☉上海市華東師大一附中實驗中學(xué) 劉海濤

劉海濤（生于1963年10月17日），上海市楊浦區(qū)人，任職于上海市華東師大一附中實驗中學(xué)，2000年被評為中學(xué)高級教師，參加上海市市級課題《分層遞進教學(xué)新法實踐與研究》的研究，并先后在 《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)》《中國數(shù)學(xué)教育》《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》等專業(yè)期刊發(fā)表論文10多篇.主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和初中數(shù)學(xué)分層遞進教學(xué)的研究.

何謂遞進式變式題組？遞進式變式題組是指在課堂教學(xué)中，為了達到某一教學(xué)目的，根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，合理有效地設(shè)計一組數(shù)學(xué)問題，且這組數(shù)學(xué)問題又有一定的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，即前一個問題是后一個問題的特殊情況，后一個問題是前一個問題的一般的情況，這樣由特殊到一般的題目組合稱為遞進式變式題組.這種遞進式變式題組，層層遞進，由淺入深，由簡到繁，循序漸進，螺旋式上升，有利于學(xué)生對問題本質(zhì)的深刻理解，進而掌握解題規(guī)律，突破教學(xué)中的難點；有利于學(xué)生鞏固知識技能和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；有利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).如果能恰到好處地使用遞進式變式題組，就會使課堂教學(xué)取得事半功倍的效果，因此課堂教學(xué)中如何應(yīng)用遞進式變式題組，是值得每位數(shù)學(xué)教師常思考的問題.

一、突破難點建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

教學(xué)難點是指教師難教、學(xué)生難學(xué)的知識，或不易掌握的技能、技巧.難點有時又要根據(jù)學(xué)生的實際水平來定.在一般情況下，使大多數(shù)學(xué)生感到困難的內(nèi)容就是難點，教師要利用各種有效策略加以突破，否則這部分內(nèi)容不但學(xué)生掌握不好，還會給學(xué)生理解以后的新知識和掌握新技能造成困難.如何搭建合適的臺階突破難點，正是教學(xué)藝術(shù)之所在.要想攻克教學(xué)難點，極其重要的一條原則就是循序漸進，遞進式變式題組較好地解決了上述問題.

例如：三元一次方程組的解法是初中代數(shù)教學(xué)難點之一，學(xué)生雖然已經(jīng)知道了解法，用代入消元法或加減消元法把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，然后再通過消元把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解的思想方法.但因為方程和未知數(shù)較多，很多學(xué)生往往無從下手，因此在教學(xué)中通過編寫遞進式變式題組，由簡單到復(fù)雜，然后使學(xué)生通過轉(zhuǎn)化，再把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，進而解出三元一次方程組，效果會更好.

在消元的方法選擇上，要求學(xué)生除特殊的三元一次方程組（至少有一個方程是一元一次方程）選用代入消元法外，對非特殊三元一次方程組，選用加減消元法，因為代入消元法的運算量比較大，學(xué)生運算容易出錯.在加減消元法中，學(xué)生對加法運算出錯率低，因此筆者在教學(xué)中，主要把解三元一次方程組的重點放在了用加法消元上，運用如下遞進式變式題組進行教學(xué).

方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點，一個方程的未知數(shù)z的系數(shù)與另外兩個方程中未知數(shù)z的系數(shù)是互為相反數(shù)，因此用加法就能消去未知數(shù)z，把方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.

觀察方程組中未知數(shù)系數(shù)特點，不存在一個未知數(shù)的系數(shù)與另外兩個方程中同一未知數(shù)系數(shù)是互為相反數(shù)，但是把方程（3）乘以2就可與（1）相加消去y，再（2）+（3）消去y，從而通過兩次相加，消去未知數(shù)y，把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組.

觀察方程組中方程未知數(shù)系數(shù)特點，不存在有未知數(shù)的系數(shù)是互為相反數(shù)的，這時通過觀察方程組中未知數(shù)系數(shù)的特點，首先把方程（1）乘以3，方程（2）乘以6，方程（3）乘以2，把方程組轉(zhuǎn)化為例題的類型，從而使問題得到解決，也可以把（2）乘以2，把方程組轉(zhuǎn)化成變式題（1）的類型，再解.

三道題不是簡單的重復(fù)，彼此之間有密切的聯(lián)系，前一個問題是后一個問題的特殊情況，后一個問題可轉(zhuǎn)化成前一個問題類型進行解決，這樣的遞進式變式題組能與學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，前一個問題解決后，在此基礎(chǔ)上進行新的建構(gòu)，學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)經(jīng)歷了從簡單到復(fù)雜不斷擴充的過程，符合學(xué)生認知規(guī)律，從而使學(xué)生能夠很好地掌握三元一次方程組的解法.

二、探究規(guī)律建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

規(guī)律是事物發(fā)展過程中本身所固有的必然聯(lián)系.規(guī)律是客觀存在的，是不以人們的意志為轉(zhuǎn)移的，人們只能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律，不能改變規(guī)律.蘇霍姆林斯基說“人的內(nèi)心里有一種根深蒂固的需要，總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者”.數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多規(guī)律需要學(xué)生去探究，教學(xué)中要鼓勵學(xué)生去探究規(guī)律并掌握規(guī)律，教師要為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)探究情境，建立探究的氛圍，促進探究的開展，把握探究的深度，這樣才能調(diào)動學(xué)生探究的積極性，激活學(xué)生探究的潛能，以尋到規(guī)律.

