陳金秀

（南京市雨花臺中學(xué) 江蘇 南京 210012）

對稱法解題，不僅能免去許多繁雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，還能使問題的物理實(shí)質(zhì)得以更清楚地展現(xiàn)，求解一些看似無法求解的問題.在具體的情境中如何充分利用好“對稱”？以下幾例可以從操作的層面給出一些啟示.

1 時(shí)間反演 構(gòu)造出一個(gè)簡單熟悉的運(yùn)動

【例1】如圖1所示，一段由斜軌和半圓環(huán)連接起來的光滑軌道放在豎直平面內(nèi)，環(huán)半徑R＝0.6 m.現(xiàn)要在水平地面上某處C拋出一小球，使它恰好能從半圓環(huán)頂端B平滑地切入，沿半圓環(huán)滑行后再滑到斜軌上高h(yuǎn)＝4.4m的A處停下，試求C處的位置、拋射速度v的大小和拋射速度與水平方向的夾角β（g＝10m／s2）.

圖1

解析：本題中，由于拋射位置、速度的大小和方向均未知，從正面求解較困難，可以采用時(shí)間反演的方法，“逆行”運(yùn)動過程，原題就變成“從高h(yuǎn)處靜止滑下的小球，經(jīng)過半圓環(huán)做平拋飛出，求小球落地的位置、落地速度大小和方向”的問題.

設(shè)小球從B飛出做平拋的速度為vB，小球落地點(diǎn)距環(huán)底的距離為s，小球在C點(diǎn)的速度為v，小球在C點(diǎn)的速度和水平方向間的夾角為β.

對AB段，由動能定理得

對BC段，由平拋知識有

對C點(diǎn)，由平拋知識有

代入數(shù)據(jù)解得

總結(jié)：時(shí)間反演，即構(gòu)造一個(gè)和原過程在時(shí)間上對稱的“逆過程”，把一個(gè)原本相對復(fù)雜且陌生的斜拋運(yùn)動，轉(zhuǎn)化為相對簡單且熟悉的平拋運(yùn)動.任何一個(gè)運(yùn)動都可以通過時(shí)間反演找到它的逆運(yùn)動.

2 順勢延展 拼接出一個(gè)簡單對稱的過程

【例2】如圖2所示，兩塊豎直放置的光滑彈性板A，B相距為d，在板間某點(diǎn)P以速度v0，與水平方向間夾角α斜向上拋出一個(gè)光滑彈性小球，經(jīng)與兩板各碰一次后恰好返回P點(diǎn)，試問從拋出到返回的時(shí)間是多少？

圖2

解析：小球從B板反彈后做斜拋運(yùn)動與A板相碰，再從A反彈做斜拋返回P點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動軌跡由3段斜拋運(yùn)動的拋物線組合.如果根據(jù)斜拋運(yùn)動規(guī)律算出這3段時(shí)間很復(fù)雜.

如圖3所示，把小球從P點(diǎn)拋向B板和從A板反彈回P點(diǎn)的兩個(gè)過程，以B，A兩板為鏡面作出對稱圖形，根據(jù)彈性碰撞的速度特點(diǎn)，它們的鏡像恰能與兩板中間的一段運(yùn)動構(gòu)成一條拋物線，這條拋物線兩端點(diǎn)間的水平距離為2d.

圖3

小球在兩板間做斜拋運(yùn)動時(shí)的水平分量

因此，小球從拋出到反彈回P點(diǎn)經(jīng)歷的總時(shí)間為

總結(jié)：利用軌跡鏡像對稱的特點(diǎn)，順勢對運(yùn)動進(jìn)行“平滑延展”，幾段瑣碎的過程變?yōu)橐粋€(gè)完整、簡潔的過程.鏡像對稱在反射和碰撞中有廣泛的應(yīng)用.

3 由因索果 尋找出一個(gè)簡單易行的算法

【例3】如圖4所示，正電荷均勻分布在半球面上，在O處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度等于E0.兩個(gè)平面通過同一條直徑，夾角為α，從半球中分出一部分球面，試求所分出的這部分球面上（在“小瓣”上）的電荷在O處的電場強(qiáng)度E1.

解析：本題可以用微積分的方法算出，但計(jì)算較為繁瑣.

圖4

根據(jù)半球面左右、前后的對稱性可知，上半球面的電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)E0必豎直向下.另外，再從對稱性考慮容易明白，張角為α的“小瓣”和張角為（π－α）的“大瓣”在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)E1和E2必定位于它的橫向和縱向?qū)ΨQ的平面上，如圖5所示，所以，E1和E2相互垂直，由矢量圖易得

圖5

總結(jié)：“對稱性原理”指出，原因中的對稱性必反映在結(jié)果中.此例場源電荷分布的空間對稱性，必在相應(yīng)空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度、電勢等表示電場特性的物理量中得以反映.

4 對稱分割 剖析出一個(gè)簡單等效的電路

【例4】如圖6所示，電路中6根電阻值都為r的電阻絲組成一錐形網(wǎng)絡(luò).試求每兩個(gè)頂點(diǎn)之間的總電阻.

解析：對于任意兩個(gè)頂點(diǎn)，電路結(jié)構(gòu)完全類似，因此可任選兩個(gè)進(jìn)行計(jì)算.

圖6

如圖7所示，設(shè)電流從b點(diǎn)流入，c點(diǎn)流出.由于電路結(jié)構(gòu)上的對稱性，a，d兩點(diǎn)的電勢必定相等，ad電阻絲中無電流.因此，電路可簡化為圖8的電路.于是，可立即算出b，c兩點(diǎn)間的電阻值為.

圖7

圖8

總結(jié)：對稱的電路結(jié)構(gòu)中，必流過對稱的電流，形成對稱的等電勢點(diǎn)，在等電勢點(diǎn)處進(jìn)行分割，可以有效地對糾結(jié)的電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行剖析和簡化.

仔細(xì)觀察，在各種紛繁的物理問題中，對稱性隨處可見，如振動中的中心對稱、粒子在電磁場中對稱的軌跡等等，文中所舉的例子只是冰山一角，還有更多的對稱需要我們?nèi)ダ?