甘亞南，荀 勇，周廣春

((1.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090)

多肋T形梁橋在制造、結(jié)構(gòu)性能和外觀上的許多優(yōu)點(diǎn)，常用于中等跨徑的鋼筋混凝土或預(yù)應(yīng)力混凝土鐵路及公路橋梁中［1－3］。但因剪力滯后效應(yīng)的影響［4－7］，該類結(jié)構(gòu)受力非常復(fù)雜。在對(duì)多肋T形梁橋的力學(xué)分析中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行過探索，均未同時(shí)考慮鐵木辛柯剪切變形、剪力滯后效應(yīng)和剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件的影響，因而其力學(xué)分析具有一定局限性。特別是動(dòng)力分析中多肋T形梁橋受剪力滯后效應(yīng)的影響，其主振型的正交性難以把握，經(jīng)典強(qiáng)迫振動(dòng)理論已不適用，動(dòng)力學(xué)分析難度加大［8－9］。本文考慮剪滯翹曲應(yīng)力的自平衡條件，且對(duì)多肋T形梁上翼板和懸臂翼板設(shè)置不同的剪滯縱向動(dòng)位移差函數(shù)，運(yùn)用直接解法對(duì)多肋T形梁橋的動(dòng)力反應(yīng)進(jìn)行分析，揭示多肋T形截面梁動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律及各參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系。

1 多肋T形梁動(dòng)力學(xué)特性分析

1.1 考慮剪滯翹曲應(yīng)力自平衡條件，多肋T形梁的控

制微分方程和自然邊界條件

1.1.1 體系總勢(shì)能

圖1為動(dòng)載荷(圖2)作用下多肋T形截面梁，若結(jié)構(gòu)跨度為L(zhǎng)，在對(duì)稱彎曲狀態(tài)下，截面上的豎向動(dòng)撓度為w(z，t)，豎向動(dòng)轉(zhuǎn)角為 θ(z，t)，由剪滯效應(yīng)引起的翼板動(dòng)位移為u1(z，t)，u2(z，t)，…，un(z，t)，即翼板動(dòng)位移為由剪滯效應(yīng)引起多肋T形截面梁翼板的翹曲位移［3－4］和服從平面假設(shè)剛性截面均勻位移wso1U1(z，t)，…，wsomUm(z，t)，…，wsonUn(z，t)之和，可表示為［3］:

懸臂板［10－11］:

式中:wsy1(x)為多肋T形梁懸臂板的不均勻分布函數(shù)。且wsy1(x)的形函數(shù)如圖2所示，當(dāng)采用圖2所示的坐標(biāo)軸 ξ，wsy1(x)=wsy1(ξ)［10］。

上翼板(如圖1，第m部分):

同樣可得:

由剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為:

懸臂板:

上翼板(第m部分):

圖1 多肋T形梁截面(i=1，2，…，m，…，n)Fig.1 Cross section of T － beam with multi－ ribbed slabs(i=1，2，…，m，…，n)

圖2 坐標(biāo)及動(dòng)荷載系統(tǒng)Fig.2 Coordinate and dynamic load system

那么，翼板總應(yīng)力為:

懸臂板:

上翼板(第m部分):

腹板:

式中“'”表示對(duì)坐標(biāo)z求偏導(dǎo)數(shù)。wso1，wso2，wso3，…，wson分別為懸臂板、上翼板滿足自平衡條件求得的常數(shù)，即:

由∫AE(wso1－y1wsy1)U'1(z，t)dA=0，可得:

由∫AE(wsom－ymwsym)U'm(z，t)dA=0，可得:

多肋T形梁各項(xiàng)變形勢(shì)能為

(1)懸臂板與上翼板

(2)腹板

(3)剪切應(yīng)變能

(4)多肋T形截面梁荷載勢(shì)能Up:

系統(tǒng)總勢(shì)能為:

結(jié)構(gòu)總動(dòng)能T為［8－9］:

