巫志華 范小平

（東方汽輪機有限公司，四川 德陽，618000）

0 引言

透平葉片葉根的形式對葉片的整體強度振動特性有很大的影響。樅樹形葉根以其良好的承載特性和強度適應性而在燃氣輪機及蒸汽輪機葉片設計中得到廣泛的應用，尤其是在負荷較高，載荷比較復雜的透平級中，如透平末級，這類葉根的應用就更為普遍，但其尺寸精度要求比較高。在葉片的強度振動分析中，首先需要得到包括葉根在內的葉片型線數(shù)據(jù)，實際上，在很多情況下，原始的設計型線數(shù)據(jù)是無法得到的，如對進口原裝機組葉片的力學性能分析，這就需要采用一定的方法進行測繪處理得到型線后才能進行相應的分析。由于樅樹型葉根的型線相對比較復雜，測量數(shù)據(jù)相對比較多，采用的數(shù)據(jù)處理方法對在同一精度范圍內的測量數(shù)據(jù)進行合理的處理將對分析結果的可信度有直接的影響。

已有大量的文獻和專著對測量數(shù)據(jù)處理的理論與方法進行了研究和分析［1］。測量數(shù)據(jù)的處理在數(shù)學上通常表述為最優(yōu)問題的求解。本文針對某一大功率汽輪機末級動葉的測繪，對該動葉的五齒樅樹型葉根測量數(shù)據(jù)進行處理，結合樅樹型葉根的結構特點，建立了一種合理的最優(yōu)問題求解模型，并采用差分進化算法進行求解，以解決此類葉根測量數(shù)據(jù)的處理問題。

1 樅樹型葉根測量數(shù)據(jù)處理的數(shù)學模型

1.1 樅樹型葉根的結構特點

圖1是一種典型的五齒樅樹型葉根母線形式，也是本文測繪的葉根所采用的結構形式，實際的葉根由母線通過旋轉或者沿指定方向的軸線延伸就可以得到。葉根母線上每個工作齒，由工作面、非工作面及由工作面到非工作面的過渡結構組成。工作面和非工作面通常由直線組成，而過渡結構則采用圓弧—直線—圓弧連接，實際上，過渡結構也可以采用其他的形式。出于對力學性能要求的保證，在樅樹型葉根的設計和制造中，對工作面的加工要求要比非工作面的嚴格，而且工作面間的公差尺寸及間隙控制是非常嚴格的，這也意味著從測量數(shù)據(jù)在工作面的傾角及節(jié)距的一致性方面能夠反映出測量的準確程度。本文所用到的測繪數(shù)據(jù)中，反映工作面特征的數(shù)據(jù)的一致性就非常好，因此可以采用簡單的方法就確定了工作面的傾角和節(jié)距。以下的數(shù)學模型中就把工作面的傾角和節(jié)距作為約束條件進行處理的。

圖1 五齒樅樹型葉根型線圖

1.2 數(shù)學模型的建立

對葉根的測量是在三坐標測量儀上實現(xiàn)的，在固定z坐標條件下，對母線軸線進行測量得到一數(shù)據(jù)集合，該集合由119組 （x,y）坐標點組成，因此，型線可以用y=f（x）的函數(shù)形式來描述。

從測量的數(shù)據(jù)特點來看，我們初步可以確定過渡結構是采用圓弧—直線—圓弧連接的，過渡段與工作面或者非工作面間均是相切的關系，結合樅樹型葉根的結構設計特點，我們可以定義圖1中的各圓之間的幾何相關關系。即在理論設計型線中，T1，T2，T3，T4，T5各齒的工作面是完全一樣的，T1齒與其余各齒的非工作面略有區(qū)別。C1、C5、C9表示的圓半徑相同，而且C1圓心到C5圓心的距離與C5到C9圓心的距離相等，正好等于一個節(jié)距，其他的圓也有同樣的關系。此外，C1與C2圓相切的角度就是工作面的傾角θ1。因此，設定C1圓心為 （x1，y1）， 半徑為 r1， C2圓心為 （x2，y2），半徑為 r2， C3圓心坐標為 （x3，y3）， 半徑為 r3， C4的半徑為 r4， 圓心為 （x4，y4）， C3和 C4外切線的傾角等于非工作面的傾角θ2，可見，母線的基本型線就可以由上述12個自由參數(shù)定義。根據(jù)測量數(shù)據(jù)的特點，我們可以將測量數(shù)據(jù)映射到由這12個自由參數(shù)定義曲線上的相應位置上。這樣，要求解這12個參數(shù)，我們就可以轉化為數(shù)學上的一個最小值求解問題，即：測量點偏離由該12個自由參數(shù)定義的曲線的距離最小。數(shù)學表述為：

