=1，質(zhì)量比 μ=0.05，阻尼比ξ=0.05，討論動(dòng)力吸振器在軸上的不同安裝位置對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響。圖6為動(dòng)力吸振器在不同安裝位置下的動(dòng)力放大系數(shù)的三維圖。由圖可知，吸振器的安裝位置對(duì)軸系的縱向振動(dòng)特性有較大的影響，通常應(yīng)將動(dòng)力吸振器安裝在被減振結(jié)構(gòu)振幅最大處，由上述軸系縱振模態(tài)分析可知，在軸系縱振第一階共振頻率時(shí)，靠近螺旋槳端的振動(dòng)響應(yīng)幅值最大，推力軸承端振動(dòng)響應(yīng)幅值最小。因此，為了使吸振器達(dá)到最好的吸振效果，消減軸系第一階縱向振動(dòng)時(shí)應(yīng)該把吸振器盡量布置在軸系艉端。

圖6 不同安裝位置對(duì)動(dòng)力放大系數(shù)的影響Fig.6 The effect of dynamic amplification by different installation location

3 結(jié)論

本文提出一種并聯(lián)安裝在船舶推進(jìn)軸系上的縱振動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)方法，采用模態(tài)截取和模態(tài)綜合法建立其軸系－動(dòng)力吸振器混合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型，對(duì)動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)參數(shù)的影響規(guī)律進(jìn)行分析。主要結(jié)論如下:

(1)特殊邊界條件下，軸系縱振的振型函數(shù)的正交性、主質(zhì)量和主剛度具有和常規(guī)邊界條件下的軸系縱振振型函數(shù)不同的表達(dá)式;

(2)彈性連續(xù)體的模態(tài)截取主要根據(jù)與激勵(lì)頻率相近的彈性體模態(tài)振型為主要振型。對(duì)于軸系的正常工作轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，一般取軸系縱振第一階模態(tài)振型進(jìn)行綜合，都能給出動(dòng)力吸振較好的近似解;

(3)質(zhì)量比取得越大，吸振效果越好，但應(yīng)該綜合考慮到吸振器重量對(duì)軸系彎曲應(yīng)力的影響;

(4)固有頻率比對(duì)吸振效果影響很大，在固有頻率比等于1的附近存在著最優(yōu)的固有頻率比使得吸振效果和吸振帶寬達(dá)到最優(yōu);

(5)阻尼比越小，在共振吸振頻率處吸振效果越好，但是在吸振頻率兩側(cè)出現(xiàn)個(gè)較大的峰值，頻帶變窄;大阻尼比下，在共振吸振頻率處沒有吸振效果;

(6)為了使吸振器達(dá)到最好的吸振效果，消減軸系第一階縱向振動(dòng)時(shí)應(yīng)該把吸振器盡量布置在軸系艉端，即被減振結(jié)構(gòu)振幅最大處。

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