1.1.2 多肋T形梁微分方程及自然邊界條件

式中:U1(z，t)為剪力滯后效應(yīng)引起梁懸臂板縱向動(dòng)位移差函數(shù);Um(z，t)為剪力滯后效應(yīng)引起梁上翼板第m部分縱向動(dòng)位移差函數(shù);M11(z，t)為懸臂板剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的關(guān)于x軸動(dòng)彎矩;M1m(z，t)為梁上翼板第m部分剪滯效應(yīng)產(chǎn)生的關(guān)于x軸動(dòng)彎矩;MzA(z，t)為梁段端產(chǎn)生豎向動(dòng)轉(zhuǎn)角 θ(z，t)的關(guān)于x軸動(dòng)彎矩;Q(z，t)，q(z，t)為梁端豎向剪力與截面上豎向分布力;E，G為材料的楊氏模量和剪切模量;A1為梁懸臂板截面面積;Am為梁上翼板第m部分面積;AN為梁腹板面積;A為梁全截面面積;k為截面形狀系數(shù);I1為懸臂板關(guān)于x軸的慣性矩;Im為梁上翼板第m部分關(guān)于x軸的慣性矩，且I=I1+I2+…+Im+…+In。

1.2 n=1時(shí)，多肋T形梁動(dòng)力學(xué)特性研究

圖3所示以n=1時(shí)多肋T形梁的動(dòng)力學(xué)特性為研究對(duì)象，其結(jié)果依然對(duì)n為任意值的多肋T形梁的動(dòng)力學(xué)特性具有指導(dǎo)意義。分析過程如下:

圖3 多肋T形梁截面(n=1)Fig.3 Cross section of T-beam with multi-ribbed slabs(n=1)

1.2.1n=1時(shí)多肋T形梁微分方程和自然邊界條件為

計(jì)算得:

1.2.2n=1時(shí)多肋T形梁微分方程求解

若多肋T形梁強(qiáng)迫振動(dòng)頻率為ω，則令:

由式(20)可得U1的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，將其代入式(18)得:

式中:

同樣將U1的導(dǎo)數(shù)式代入式(19)的二次求導(dǎo)式可以得到:

通過式(25)和式(26)之間的代換消去U2項(xiàng)，然后將式(21)代入該新微分方程消去θ項(xiàng)，最后可得新微分方程為:

式中:r=(ρω2)/(kG)。

對(duì)式(27)分析可知，其微分方程特征解為:

則方程w(z)的解為:

式中:

根據(jù)常微分方程組性質(zhì)和方程(29)解的形式假設(shè)U1(z)，U2(z)解的形式為:

2 幾種常用自然邊界條件(n=1)

(1)懸臂多肋T形梁幾何、物理邊界條件為:

(2)簡(jiǎn)支多肋T形梁幾何、物理邊界條件為:

對(duì)于圖4所示簡(jiǎn)支多肋T形梁，若跨間所受力為一個(gè)或多個(gè)集中力，且集中力pk左右相鄰邊界距離為L(zhǎng)k1和Lk2，則k點(diǎn)處須引入下列連續(xù)邊界條件為:

圖4 算例中坐標(biāo)系的約定Fig.4 The fixed coordinate system in the calculation example

3 算例

對(duì)于多肋T形梁，其材料參數(shù)和幾何參數(shù)為E=3.5 ×104MPa;G=1.5 ×104MPa;t1=0.3 m;ρ=2 500 kg/m3;t2=0.3 m;tw1=0.25 m;b1=1.625 m;b2=3.125 m，梁高h(yuǎn)=1.5 m，力學(xué)分析中簡(jiǎn)諧集中力為P(z，t)=98 000sin(ω0t+φ)，力的作用點(diǎn)為梁縱向和橫向中線的交點(diǎn)。根據(jù)本文推導(dǎo)公式和其它算法可計(jì)算出梁的自振頻率及動(dòng)力反應(yīng)幅值。(注:ANSYS有限元法計(jì)算中，按圖3多肋T形梁各交點(diǎn)坐標(biāo)繪制出該多肋T形梁截面，然后應(yīng)用ANSYS有限元的Extrude功能形成體，劃分實(shí)體單元網(wǎng)格后，模擬簡(jiǎn)支邊界條件在多肋T形梁一端節(jié)點(diǎn)x，y，z三向施以約束，另一端則在節(jié)點(diǎn)x，y方向施以約束)。