定義點到直線的距離為Dis1，定義點到圓心的距離為Dis，點偏離圓弧的距離定義為Dis2=｜Dis-r｜，若認為該點在弧線上的，則Dis1i=0，若認為該點在直線上的，則認為Dis2i=0，則

優(yōu)化變量為上述12個參數(shù)，同時根據(jù)設計經驗，各r及θ2需要圓整。

在實際的優(yōu)化過程中，我們分兩次進行優(yōu)化，第一次對r和θ2無圓整約束，根據(jù)計算結果，對r和θ2進行圓整處理進行約束后進行第二次優(yōu)化。

2 差分進化算法 （DE）用于樅樹型葉根測量數(shù)據(jù)處理

進 化 算 法 （Evolutionary algorithms， 簡 稱EAs），是模擬自然界的進化和遺傳現(xiàn)象而提出的一類隨機優(yōu)化算法，這類算法已廣泛應用于各種優(yōu)化問題的求解。由Storn和Price為求解Cheby-shev多項式而提出的差分進化算法 （Differential evolution，簡稱DE）[2]因其原理簡單、受控參數(shù)少、算法結構緊湊、操作簡便，魯棒性強和優(yōu)秀的全局尋優(yōu)能力，已成為最好的進化算法之一。

在DE算法中，通過差分算子，利用種群中多個個體的信息計算新個體，在完成對新個體適應度的評價后進行選擇操作生成新的種群。用表示第t代中第i個染色體：

可見在差分算子中只涉及兩個控制參數(shù)：變異算子 F和交叉算子 CR。其中 F， CR∈ ［0，1.0］，本文分別取0.7和0.5。r是 ［0，1.0］之間的隨機數(shù)。

圖2 DE算法流程圖

為了測試DE算法和計算程序的有效性，本文采用如下的函數(shù)來做測試：

圖3 函數(shù)y=f(x)的曲線圖

圖3是該函數(shù)在約束區(qū)域內的變化曲線，從圖上可以發(fā)現(xiàn)，在該約束區(qū)域內出現(xiàn)多個極值，能很好的反映算法的尋優(yōu)能力。設種群數(shù)為50，最大迭代步數(shù)為100，在20步左右就達到最小值0.049740，與該函數(shù)在這一范圍內的理論最小值相差無幾，可以作為問題的全局最優(yōu)解?？梢?，DE算法的尋優(yōu)能力是令人滿意的。

圖4 適應度曲線

采用DE方法，對上述樅樹型葉根的12個參數(shù)進行求解，設種群數(shù)為80，最大迭代步數(shù)為2000，對12個參數(shù)的搜索范圍的定義可以先根據(jù)原始測繪數(shù)據(jù)預估一個相對大的范圍，反復多次，最終優(yōu)化結果是一致的。從圖5的結果來看，計算結果是合理的。

圖5 樅樹型葉根擬合曲線圖

3 結論

本文結合樅樹型葉根的型線特點，將樅樹型葉根測量數(shù)據(jù)逆向工程問題轉化成最優(yōu)問題，并采用差分進化算法進行求解，計算結果表明：這一處理模式是合理的，這種模式同樣適用于其他形式的葉根測量數(shù)據(jù)處理;差分進化算法很適合多約束條件下多參數(shù)的尋優(yōu)求解問題。

[1]劉大杰,陶本藻,主編.實用測量數(shù)據(jù)處理方法.北京：測繪出版社,2000

[2]Storn R.On the usage of differential evolution for function optimization [A].BiennialConference of the North American Fuzzy Information Processing Society [C].1996.519-523

[3]宋立明.基于進化算法的軸流式葉輪機械葉柵氣動優(yōu)化設計的研究 [D].西安交通大學博士學位論文，2006