例如：同底數(shù)冪乘法法則的探究過程，給出如下遞進式變式題組，以使學(xué)生自主探究規(guī)律.

顯然（1）是底數(shù)、指數(shù)都是具體數(shù)，學(xué)生很容易利用乘方的意義得到問題的答案.接下來（2）（3），在（1）的基礎(chǔ)上，（2）把底數(shù)由具體數(shù)變成了字母，（3）把指數(shù)由具體數(shù)變成了字母.（4）是在（2）（3）的基礎(chǔ)上，把底數(shù)、指數(shù)都變成了字母，得到了一個一般的同底數(shù)冪乘法的規(guī)律.在以上探究過程中，充分運用遞進式變式題組，由特殊到一般地進行探究，使學(xué)生跳一跳就能摘到果子，從而使學(xué)生能夠順利地得到乘法法則，同時建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).

三、搭“引橋”建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多新知識的學(xué)習(xí)，往往不能和學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)直接相聯(lián)系.教師在教學(xué)新知識時，如果直接把新知識呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生要改組原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，順應(yīng)新知識的學(xué)習(xí)，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，這樣給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來一定的困難，學(xué)生很難理解，不符合學(xué)生的認知規(guī)律.因此教學(xué)中要充分利用遞進式變式題組，小步走，螺旋式上升，從簡單的問題入手，通過遞進式變式，最后解決問題的一般情況，從而總結(jié)出問題的一般規(guī)律.這樣能夠使學(xué)生原來以順應(yīng)為主建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為以同化為主建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生能夠順利地掌握新知識.

例如：在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，我們首先研究的是特殊類型二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì).顯然這個函數(shù)的圖像與性質(zhì)與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)距離很小，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較容易，學(xué)生也很容易利用描點法畫出這類二次函數(shù)的圖像，進而通過總結(jié)得到這類二次函數(shù)的圖像和性質(zhì).在此基礎(chǔ)上我們又研究了y=ax2+c類二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，顯然y=ax2是y=ax2+c的特殊情況，y=ax2+c是y=ax2的進一步推廣，通過研究得到了y=ax2+c圖像與性質(zhì)，同時得到了二次函數(shù)y=ax2+c與y=ax2兩種類型圖像的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，我們又研究了y=a（x+m）2類型二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，顯然這種類型二次函數(shù)是y=ax2的推廣，通過對比得到二次函數(shù)y=a（x+m）2的圖像和性質(zhì)，以及與二次函數(shù)是y=ax2的圖像的關(guān)系.最后研究一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)，通過把二次函數(shù)配方轉(zhuǎn)化為y=a（x+m）2+k的形式，再把二次函數(shù)y=ax2+c與y=a（x+m）2組合得到一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì).

以上顯然是由簡單到復(fù)雜的一個遞進式變化過程，通過y=ax2圖像與性質(zhì)入手，最后得到一般二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，有些知識與學(xué)生的原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)有一定的跨度，這時，教師在教學(xué)設(shè)計上，利用搭引橋的策略，才能使學(xué)生一步一個臺階，把新知識同化到原有的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中去，認知過程如下.

四、構(gòu)造問題鏈建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)

問題鏈是指問題與問題的精心連接與遞進.它將問題像“鏈條”一樣串聯(lián)起來，環(huán)環(huán)緊扣，層層遞進.能覆蓋重要的知識點、基本題型、重要的解題思路.教學(xué)中隨著“問題鏈”的逐一呈現(xiàn)，學(xué)生在不知不覺中既解決了問題，又獲得了知識，又提高了數(shù)學(xué)思維能力.

例2 求證：順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.

變式1.求證：順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是菱形.

變式2.求證：順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是矩形.

變式3.求證：順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是正方形.

通過這樣一系列變式訓(xùn)練，一是使學(xué)生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識和基本概念，強化溝通了常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等，最大限度地拓展了學(xué)生的解題思路，激活了學(xué)生的思維，激發(fā)了興趣.二是能夠使學(xué)生懂其原理，知其方法，通其變化，形成此類命題的命題域與命題系，進而使學(xué)生形成良好的CPFS結(jié)構(gòu)，而研究表明，良好的CPFS結(jié)構(gòu)是一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，因此有利于學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).

總之，在教學(xué)過程中要針對教學(xué)內(nèi)容的特點，優(yōu)化應(yīng)用遞進式變式題組，才能達到非常理想的教學(xué)效果.另外對遞進式變式題組的設(shè)計，要依據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)和認知發(fā)展水平，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，巧妙設(shè)計，才能創(chuàng)設(shè)最佳的認知情境，才能讓學(xué)生利用已有的知識結(jié)構(gòu)來同化新知識，實現(xiàn)知識的遷移，從而提高遞進式變式題組應(yīng)用的有效性.

1.劉海濤.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中變式題的應(yīng)用技巧［J］.上海市：上海中學(xué)數(shù)學(xué).2011（5）.

2.曹一鳴，張春生主編.數(shù)學(xué)教學(xué)論.北京市：北京師范大學(xué)出版社［M］.2010（8）.

3.張英伯，曹一鳴，叢書主編，喻平編著.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué).北京市：北京師范大學(xué)出版社［M］.2010（1）.