在對(duì)梁自振頻率的求解過程中，令均布簡(jiǎn)諧力q(z，t)=0，應(yīng)用MATLAB軟件與邊界條件式(35)便可得梁的自振頻率值如表1。

表1數(shù)據(jù)表明:

鐵木辛柯梁理論自振頻率計(jì)算值大于傳統(tǒng)理論值，而傳統(tǒng)理論值又大于本文理論值。基于最小勢(shì)能原理可以判斷傳統(tǒng)算法優(yōu)于鐵木辛柯梁理論，而本文算法又優(yōu)于傳統(tǒng)算法，因而多肋T形梁動(dòng)力反應(yīng)分析中自平衡條件的引入有其理論依據(jù)。

表1 簡(jiǎn)支多肋T形梁的固有頻率值(單位:Hz)Tab.1 Natural frequency of simply-supported T-beam with multi-ribbed slabs(unit:Hz)

表2 簡(jiǎn)支多肋T形梁E、F和G點(diǎn)的動(dòng)應(yīng)力幅值 (單位:104Pa)Tab.2 Dynamic stress amplitude of simply-supported T-beam with multi-ribbed slabs located at the crossing points E，F(xiàn) and G(unit:104Pa)

注:表2動(dòng)剪滯系數(shù)(λD=多肋T形梁翼板剪滯理論動(dòng)應(yīng)力幅值(σJD)/多肋T形梁翼板鐵木辛柯梁理論動(dòng)應(yīng)力幅值(σDT)

表2和圖6說明:

圖5 交點(diǎn)E、F和G為所求多肋T形梁動(dòng)應(yīng)力幅值位置Fig.5 Dynamic stress amplitude of the T-beam with multi-ribbed slabs located at the crossing points E，F(xiàn) and G

① 盡 管 多肋T形梁橋傳統(tǒng)理論自振頻率計(jì)算值與本文理論值差別很小，但動(dòng)力反應(yīng)分析中E、F和G點(diǎn)兩種理論的動(dòng)應(yīng)力幅值皆有較大差異，且F點(diǎn)的差異更大，因而在多肋T形梁橋的動(dòng)力分析中，自平衡條件的引入十分必要;②簡(jiǎn)諧力的頻率值對(duì)多肋T形梁橋動(dòng)剪滯系數(shù)有一定影響，而接近共振點(diǎn)動(dòng)剪滯系數(shù)的差異主要來自鐵木辛柯梁理論共振點(diǎn)與傳統(tǒng)和本文理論共振點(diǎn)的差異，算例表明，多肋T形梁動(dòng)力反應(yīng)分析中剪滯效應(yīng)與自平衡條件的影響不可忽視。

圖6 簡(jiǎn)支多肋T形梁跨中F點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力幅值比較圖(z=L/2，L=12 m)(簡(jiǎn)諧集中荷載)Fig.6 The Comparison of dynamic stress amplitude of middle-span of simply supported T-beam with multi-ribbed slabs located at the crossing point F(z=L/2，L=12 m)(harmonic concentrated load)

4 結(jié)論

多肋T形梁自平衡條件及多個(gè)縱向翹曲動(dòng)位移差函數(shù)(U1(x，t)，U2(x，t)，…，Un(x，t)，)的設(shè)置，更加準(zhǔn)確反映了該類結(jié)構(gòu)翼板的剪滯變化幅度，因而本文理論提高了多肋T形梁動(dòng)力反應(yīng)的計(jì)算精度，為該類結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)從定性到定量分析奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)多肋T形梁橋抗風(fēng)、抗震有一定借鑒意義，所得公式豐富和發(fā)展了剪滯理論。

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